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2021年2月17日发(作者：我不是药家鑫)

考点：立体图形的体积问题

一、知识要点

解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：

（

1

）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体 的体积。把物体从水中取出，水面下降部

分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在 水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开

水的体积就等于浸在水中的那部分物体 的体积。

（

2

）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。

< /p>

（

3

）求一些不规则形体体积时，可以通 过变形的方法求体积。

（

4

）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。

【例题

1

】

一个长方体，如果长增加

2

厘米，则体积增加

40

立方厘米；如果宽增加

3

< br>厘米，

则体积增加

90

立方厘米 ；如果高增加

4

厘米，则体积增加

96

立方里，求原长方体的表面积。

我们 知道：

体积

=

长×宽×高；

< p>
由长增加

2

厘米，

体积增 加

40

立方厘米，

可知宽×高

=40

÷

2=20

（平 方厘米）；由宽增加

3

厘米，体积增加

90

立方厘米，可知长×高

=90

÷< /p>

3=30

（平方厘米）；由

高增加

4

厘米，体积增加

96

立方厘米，可知长×宽

=96

÷

4= 24

（平方厘米）。而长方体的表面积

=

（长×宽

+

长×高

+

宽×高）×

2=

（

20+30 +24

）×

2=148

（平方厘米）。 即

40

÷

2 =20

（平方厘米）

90

< p>
÷

3=30

（平方厘米）

96

÷

4=24

（平方厘米）

（

30+20+24

）×

2

=74

×

2

=148

（平方厘米）

答：原长方体的表面积是

148

平方厘米。

练习

4

：

< /p>

1

、（课后）一个长方体，如果长减少

2

厘米，则体积减少

48

立方厘米；如果 宽增加

5

厘米，

则体积增加

< p>
65

立方厘米；如果高增加

4

厘米，则体积增加

96

立方厘米。原来厂房体的表面积是多

少平方厘米？

（

48

÷

2+65

÷

5+96

÷

4

）×

< p>
2

＝

122

平方厘米

2

、一个厂房体木块，从下部和上部分别 截去高为

3

厘米和

2

< br>厘米的长方体后，便成为一个正

方体，其表面积减少了

1 20

平方厘米。原来厂房体的体积是多少立方厘米？

1

减少的表面积实质是高度分别为

2

厘米和

3

厘 米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个

合并起来，用

1 20

÷（

2+3

）＝

< br>24

厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是

2 4

÷

4

＝

6< /p>

厘

米。圆长方体的体积是：

6

< p>
×

6

×（

6+3+2

）＝

396

立方厘米

3

、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和 是

209

。如果它的长、宽、高都是质

数，这个长方体的体积是多少？

宽

长

高

图

27

－

9

长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×（宽

+

高），

209

＝

11

×

19

，所以长

＝

11

，宽

+

高＝

19

，或长＝

19

，宽

+

高＝

11

，根据题意，宽和高只能是

17

和

2

，长方体的体积就

是

11

×

17

×

2

＝

374

【例题

2

】

有大、中、小三个正方体水 池，它们的内边长分别为

6

米、

3

米、

2

米。把两堆碎石

分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了

6

厘米和

4

厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水

池里，大水池的水面升高多少厘米？

中、小水池升高部分是一 个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了

6

< br>厘米和

4

厘米，两堆碎石的体积就是

3

×

3

×

0.06+2

×

2

×

< br>0.04=0.7

（立方米）。把它沉到大水池

里，水面 升高部分的体积也就是

0.7

立方米，再除以它的底面积就能求 得升高了多少厘米。

3

×

< p>
3

×

0.06+2

×

2

×

0.04=0.7

（立方米）

0.7

÷

< p>
6

的平方

=7/360

（ 米）

=1

又

17/18

（厘米）

答：大水池的水面升高了

< br>1

又

17/18

厘米。

练习

2

：

< /p>

1

、（课后）有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为

4

米、

3

米、

2

米。把两堆碎

石分别沉没在中、小水 池的水中，两个水池的水面分别升高了

4

厘米和

11

厘米，如果将这两堆碎

石都沉没在大水池中，那么 大水池水面将升高多少厘米？

（

3< /p>

2

×

0.04+2

2

×

0.11

）÷

< br>4

2

＝

0.05

米＝

5

厘米

2

、用直径为

20

厘米的圆钢 ，锻造成长、宽、高分别为

30

厘米、

20

厘米、

5

厘米的长方体钢

板，应截取圆钢多长（精确到

0.1

厘米）？< /p>

20

30

×< /p>

20

×

5

÷【< /p>

3.14

×（

）

2

】≈

9.6

厘米

2

2

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