平面直角坐标系中的规律探索类问题
泥鳅汤的做法-
2017
年
11
月
14
日平面直角坐标系中的规律探索专题
训练
一．选择题（共
39
小题）
1
．我们把
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
< br>，
13
，
21
< br>，
…
这组数称为斐波那契数列，为了进一
步研究，依次以这列数为半径作
90°
圆弧
，
，
，
…
得到斐波那契
螺旋线，
然后顺次连结
< br>P
1
P
2
，
P
2
P
3
，
P
3
P
4
，
…
得到螺旋折
线
（如图）
，
已知点
< br>P
1
（
0
，
1
）
，
P
2
（﹣
1
，<
/p>
0
）
，
P
3
（
0
，﹣
1
）
，则该折线上的点
P
9
的坐标为（
）
A
．
（﹣
6
，
24
）
B
．
（﹣
6
，
25
）
C
．
（﹣
5
，
24
）
< br>D
．
（﹣
5
，
25
）
2
．
如图所示，
在平面直角坐标系中
，
半径均为
1
个单位长度的半圆
O
1
、
O
2
、
O
3
，
…
组成一条平滑的曲线，
点
P
从原点
O
出
发，
沿这条曲线向右运动，
速度为每秒
个单位长度，则第
2017
秒时，点
P
的坐标是（
）
A
．
（
2016
，<
/p>
0
）
B
．
（
2017
，
1
）
C
．
（
2017
，﹣
1
）
D
．
（
2018
，
0
）
3
．如图，动点
P
在平面直角坐标系中按图中箭头所
示方向运动，第
1
次从原点
运动到点<
/p>
（
1
，
1
）
，
第
2
次接着运动到点
（
2
，<
/p>
0
）
，
第
3
次接着运动到点
（
3
，
2
）
，<
/p>
…
，
按这样的运动规律，经过第
2011
次运动后，动点
P
的坐标是（
）
第
1
页（共
50
页）
A
．
（
2011
，<
/p>
0
）
B
．
（
2011
，
1
）
C
．
（
2011
，
2
）
D
．
（
2010
，
0
）
4
．在平面直角坐标系中，正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
、
D
1
E
1
E
2<
/p>
B
2
、
A
2
B
2
C
2
D
2
、
D
2
E
3
E
4
B
3
…
按如
图所示的方式放置，其中点
B<
/p>
1
在
y
轴上，点
C
1
、
E
1
、
E
2
、
C
2
、
E
3
、
E
< br>4
、
C
3
…
在
x
轴上，已知正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
的边长为
l
，∠
B
1
C
1
O=60°
，
B
1
C
1
∥
B
2
C
2
∥
B
3
C
3
…
，则
正
方形
A
2017
B
2017
C
2017
D
2017
的边长是（
）
A
．
（
）
2016
B
．
（
）
2017
C
．
（
）
2016
D
．
（
）
2017
5
．如图，正方形
ABCD
的四个顶点在坐标轴上，
A
点坐标为（
3
，
0
）
，假设有甲、
乙两个物体分别由点
A
同时出发，沿正方形
ABCD
的边作环绕运动，物体甲按逆<
/p>
时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体
1
2
秒钟可环绕
一周回到
A
点，
乙物体
24
秒钟可环绕
一周回到
A
点，
则两个物体运动后的第
2017
次相遇地点的坐标是（
）
A
．
（
3
，
0
）
B
．
（﹣
1
，
2
）
C
< br>．
（﹣
3
，
0
）
D
．
（﹣
1
，﹣
2
）
6
．正
方形
A
1
B
1
C
1
O
，
A
2
B
2
C
2
C
1
，
A
3
B
< br>3
C
3
C
2
，
…
按如图所示放置，点
A
1
，
A
2
，
A
3
< br>，和
点
C
1
，
C
2
，
C
3
，
…
，分
别在直线
y=kx
+
b
（
k
＞
0
）和
x
轴上，已知点
B
1
，
B
2
，
B
3
，
B
4
的坐标分别为（
1
，
1
）
（
3
，
2
）
，
（
7
，
4
）
，
（
15
，
8
）
，则<
/p>
B
n
的坐标是（
）
第
2
页（共
50
页）
A
．
（
2
n
﹣
1
，
2
n
﹣
1
< br>）
B
．
（
2
n
，
2
n
﹣
1
）
C
．
（
2
n
﹣
1
，
2
n
）
< br>
D
．
（
2
n
﹣
1
﹣
1
，
2
n
﹣
1
）
7
．在平面直角坐标系中，若干个半径为
1
的单位长度，圆心角为
60°
的扇形组
成一条连续的曲线，点
P
从原点
O
出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如
图）
，点
P
在直线上运动的速度为每秒
1
个单位长度，点
P
在弧线上运动的速度
为每秒
个单位长度，则
< br>2017
秒时，点
P
的坐标是（
）
A
．
（
）
，
）
B
．
（
，﹣
）
C
．
（
2017
，
）
D
．
（
2017
，﹣
8
．如图，在平面直角坐标系中，边长为
1
的正方形
OA
1
B
1
C
1
的两边在坐标轴上，
以它的对角线
OB
1
为边作正方形
OB
< br>1
B
2
C
2
，再以正方形
OB
1
B
2
C
2
< br>的对角线
OB
2
为
边作正方形
OB
2
B
3
C
3
，以此类推<
/p>
…
则正方形
OB
2016
B
2017
C
2017
的顶点
B
2017<
/p>
的坐标是
（
）
A
．
（
2
1008<
/p>
，
0
）
B
．
（
2
1008
，
2
1008<
/p>
）
C
．
（
0
，
2
1008
）
D
．
（
2
1007
，
2
1007
）
9
．如图，半径为
2
的正六边形
ABCDEF
的中心在
坐标原点
O
，点
P
从点
B
出发，
沿正六边形的边按顺
时针方向以每秒
2
个单位长度的速度运动，
则第
2017
秒时，
点
P
的坐标是（
）
第
3
页（共
50
页）
A
．
（
1
，
）
B
．
（﹣
1
，﹣
）
C
．
（
< br>1
，﹣
）
D
< br>．
（﹣
1
，
）
10
．如图，△
A
1
A
2
< br>A
3
，△
A
4
A
5
A
6
，△
A
7
A
8
A
9
…
，△
A
3n
﹣
2
A
3n
﹣
1
A
3n
（
n
为正整数）均
为等边三角形，它们的边长依次
为
2
，
4
，<
/p>
6
，
…
，
2n
，顶点
A
3
，
A
6
，
A
9
…A
3n
均在
y
轴上，点
O
是所有等边三角形的中心，则点
A
2016
的坐标为（
）
A
．
（
0
，
448
）
B
．
（﹣
672
，
11
．如图，点
A
（
0
，
1
）
，点
B
（﹣
）
C
．
（
0
，
）
D
．
（
0
< br>，
）
，
0
）
，作
OA
1
⊥
AB
，垂足为
< br>A
1
，以
OA
< br>1
为
边作
Rt
< br>△
A
1
OB
1
，使∠
A
1
OB
1
=90°
，
∠
B
1
=30°
，
作
OA
2
⊥
A
1
B
1
，垂足为
A
2
< br>，再以
OA
2
为边作
Rt
△
A
2
OB
2
，
使∠
A
2
OB
2
=90°
，
∠
B
2
=30°
，
…
，
以同样的作法可得到
Rt
△
A
n
OB
n
，
则当
n=2017
时，点
A
2017
的纵坐标为
（
）
A
．
（
）
2017
B<
/p>
．﹣（
）
2017
C
．
（
）
2018
D
．﹣（
）
2018
< br>12
．如图，在平面直角坐标系中
xOy
中，已知点
A
（
0
，
1
）
，以
OA
为边在右侧
作等边三角形
OAA
1
，再过点
A
1
作
x
轴的垂线，垂足为点<
/p>
O
1
，以
O
1
A
1
为边在右<
/p>
侧作等边三角形
O
1
A
1
A
2
；
…
按此规律继续作下去，
得到等边三
角形
O
2016
A
2016
A
2017
，
第
4
页（共
50
页）
则点
A
2017
的纵坐标
为（
）
A
．
（
）
2017
B<
/p>
．
（
）
2016
C
．
（
）
2015
D<
/p>
．
（
）
2014
13
．
如图
，
动点
P
从
（
0
，
3
）
出发，
沿所示方向运动，
每当碰到矩形的边
时反弹，
反弹时反射角等于入射角，当点
P
第
2017
次碰到矩形的边时，此时点
P
的坐标
为（
）
A
．
（
0
，
3
）
B
．
（
3
，
0
）
C
．
< br>（
1
，
4
）
D
．
（
7
，
2
）
<
/p>
14
．在平面内直角坐标系中，正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
、
D
1
E
1
E
2
B
2
< br>、
A
2
B
2
C
2
D
2
、
D
2
E
3
E
4
B
3
…
按如图所示的方式放置，其中点
B
1
在
y
轴上，点
C
1
、
E
1
、
E
< br>2
、
C
2
、
E
3
、
E
4
、
C
3
…
在
x
轴上，已知
正方形
A
1
B
1
C
1
D
1<
/p>
的边长为
1
，∠
B
1
C
1
O=
60°
，
B
1
C
1
∥
B
2<
/p>
C
2
∥
B
3
C
3
…
则
正方形
A
2017
B
2017
C
20
17
D
2017
的边长是（
）
A
．
（
）
2016
B<
/p>
．
（
）
2017
C
．
（
）
2016
D<
/p>
．
（
）
2017
15
．如图，在一个单位为
1
的方格纸上，△
A
1
A
2
A
3
，△
A
3
A
4
A
5
，△
A
5
A
6
A
7
，
…
< br>，是
斜边在
x
轴上、斜边长分别
为
2
，
4
，<
/p>
6
，
…
的等腰直
角三角形．若△
A
1
A
2
A
3
的顶
< br>第
5
页（共
50
页）
< br>点坐标分别为
A
1
（
2
，
0
）
，
A
2
（
1
，﹣
1
）
，
A
3
（
0
，
0
）
，则依
图中所示规律，
A
2017
的横坐标为
（
）
A
．
1010
B
．
2
C
．
1
D<
/p>
．﹣
1006
16
．如图，点
A
（
< br>2
，
0
）
，
B
（
0
，
2
）
，将扇形
AOB
沿
x
轴正方向做无滑动的滚动，
在滚动过程中点
O
的对应点依次记为点
O
1
，
点
O
2
，
点
O
3
…
，
则
O
10
的坐标是
（
）
A
．
（
16
+
4π
，
0
）
B
．
（
14
+
4π
，
2
）
C
< br>．
（
14
+
3π
，
2
）
D
．
（
1
2
+
3π
，
0
）
17
．如
图，在平面直角坐标系中，∠
AOB=30°
，点
A
的坐标为（
2
，
0
）
，过点
A
作
AA
1
⊥
OB
，垂足为点
A
1
，过
A
1
作
A
1
A
2
⊥
x
轴，垂足为点
A
2
；再过点
A
2<
/p>
作
A
2
A
3
⊥
OB
，垂足为点
A
3
；再过点
A
3
作
A
3<
/p>
A
4
⊥
x
轴，垂足为点
A
4
…
；这样一直作下去，
则
A
2017
的横坐标为（
）
A
．
•
（
）
2015
B
．
•
（
）
2016
C
．
•
（
）
2017
D
．
•
（
）
2018
18
．如图，点
O
（
0<
/p>
，
0
）
，
A
（
0
，
1
）是正方形
OAA
1<
/p>
B
的两个顶点，以
OA
< br>1
对角
线为边作正方形
OA
1
A
2
B
1
，再以正方形的对角线
OA
< br>2
作正方形
OA
1
A
2
B
1
< br>，
…
，依此
规律，则点
A
8
的坐标是（
）
第
6
页（共
50
页）
A
．
（﹣
8
，
0
）
B
．
（
0
，
8
）
C
< br>．
（
0
，
8
）
D
．
（
0
，
16<
/p>
）
19
．在平
面直角坐标系中，把△
ABC
先沿
x<
/p>
轴翻折，再向右平移
3
个单位得到△
A
1
B
1
C
1
现把这两步操作规定为一种变换．如图，已
知等边三角形
ABC
的顶点
B
、
C
的坐标分别是（
1
，
1
）
、
（
3
，
1
）
，把三角形经过连续
5
次这种变换得到三角形
△
A
5
B
5
C
5
，则点
A
的对应点
A
5
的坐标是（
）
A
．
（
5
，﹣
）
B
．
（
14
，
1
+
）
C
．
（
17
，﹣
1
﹣
）
D
．
（
20
，
1
+
）
2
0
．
如图，
正方形
ABCD
的边长为
1
，
电子蚂蚁
P
从点
A
分别以
1
个单位
/<
/p>
秒的速
度顺时针绕正方形运动，电子蚂蚁
Q
从点
A
以
3
个单位
/
秒的速度逆时针绕正方
形运动，则第
2017
次相遇在（
）
A
．点
A
B
．点
B
C
．点
C
D
．点
D
2
1
．
如图，
矩形
BCDE
的各边分别平行于
x
轴与<
/p>
y
轴，
物体甲和物体乙由点
A
（
2
，
< br>0
）同时出发，沿矩形
BCDE
的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以
1
个单位
/
秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以
2
个单位
/
秒匀速运动，则两个物体运动后
的第
2018
次相遇地点的坐标是（
）
第
7
页（共
50
页）
A
．
（
1
，﹣
1
）
B
．
（
2
，
0
）
C
．
（﹣
1
，
1
）
D
．
（﹣
1
，﹣
1
）
22
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，点
P
（
1
，
0
）
．点
P
第
1
次向上跳动
1
个
单位至点
P
1
（
1
，
1
）
，紧接着第
2
次向左跳动
2
个单位至点
P
2
（﹣
1
，
1
）
，第
3
次向上跳动
1
个单位至点
P
3
，第
4
次
向右跳动
3
个单位至点
P
4
，第
5
次又向上
跳动
1
个单位至点
P<
/p>
5
，第
6
次向左
跳动
4
个单位至点
P
< br>6
，
…
．照此规律，点
P
第
100
次跳动至点
P
100
的坐标是（
< br>
）
A
．
（﹣<
/p>
26
，
50
）<
/p>
B
．
（﹣
25
，
50
）
C
．
（
26
，
50
）
D
．
（
25
，
50
）
23
．在平面直角坐标系
xOy
中，对于点
P
（
x
，
y
）
，我们把点
P′
（﹣
y
+
1
，
x
+
1
）叫
做点
P
伴随点，已知点
A
1
的伴随点为
A
2
，点
A
2
的伴随点为
A
3
，点
A
3
的伴随点
为
A
4
，
…
，这样依次得到点
A
1
，
A
2
，
A
3
，
…
，
A
n
，
…
．若点
A
1
的坐标为（
3
，
1
）
，
则点
A
2017
的坐标为（
）
A
．
（
0
，
4
）
B
．
（﹣
3
，
1
）
C
．<
/p>
（
0
，﹣
2
）
D
．
（
3
，
1
）
24
．如图，在平面直
角坐标系中，以原点
O
为圆心的同心圆的半径由内向外依
次为
1
，
2
，
3
，
4
，
…
，同心圆与直线
y=x
和
y=
﹣
x<
/p>
分别交于
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
，
…
，
则
A
30
的坐标是（
）
第
8
页（共
50
页）
A
．
（
4
，﹣
4
）
B
．
（﹣
4
，
4
）
C
．
（﹣
8
，
8
）
D
．
（
< br>30
，
30
）
< br>
25
．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边
长均为
1
个单位长度，
P
1
，
P
2
< br>，
P
3
，
…
均在格点上，其顺序按图中
“→”
方向排列，如：
P
1
（
0
，
0
）
，
P
2
（
0
，
1
）
，<
/p>
P
3
（
1
，
1
）
，
P
4
（
1
，﹣
1
）
，
< br>P
5
（﹣
1
，﹣
1
）
，
P
6
（﹣
1
，
2
）
…
根据
这个规律，点
P
2017
的坐标为（<
/p>
）
A
．
（﹣<
/p>
504
，﹣
504
）
505
）
B
．
（﹣
505
，﹣
504
）
C
．
（
504
，﹣
504
）
D
．
（﹣
504
< br>，
26
．对有序数对（
x
，
y
）的一次操作变换记为
< br>P
1
（
x
，
y
）
，定义其变换法则如下：
P
1
（
x
，
y
）
=
（
x
+
y
< br>，
x
﹣
y
）
，且规定
P
m
（
x
，
y
）
=P
1
（
P
m
﹣
1
（
x
﹣
y
）
）
（
n
为大于
1
的整数）
．如
P
1
（
1
，
2
）
=
（
3
，﹣
1
）
，
P
2
（
1
，
2
）
=P
1
（
P
1
（
1
，
2
）
）
=P
1
（
3
，﹣
1
）
=
（
2
，
4
）
，
< br>P
3
（
1
，
2
）
=P
1
（
P
2
（<
/p>
1
，
2
）
）
=P
1
（
2
，
4
）
=
（
6
，﹣
2
）
．则
P
< br>2010
（
1
，
﹣
1
）
=
（
）
A
．
（
0
，
2
1007
）<
/p>
B
．
（
2
1007
，﹣
2<
/p>
1007
）
C
．
（
2
100
5
，﹣
2
1005
）
D
．
（
0
，
2
10
08
）
27
．如图，点
A
1
的坐标为（
1
，
0
）
，
A
2
在
y
轴的正半轴上，且∠
A
1
A
2
O=30°
，过
点
A
2
作
A
2
A
3
⊥
A
1
A
2
，垂足为
A
2
，交
x
轴于点
A
3
；过点
A
3
作
A
3
A
4
⊥
A
2
< br>A
3
，垂足为
A
3
，交
y
轴于点
A
4
；过点
A
4
作
A
4
< br>A
5
⊥
A
3
A
4
，垂足为
A
4
，交
x
轴于点
A
5
；过点
< br>A
5
作
A
5
A
6
⊥
A
4
A
5
，垂足
为
A
5
，交
y
轴于点
A
6
；
…
按此规律进行下去，则点
A
2017
的
第
9
页（共
50
页）
横坐标是（
）
A
．
（
）
2015<
/p>
B
．﹣（
）<
/p>
2015
C
．
﹣（
）
2016
D
．
（
）
2016
28
．如图，在平面直角坐
标系中，从点
P
1
（﹣
1
，
0
）
，
P
2
（﹣
1
，﹣
1
）
，
P
3
（
1<
/p>
，
﹣
1
）
，
P
4
（
1
，
1
）
，
P
5
（﹣
< br>2
，
1
）
，
P
6
（﹣
2
，﹣
2
）
，
…
依次扩展下去，则
P
2017
的坐
标为（
）
A
．
（
504
，﹣
504
）
<
/p>
B
．
（﹣
504
，
504
）
C
．
（﹣
50
4
，
503
）
D
．
（﹣
50
5
，
504
）
29
．如图，矩形
ABCD
的两边
BC
、
CD
分别在
x
轴、
y
轴上，点
C
与原点重合，
< br>点
A
（﹣
1
，
2
）
，将矩形
< br>ABCD
沿
x
轴向右翻滚，经过
一次翻滚点
A
对应点记为
A
1
，
经过第二次翻滚点
A
对应点记为
A
2
…
依此类推，
经过
5
次翻滚后点
A
对应点
A
5
的坐标为（
）
A
．
（
5
，
2
）
B
．
（
6
，
0
）
C
．
（
< br>8
，
0
）
D
．
（
8
，
1
）
30
．
如图，
在平面直角坐标系中，
有若干个整数点，
其顺序按图中
“→”
方向排列，
如（
1
，
0
）
，
（
2
，
0
）
，
（
2
，
1
）
，
（
< br>3
，
2
）
，
（
3
，
1
）
，
（
3
，
0
）
，
（
4
，
0
）
．根据这个规
第
10
页（共
50
页）
律探索可得，第
< br>50
个点的坐标为（
）
A
．
（
10
，
5
）
B
．
（
9
，
3
）
C
．
< br>（
10
，
4
）
D
．
（
50
，
0
）
31
．
正方
形的边长依次为
2
，
4
，
6
，
8
，
…
，
它们在直角坐标系中的位置
如图所示，
其中
A
1
< br>（
1
，
1
）
，
A
2
（
﹣
1
，
1
）<
/p>
，
A
3
（﹣
1
，﹣
1
）
，
A
4
（
1
，﹣
1
）
，
A
5
（
< br>2
，
2
）
，
A
6
（﹣
2
，
2
）
，<
/p>
A
7
（﹣
2
，﹣
2
）
，
A
8
（
2
，﹣
2
）
，
A
9
（
3
< br>，
3
）
，
A
10
（﹣
3
，
3
）
，
…
，按
此规律排下去，则
A
2016
的坐标为（
）
A
．
（﹣
504
，﹣
504
）
B
．
（
504
，
﹣
504
）
C
．
（﹣
504
，
504
）
D
．
（
504
，
504
）
32
．如图，一个粒子在第一象限内及
x
、
y
轴上运动，在第一分钟内它从原点
O
运动到（
1
，
< br>0
）
，而后它接着按图所示在与
x
轴、
y
轴平行的方向上来回运动，<
/p>
且每分钟移动
1
个长度单位，那么
2017
分钟后这个粒子所处的位置是（
）
A
．
（
7
，
45
）
B
．
（
8
，
44
）
< br>C
．
（
44
，
7
）
D
．
（
45
，
8
）
33<
/p>
．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数
2016<
/p>
应标在（
）
第
11<
/p>
页（共
50
页）
A
．第
504
个正方形的左下角
C
．第
505
个正方形的左上角
B
．
第
504
个正方形的右下角
D
．第
505
个正方形
的右下角
34
．如图，在平面直角坐
标系
xOy
中，
Rt
< br>△
OA
1
C
1
，
Rt
△
OA
2
C
2
，
Rt
△
OA
3
C
3
，
Rt
△
OA
4
C<
/p>
4
…
的斜边都在坐标轴上，
∠
A
1
OC
1
=
∠
A
2
OC
2
=
∠
A
3
OC
3
=
∠
A
4<
/p>
OC
4
…=30°
．
若点
A
1
的坐标为（
3
，
0
）
，
OA
1
=OC
2
，
OA
2
=OC
3
，
OA
3
=OC
4
< br>…
，则依次规律，点
A
2016
的
纵坐标为（
）
A
．
0
B<
/p>
．﹣
3
×（
）<
/p>
2015
C
．
（
2
）
201
6
D
．
3<
/p>
×（
）
2015
35
．如图，点
A
（
1
，
0
）第一次跳动至点
A
1
（﹣
1
，
1
）
，第二次跳动至点
A
2
（
2
，
1
）
，第三次跳动至点
A
3
（﹣
2
，
2
）
，第四次跳动至点
A
4
（
3
，
2
）
，
…
，依此规律跳
动下去，点
A
第
102
次跳动至点
A
102
的坐标是（
）
A
．
（﹣
50
，
50
）
B
．
（﹣
51
，
51
）
C
．
（
52
，
51
）
D
．
（
51
，
50
）
36
．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为
（
1
，
0
）
、
（
2
，
0
）
、
（
2
，
1
）
< br>、
（
1
，
1
）
、
（
1
，
2
）
、
（
2
，
2
）
、
…
根据这个规律，
第
2016
第
12
页（共
50
页）
个点的坐标为（
）
A
．
（
45
，
13
）
B
．
（
45
，
9
）
C
．
（
45
，
< br>22
）
D
．
（
45
，
0
）
37
．
如图，
在平面直角坐标系
xOy
中，
点
A
（
1
，
0
）
，
B
（
2
，
0
）
，
正六边形
ABCDEF
沿
x
轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过
顶
点
是
（
的正六边形的
）
A
．
C
或
E
B
．
B
或
D
C
．
A<
/p>
或
C
D
．
B
或
F
38
．如图，在直角坐标系中，已知点
A
（﹣
3
，
0
）
、
B
（
0
，
4
）
< br>，对△
OAB
连续作
旋转变换，
依次得到△
1
、△
2
< br>、△
3
、△
4
< br>、
…
，△
16
< br>的直角顶点的坐标为（
）
A
．
（
60
，
0
）
B
．
（
72
，
0
）
C
< br>．
（
67
，
）
D
．
（
79
，
）
39
．如图，将边长为
1
的正方形
OAPB
沿
x
轴正
方向边连续翻转
2006
次，点
P
依次落在点
P
1
，
P
2
，
P
3
…P
2006
的
位置，则
P
2006
的横坐标
x
2006
为（
）
第
13
页（共
50
页
）
A
．
2005
B
．
2006
C
．
2007
D
．不能确定
第
14
页（共
50
< br>页）
2017
年
11
月
14
日平面直角坐标系中的规律
探索专题训
练
参考答案与试题解析
一．选择题（共
39
小题）
1
．我们把
1
，
1
，
2
，
3
，
< br>5
，
8
，
13
，
21
，
…
这组数称为斐波那契数列，为了进一
步研究，依次以这列数
为半径作
90°
圆弧
，
，
，
…
得到斐波那契
螺旋线，
然后顺次连结
P
1
P
2
，
P
2
P
3
，
P
3
P
4
，
…
得到螺旋折线
（如
图）
，
已知点
P
1
（
0
，
1
）
，
P
2
（﹣
1
，
0
）
，
P
3
（
0
，﹣
1
）
，则该折线上的点
P
9<
/p>
的坐标为（
）
A
．
（﹣
6
，
24
）
B
．
（﹣
6
，
25
）
C
．
（﹣
5
，
24
）
D
< br>．
（﹣
5
，
25
）
【分析】
观察图象，推出
P
9
的位置，
即可解决问题．
【解答】
解：由题意
，
P
5
在
P<
/p>
2
的正上方，推出
P
9
在
P
6
的正上方，且到
P
6
的距离
=21
+
5=26
，
所以
P
9
的坐标为（﹣
6
，
2
5
）
，
故选
B
．
<
/p>
【点评】
本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题
意，确定
P
9
的位置．
2
．
如图所示，
在平面直角坐标系中，
半径均为
1
个单位长度的半圆
O
1
、
O
2
、
O
3
，
…
组成一条平滑的曲线，
点
P
从原点
O
出发，
沿这条曲线向右运动，
速度为每秒
第
15
页（共
50
页）
个单位长度，则第
2017
秒时，点
P
的坐标是（
）
A
．
（
2016
，<
/p>
0
）
B
．
（
2017
，
1
）
C
．
（
2017
，﹣
1
）
D
．
（
2018
，
0
）
【分析】
以时间为点
P
的下标，
根据半圆的半径以及部分点
P
的坐标可找出规律
“P
4n
（
n
，
0
）
，
P
4n
+
1
< br>（
4n
+
1
，
1
）
，
P
4n
+
2
（
4n
+
2
，<
/p>
0
）
，
P
4n
+
3
（
4n
+
3
，﹣
1
）
”
，依此规
律即可得出第
2017
秒时，点
P
的坐标．
【解答】
解：以时间为点
P
的下标．
观察，发现规律：
P
0
（
0
，
0
）
，
P
1
（
1
，
1
< br>）
，
P
2
（
2
，
0
）
，
P
3
（
3
，﹣
1
）
，
P
4
（
4
，
0
）
，
P
5
（
5
，
1
）
，
…
，
∴<
/p>
P
4n
（
n
，
0
）
，
P
4n
+
1
（
4n
+
1
，
1
）
，
< br>P
4n
+
2
（
4n
+
2
，
0
）
，
P
4n
+
3
（<
/p>
4n
+
3
，﹣<
/p>
1
）
．
∵
2017=504
×
4
+
1
，
∴第
2017
秒时，点
P
的坐标为（
2017
，
1
）
．
故选
B
【点
评】
本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是找出点
P
的变化规律
“P
4n
（
n
，
0
）
，
P
4n
+<
/p>
1
（
4n
+
1
，
1
）
，
P
4n
+
2
（
4n
+
2
，
0
）
< br>，
P
4n
+
3
（
4n
+
3
，﹣
1
）
”
．本题属于基
础题，
难度不大，
解决该题型题目时，
根据圆的半径及时间罗列出部分点
P
的坐
标，根据坐标发现规律是关键．
3
< br>．如图，动点
P
在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向
运动，第
1
次从原点
运动到点
（
1
，
1
）
，
第
2
< br>次接着运动到点
（
2
，
0
）
，
第
3
次接着运动到点
（
3
，
2
）
，
…
，
按这样的运动规律，经过第
2011
次运动后，动点
P
的
坐标是（
）
A
．
（
2011
，<
/p>
0
）
B
．
（
2011
，
1
）
C
．
（
2011
，
2
）
D
．
（
2010
，
0
）
【分析】
观察不难发现，
点的横坐标等于运动的次数，
纵坐标每
4
次为一个循环
第
16
页（共
50
页）
组循环，用
2011
除以
4
，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可．
【解
答】
解：∵第
1
次运动到点（
1
，
1
）
，第
2
次运动到点（
2
，
0
）
，第
3
次接着
运动到点（
3
，
2
）
，第
4
次运动到点（
4
，
0
）
，第
5
次运动到点（
5
，
1
）
…
，
∴运动后点的横坐标等于运动的次数，
第
2011
次运动后点
P
的横坐标为
2011
，
纵坐标以
1
、
< br>0
、
2
、
0
每
4
次为一个循环组循环，
∵
2011
÷
4=502…3
，
∴第
2011
次运动后动点
P
的纵坐标是第
503
个循环组的第
3
次运动，与第
3
次
运动的点的纵坐标相同，为
2
，
∴点
P
（
2011
，
2
）
．
故选
C
．
<
/p>
【点评】
本题是对点的坐标的规律的考查，
根据图形观察出点的横坐标与纵坐标
的变化规律是解题的关键．
4
．
在平面直角坐标系中，正方形
A
1
B<
/p>
1
C
1
D
1
、
D
1
E
1
E
2
B
2
、
A
2
B
2
C
2
D
2
、
D<
/p>
2
E
3
E
4
B
3
…
按如
图所示的方式放置，其中点
B
1
在
y
轴上，点
C
1
、
E
< br>1
、
E
2
、
C
2
、
E
3
、
E
4
、
C
3
…
在
x
轴上，已知正方形
A
1
B
1
C<
/p>
1
D
1
的边长为
l
，∠
B
1<
/p>
C
1
O=60°
，
B
1
C
1<
/p>
∥
B
2
C
2
∥
B
3
C
3
…
，则正
方形
A
2017
B
2017
C
2017
D
2017
的边长是（
）
A
．
（
）
2016
B
．
（
）
2017
C
．
（
）
2016
D
．
（
）
2017
【分析】
利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长
，
进而得出
变化规律即可得出答案．
【解答】
解：∵正方形
A
1
B
1
C
< br>1
D
1
的边长为
1
，∠
B
1
< br>C
1
O=60°
，
B
1
C
1
< br>∥
B
2
C
2
∥
B
3
C
3
，
∴
D
1
E
1
=B
2
E
2
，
D
2
E
3
=B
3
E
< br>4
，∠
D
1
C
1
E
1
=
∠
C
2
B<
/p>
2
E
2
=
∠
C
3
B
3
E
4
=30°
，
第
17
页（共
50
页）
∴
D
1
E
1
=C
1
D
1
sin30°
=
，
则
B
2
C
2
=
=
=
（
）
1
，
）
2
，
）
n
﹣
1
，
）
2016
，
同理可得：
B
3
C
3
=
=
（
故正方形
A
n
B
n
C
n
D<
/p>
n
的边长是：
（
则正方形
A
2017
B
2017
C
2017
D
2017
的边长为：
（
故选：
C
．
【点评】
此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，
得出正方形的边
长变化规律是解题关键．
5
．如图
，正方形
ABCD
的四个顶点在坐标轴上，
A
点坐标为（
3
，
0
）
，假设有甲、
乙两个物体
分别由点
A
同时出发，沿正方形
ABC
D
的边作环绕运动，物体甲按逆
时针方向匀速运动，物体乙按顺
时针方向匀速运动，如果甲物体
12
秒钟可环绕
一周回到
A
点，
乙物体
24
秒钟可环绕一周回到
A
< br>点，
则两个物体运动后的第
2017
次相遇地点的坐标是（
）
A
．
（
3
，
0
）
B
．
（﹣
1
，
2
）
C
．
< br>（﹣
3
，
0
）
D
．
（﹣
1
，﹣
2
）
【分析】
由甲、
< br>乙两物体单独环绕一周的时间即可算出两物体每两次相遇间的间
隔时间，根据
2017
×
8=24
×
672
+
8
即可得出两个物体运动后的第
2017
次相遇地
点为乙物体第
8
秒运动到的位置，
< br>结合图形找出乙物体第
8
秒运动到点的坐标即
可得出结论．
【解答】
解：甲、乙两物体两次相遇间隔为
1
÷（
第
18
页（共
50
< br>页）
+
）
=8
（秒）
，
< br>
∵
2017
×
8=24
×
672
+
8
，
∴两个物体运动后的第
2017
次相遇地点为乙物体
第
8
秒运动到的位置．
∵乙物体第
2
秒运动到点（
2
，﹣
1
）
，
乙物体第
4
秒运动到点（
1
，﹣
2
）
，乙物体
第
6
秒运动到点（
0
，﹣
3
）
，乙
物体第
8
秒运动到点（﹣
1
，﹣
2
）
，
∴两个物体运动后的第
2017
< br>次相遇地点的坐标是（﹣
1
，﹣
2
）
．
故选
D
．
<
/p>
【点评】
本题考查了规律型中点的坐标，根据两物体的运动找出两
物体第
2017
次相遇地点为乙物体第
8
秒运动到的位置是解题的关键．
6
．正方形
A
1
B
1
C<
/p>
1
O
，
A
2
B
2
C
2
C
1
，
A
3
B
3
C
3
C
2
，
…
按如图所示放置，点
A
1
，
A
2
，
A
3
，和
< br>点
C
1
，
C
2
，
C
3
，
…
，分别在直线
y=kx
+
b
（
< br>k
＞
0
）和
x
轴上，已知点
B
1
，
B
2
，
< br>B
3
，
B
4
的坐标分别为（
1
，
1
）
（
3
< br>，
2
）
，
（
7
，
4
）
，
（
15
，<
/p>
8
）
，则
B
n
的坐标是（
）
A
．
（
2
n
﹣
1
，
2
n
﹣
1
）
< br>
B
．
（
2
n
，
2
n
﹣
1
）
C
．
（
2
n
﹣
1
，
2
n
）
< br>D
．
（
2
n
﹣
1
﹣
1
，
2
n
﹣
1
）
【分析】<
/p>
设
B
n
的坐标为
（
x
n
，
y<
/p>
n
）
，根据点
B
1
，
B
2
，
B
3
，
B
4
坐标的变化找出变化
规律
“B
n
的坐标为（
2
n
﹣
1
< br>，
2
n
﹣
1
）
”
，此题得解．
【解答】
解：设
B
n
的坐标为（
x
n
，
y
n
）
，
∵
y
1
=1
，
y
2
=2
，
y
< br>3
=4
，
y
4
=8
，
∴
y
n
=2
n
1
；
∵<
/p>
1=2
×
1
﹣<
/p>
1
，
3=2
×<
/p>
2
﹣
1
，
7=2
×
4
﹣
1
，
15=2
×
8
﹣
1
，
∴
x
n
=2y
n
﹣
1=2
n
﹣
1
．
∴
B
n
< br>的坐标为（
2
n
﹣
1
，
2
n
< br>﹣
1
）
．
故选
A
．
【点评】
本题考查了规律型中点的坐标的变化，
根据点的坐标的变化找出变化规
第
19
页（共
50
页）
﹣
律是解题的关键．
7
．在平面直角坐标系中，若干个半
径为
1
的单位长度，圆心角为
60°<
/p>
的扇形组
成一条连续的曲线，点
P
从原点
O
出发，向右沿这条曲线做上下起伏运
动（如
图）
，点
P
在直线上运动的速度为每秒
1
个单位长度，点
P
在弧线上运动的速度
为每秒
个单位长度，则
2017
秒时，点
P
的坐标是（
）
A
．
（
）
，
）
B
．
（
，﹣
）
C
．
（
2017
，
）
D
．
（
2017
，﹣
【分析】
设第
n
秒运动到
P
n
（
n
为自然数）点，根据点
P
的运动规律找出部分
P
n
点的坐标，
根据坐标的变化找出变化规律
“P
4n
+
1
（
< br>P
4n
+
3
（
，﹣
，
）
，
P
4n
+
2
（
2n
+
1
，
0
）
，
）
，
P
4n
+
4
（
2n
+
2
，
0
）
”
，依此规律即可得出结论．
【解答】
解：设第
n
秒运动到
P
n
（
n
为自然数）点，
观
察，发现规律：
P
1
（
，
（
，
∴
P
4n
+
1
（
）
，
…
，
，
）
，
P
4n
+
2
（
n
+
1
，
0
）
，
P
4n
+
3
< br>（
，﹣
）
，
P
4n
+
4
（
2n
+
2
，
0
）
．
<
/p>
）
，
P
2
（
1
，
0
）
，
P
3
（
，﹣
）
，
< br>P
4
（
2
，
0
）
，
P
5
∵
2017=4
×
504
+
1
，
∴
P
2017
为（
故选
A
< br>．
【点评】
本题考查了规律型
中的点的坐标，
解题的关键是找出变化规律，
本题属
于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据
坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．
8
．如图，在平面直角坐标系中，边
长为
1
的正方形
OA
< br>1
B
1
C
1
的两边在坐标轴上，
第
20
页（共
50
页）
，
）
．
以它的对角线
OB
< br>1
为边作正方形
OB
1
B
2
C
2
，再以正方形
OB
1
B
2
C
2
的对角线<
/p>
OB
2
为
边作正
方形
OB
2
B
3
C
3
，以此类推
…
则正方形
OB
2016
B
2017
C
2017
的顶点
B
2017
的坐标是
（
）
A
．
（
2
1008<
/p>
，
0
）
B
．
（
2
1008
，
2
1008<
/p>
）
C
．
（
0
，
2
1008
）
D
．
（
2
1007
，
2
1007
）
【分析】
根据给定图形结合正方形的性质
可得出，点
B
1
、
B
2
、
B
3
、
B
4
、<
/p>
B
5
、
…
、
的坐标，
观察点的坐标可得知，
下标为奇数的点的坐标的横纵坐标的绝对值依此
为前一个点的横纵坐标绝对
值的
2
倍，且
4
次一循环，由此即可得出
B
8n
+<
/p>
1
（
2
4n
，
2
4n
）
（
n
为自然数）
，依
此规律即可得出结论．
【解答】
解：
观察，发现：
B
1
（
< br>1
，
1
）
，
B
2
（
0
，
2
）
，
B
3
（﹣
2
，
2
）
，
B
4
（﹣
4
，
0
）
，
< br>B
5
（﹣
4
，﹣
4
）
，
B
6
（
0
，
﹣
8
）
，
B<
/p>
7
（
8
，﹣
8
）
，
B
8
（
16
，
0
）
，
B
9
（
16
，
< br>16
）
，
…
，
∴
B
8n
+
1
（
2
4n
，
2
4n
）
（
n
为自然
数）
．
∵
2
017=8
×
252
+
1
，
∴点
< br>B
2017
的坐标为（
2
1008
，
2
100
8
）
．
故选：
B
．
【点评】
本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，
根据点的坐标的变化
找出变化规律
“B
8n
+
1
（
2
4n
，
2
4n
）
（
n
为自然数）
”
是解题的关键．
9
．如图，半径为
2
的正六边形
ABCD
EF
的中心在坐标原点
O
，点
P
从点
B
出发，
沿正六边形的边按顺时针方向以每秒
2
个单位
长度的速度运动，
则第
2017
秒时，
点
P
的坐标是（
）
A
．
（
1
，
）
B
．
（﹣
1
，﹣
）
C
．
（
1
，﹣
第
21
页（共
50
页）
）
D
．
（﹣
1
，
）
【分析】
由于
2017=6
×
33
6
+
1
，则可判断第
< br>2017
秒时，点
P
运动到点<
/p>
C
，作
CH
⊥<
/p>
x
轴于
H
，如图
，根据正六边形的性质得到
OB=BC=1
，∠
BCD=120°
，所以∠
BCH=30°
，再通过解直角三角形求出
CH
和
BH
，然后写出
C
点坐标即可
．
【解答】
解：∵
< br>2017=6
×
336
+
1
，
∴第
2017
秒时，点
P
运
动到点
C
，
作
CH
⊥
x
轴
于
H
，如图，
∵六边形
ABCDEF
是半径为
1<
/p>
的正六边形，
∴
OB=BC=2
，∠
BCD=120°
，
∴∠
BCH=30°
，
在
Rt
△
BCH
中，
BH=
BC=1
，
CH=
∴
OH=OB
﹣
BH=1
，
∴
C
点坐标为（
1
，﹣
）
，
）
．
BH=
，
∴
第
2017
秒时，点
P
的坐标是（
1
，﹣
故选
C
．
【点评】
本题考查了规律型：
点的坐标：
利用正多边形的性质确定动点的运动规
律，熟记正多边形以及解直角三角
形的有关知识是解题的关键．
<
/p>
10
．如图，△
A
1
A
2
A
3
，△
A
4
A<
/p>
5
A
6
，△
A
7
A
8
A
9
…
，△
A
3n
﹣
2
A
3n
﹣
1
A
3n
（
n
< br>为正整数）均
为等边三角形，它们的边长依次为
2
，
4
，
6
，
…
，
2n
，顶点
A
3
，
A
6
，
A
< br>9
…A
3n
均在
y
轴上，点
O
是所有等边三角
形的中心，则点
A
2016
的坐标为（
）
第
22<
/p>
页（共
50
页）
A
．
（
0
，
448
）
B
．
（﹣
672
，
）
C
．
（
0
，
）
D
．
（
0
，
）
【分析】
先关键等边三角形的性质和已知条件得出
A
3
的坐标，根据每一个三角
形有三个顶点确定出<
/p>
A
2016
所在的三角形，再求出相应的
三角形的边长以及
A
2016
的纵坐标
的长度，即可得解．
【解答】
解：∵
△
A
1
A
2<
/p>
A
3
为等边三角形，边长为
2
，点
A
3
，
A
6
，
A
9
，
…
，
A
3n
均在
y
轴上，点
O
是所有等边三角形的中心
，
∴
A
3<
/p>
的坐标为（
0
，
∵
2016
÷
3=672
，
∴
A
< br>2016
是第
672
个等边三角
形的第
3
个顶点，
< br>∴点
A
2016
的坐标为（
0
，
×
即点
A
2016
的坐标为（
0
，
448
故选：
< br>C
．
【点评】
本题是点的变化规律的考查，
主要利用了等边三角形的性质，
< br>确定出点
A
3
和
A
2016
所在三角形是解题的关键．
11
< br>．如图，点
A
（
0
，
1
）
，点
B
（﹣
，
0
< br>）
，作
OA
1
< br>⊥
AB
，垂足为
A
1
，以
OA
1
为
）
；
）
，
）
，
边作<
/p>
Rt
△
A
1
OB
1
，使∠
A<
/p>
1
OB
1
=90
°
，
∠
B
1<
/p>
=30°
，
作
O
A
2
⊥
A
1<
/p>
B
1
，垂足为
A
2
，再以
OA
2
为边作
Rt
△
A
2
OB
2
，
使∠
A
2
O
B
2
=90°
，
∠
B
2
=30°
，
…
，
以同样的作法可得到
Rt
△
A
n
OB
n
，
则当
n=2017
时，点
A
2017
的纵坐标为（
）
第
23<
/p>
页（共
50
页）
A
．
（
）
2017<
/p>
B
．﹣（
）<
/p>
2017
C
．
（
）
2018
D
．﹣（
）
2
018
【分析】
由每次旋转
30°
可知，点所在的射线以
12
为周期循环，所以
A
2017
在射
线
OA
1
上，故排除
B
、
D
< br>，再找到三角形的变化规律即可解题．
【解答】
解：在
Rt
△
AOB
中，
OA=1
，
OB=
∴∠
ABO=30°
，
∵
OA
1
⊥
AB
，
∴
A
1
O=
OB=
，∠
AOA
1
=30°
，
，
可知每次逆时针旋转
30°
，点所在的射线以
12
为周期循环，
∵且每次旋转后，原三角形的高变新的直角边，
∴三角形依次减小，且相似比为
，
<
/p>
2017
÷
12=168…
余
1
，
所以当
n=2017
时，
点
A
2017
的纵坐标与
A1
< br>的纵坐标在同一
条射线上，
且
OA
2017
=
，
过点
A
1
作
A
1
E<
/p>
⊥
OB
于
E
，
∴∠
EA
1
O=30°
，
∴
OE=
A
1
O=
，
A
1<
/p>
的纵坐标
=A
1
E=
（
OA
2017
< br>=
）
2
=
，
OA
1
，
<
/p>
点
A
2017
的
纵坐标为
故选
C
．
第
24
页（共
< br>50
页）
【点评】
本题考查了含
30°
直角三角形的性质，考查了相似三角形规律
的发现，
本题中根据相似比求
OA
20
17
的长是解题的关键．
12
．如图，在平面直角坐标系中<
/p>
xOy
中，已知点
A
（
0
，
1
）
，以
OA
为边在右侧
作等边三角形
OAA
1
，再过
点
A
1
作
x<
/p>
轴的垂线，垂足为点
O
1
，以
O
1
A
< br>1
为边在右
侧作等边三角形
O<
/p>
1
A
1
A
2
；
…
按此规律继续
作下去，
得到等边三角形
O
2016<
/p>
A
2016
A
2
017
，
则点
A
2017
的纵坐标为（
）
A
．
（
）
2017<
/p>
B
．
（
）
2016
C
．
（
）
2015<
/p>
D
．
（
）
2014
【分析
】
根据
30°
角所对的直角边等于斜边
的一半得出
O
1
A
1
=
OA
1
=
，
O
2
A
2
=
O
1
A
2
=
（
）
2
，
O
3
A
3
=
< br>O
2
A
3
=
（
）
3
，
即点
A
1
的纵坐标为
< br>；点
A
2
的纵坐
标为（
）
2
，点
A
3
的纵坐标为（
）
3
，以此类推，从中得出规律，即可求出答
案
．
【解答】
解：∵三角形
OAA
1
是等边三角形，
∴
OA
1
=O
A=1
，∠
AOA
1
< br>=60°
，
∴∠
O
1
OA
1
=30°
．
在直角△
O
1
OA
1
中，∵∠
OO
1
A
1
=90°
，∠
O
1
OA
1
=3
0°
，
∴
O
1
A
1
=
OA
1
=
，即点<
/p>
A
1
的纵坐标为
；
第
25
页
（共
50
页）