#黄金数列——数学中的美学#
李欣桐-
黄金数列——数学中的美学
一、
斐波那契数列
■斐波那契数列的简介
斐波那契数列（
< br>Fibonacci
，又译作“斐波拉契数列”或“斐波那切数
< br>列”）
是一个非常美丽、
和谐的数列，
< br>它的形状可以用排成螺旋状的一系列
正方形来说明
（如右
词条图）
，
起始的正方形
(
图中用灰色表示
)
的边长为
1
，
在它左边的那个正方形的边长也是
1
，在这两个正方形的上方再放一个正
方形，其边长为
2
，以后顺次加上边长为
3
、
5
、
8
、
13
、2l„„等等的正方
形。
这些数字每一个都等于前面两个数之和，
它们正好构成了斐波那
契数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
„„
斐波那契数列之闻名，可能还跟美国悬疑作家丹·布朗有关，他在他的小说《达芬奇密码》之中巧妙地运用
了该数列。
其实，我国现行的高中教材中提
及了杨辉三角，斐波那契数列可在其中寻得。
■斐波那契数列的出现——兔子数列
13
世纪初，欧洲最好的数学家是斐
波那契；他写了一本叫做《算盘全书》的著作，是当时欧洲最好的数学
书。书中有许多有
趣的数学题，其中最有趣的是下面这个题目：
“如果一对兔子每月能生
1
对小兔子，而每对小兔在它出生后的第
3
个月里
，又能开始生
1
对小兔子，假定
在不发
生死亡的情况下，由
1
对初生的兔子开始，
1
年后能繁殖成多少对兔子？”
斐波那契把推算得到的头几个数摆
成一串：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，8„„
这串数里隐含着一个规律：从第<
/p>
3
个数起，后面的每个数都是它前面那两个数的和。而根据这个规
律，只要
作一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。
按照这个规律推算出来的
数，
构成了数学史上一个有名的数列。
大家都叫它“斐波那契数
列”，
斐波那契数
列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖
为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
〖兔子数列分析过程〗
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对
兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么
一年以后可
以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
;
两个月后，生下一对小兔，共有两对
;
三个月以后，老兔子又生下一对，
因为小兔子还没有繁
殖能力，所以一共是三对
;
„„
依次类推可以列出下表：
经过月数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
„
兔子对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
„
表中数字
1
，
1
，
2<
/p>
，
3
，
5
，
8
„构成了一个数列。这个数列有关十分明
显的特点，那是：前面相邻两项
之和，构成了后一项。
这个特点的证明：每月的大兔子对
数为上月的兔子对数，每月的小兔子对数为上月的大兔子对数（即
上上月的兔子对数）<
/p>
,
大小兔子对数相加即为所求。
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■斐波那契数列的递推关系
斐波那契数列来源于兔子问题，根据分析其递推关系为：
f
(
1
)
1
，
f
(
2
)
1
，
f
(
n
)
f
(
n
1
)
< br>f
(
n
2
)
，其中
n
2
f
(
n
)
<
/p>
即为斐波那契数列。
■斐波那契数列的通项公式
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
n
n
1
< br>
1
5
1
5
它的通项公式为：
a
n
2
2<
/p>
5
〖又叫“比内公式”
,19
世纪法国数学家
Jacques Phillipe
Marie Binet (1786-1856)
〗
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
〖斐波那契数列通项公式的推导〗
斐波那契数列：
0
< br>，
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，21„„
如果设
F
(n)
为该数列的第
n
项
(n
∈
N+)
。那么这句话
可以写成如下形式：
F(0) = 0
，
F(1)=F(2
)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-
2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,
X2=(1
-
√5)/2.
则
F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵
F(1)=F(2)=1
∴
C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得
< br>C1=1/√5，
C2=-
1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
- [(1-
√5)/2]^n}【√5
表示根号
5
】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数
r,s
使得
< br>F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则
r+s=1, -rs=1
n≥3
时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
„„
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上
n-2
个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)] <
/p>
∵
s=1-r
，
F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
„„
= s^(n-1) +
r*s^(n-2) + r^2*s^(n-
3) +„„+
r^(n
-2)*s + r^(n-1)*F(1)
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-
3) +„„+
r^(n
-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以
s^(n-1)
为首项、以
r^(n-1)
为末项、
r/s
为公差的等比数列的各
项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1,
-rs=1
的一解为
s=(1+√5)/2,
r=(1
-
√5)/2
则
F(n
)=(1/
√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-
√5)/2]^n}
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“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（
Leonardo Fibonacci
，生于公元
1170<
/p>
年，卒于
1240
年。籍贯大概是比萨）
。他被人称作“比萨的列昂纳多”。
1202
年，他撰写了《珠
算原理》
(Liber
Abaci)
一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领
事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数
学。他还曾在
埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐氏本人对这个数列并没有再做进一步的探讨。直到十九世纪初才有人详加研究，<
/p>
1960
年左右，许多数学
家对斐波那契
数列和有关的现象非常感到兴趣，不但成立了斐氏学会，还创办了相关刊物，其后各种相关文章也
像斐氏的兔子一样迅速地增加。
< br>■斐波那契数列的某些性质
（记
f(n)
，其中
f(0)=0
，
f(1
)=1
，
f(2)=1
，f(3)=2
„„）
f(0)+f(1)+f(2)+„+f(n)=f(n+2)
-1
f(1)+f(3)+f(5)+
„+f(2n
-1)=f(2n)-1
f(0)+f(2)+f(4)+
„+f(2n)=f(2n+1)
-1
[f(0)]^2+[f(1)]
^2+„+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
f(0)-f(1)+f(2)-
„+(
-
1)^n·f(n)=(
-
1)^n·[f(n+1)
-f(n)]
+1
f(n)f(n)-f(n+1)f(n-1)=(-1)^n;
从第二项开始，每个奇数项的平方
都比前后两项之积多
1
，每个偶数项的平方都比前后两项之积少
1
。
[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-
1)·f(n+1)
f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2
f(m+n)=f(m-
1)·f(n
-
1)+f(m)·f(n)
arcta
n[1/f(2n+1)]=arctan[1/f(2n+2)]+arctan[1/f(2n+3)]
斐波那契数列的第
n
项同时也代表了集合
{1,2,...,n}
中所有不包含相邻正整数的子集个数。
■斐波那契数列的变式
帕多瓦数列：
1
，
1
，
1
，
2
，
2<
/p>
，
3
，
4
，
5
，
7
，
9
，
12
，
16
，
21
，
„„这样的数列称为帕多瓦数列。
它和斐波那契数
列非常相似，
稍有不同的是：
每个数都
是跳过它前面的
那个数，
并把再前面的两个数相加而得出的。<
/p>
这个数列
可以用另一幅图来表示，
它是由
一些等边三角形构成的
(
如右图
)
。
开始的三角形用灰色表示，
为了使这些三
角
形天衣无缝地拼在一起，头三个三角形的边长均为
1
，
其后的两个三角形的边长为
2
，
然后依次是
3
、
4
、
5
、
7
、
9
、
12
、
16
、2l„„等等。
冬冬有
1
5
块糖，如果每天至少吃
3
块，吃完为
止，那么共有多少种不同的吃法？
如果冬冬有
3
块糖、
4
块糖或者
5
块糖，都只有
1
种吃
法；如果有
6
块糖，则有
2
种吃法；如果有
7
块糖，
则有
3
种吃法；如果有
8
块糖，则有
4
种吃法；如果有
9
块糖，则有
6
种吃法．即：
吃糖的粒数
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
„
糖的吃法
1
1
1
2
3
4
6
9
13
19
„
这
样的数列，它和斐波那契数列不同的是，每次都是跳过中间的那个数，再把第
1
、
3
两个数相加，等于第
4
个数。它的规律和斐波那契数列既相似之处又有不同之处．
小明要
上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有
10
级
，他有几种不同的走法？
这里我们不妨也来研究一下其中的规
律：
如果楼梯就一级，
他有
1
种走法；
如果楼梯有两级，
他有
2
种走法；
如果楼梯有三级，他有
4
种走法；如果有五级楼梯，他有
7
种走法．即：
楼梯的级数
1
2
3
4
5
6
7
8
„
上楼梯的走法
1
2
4
7
13
24
44
81
„
这其中的规律就是，这里从第
4
个数开始，每一个数都等于它前面的
3
个数
之和。
第
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