几何之立体图形-小学数学
写雨的诗句-
第三讲
几何之立体图形
教学目标
立体图形，主要考点集中在
不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的“染色问题”
，也是经常
见到的“几何奥数题”
。
小学阶段，
我们除了学习平面图形外，
还认识了一些简单的立
体图形，
如长方体、
正方体
（立方体）
、
直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面
积的计算公式，归纳如下。
★★★
正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面
都是正方形．如果它的棱长为
a
，那么可得：
2
正方体的表面积：
S
正方形
6
a
3
正方体的体积：
V
正方形
a
★★★
长方体：若长方
体的长、宽、高分别为
a
,
b
,
c
，那么可得：
<
/p>
2
ab
bc<
/p>
ac
）
长方体
的表面积：
S
长方形
（
长方体的体积：
V
长方形
abc
★★★
圆柱体：如右图，圆柱体的
底面是圆，其半径为
r
；圆柱体的侧面展开图是一个
长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长；
<
/p>
圆柱体的表面积：
S
圆柱
侧面积
2
个底面积
2
rh
2
r
2
圆柱体的体积：
V
圆柱
r
h
★★★
圆锥体：如右图，圆锥体的
底面是圆，其半径为
r
；圆锥体的侧面展开图是一
个扇形；
圆锥体的体积：
V
圆锥体
★★★
< br>
球体：
V
球体
2
1
2
< br>r
h
3
4
r
3
3
r
在数学
竞赛中，
有许多几何趣题，
解答这些趣题的关键在于精巧的构思
和恰当的设计，
把形象思维和抽象思维结合起来。
想
（
06
年武汉明心数学挑战赛）
如右图，两个人正在为一个开口为正方形的长方体容器中是否
挑
正好装了一半水而争吵．请你设计
一种方案，不用其他任何工具与
战
设备，并且不能把水倒出来而判断出容器中的水是否正好装了一半．
吗
？
教师版答案提示：
如下图，将长方体容器如图那样倾斜，使一端的水面刚好到容器口的棱
A
处，水平面
的另一端刚好在棱
B
处时，容器内正好装了一半水．如果不符合上述情况则容器内装
的水就不是一
半．如图②是容器里的水正好装一半，图①和图③则不是，图①大于一
半，图③小于一半
．
立体图形的表面积
边长为
1
厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第
5
层时，这个立体图形的表面积是多
少平方厘米？
分析：
图形所含块数的规律：第
1
层
1
块，第
2
层
3
块，第
3
层
6
块，第
4
层
10
块，第
5
层
15<
/p>
块，依
次增加
2
、
3
、
4
、<
/p>
5
…，当重叠到第
5
层时，该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是
15
平
方厘米，该图形的总表面积为
90
立方厘米。
【例
1
】
<
/p>
有两个圆柱体的零件，高
l0
厘米，底面
直径是
6
厘米，零件的一端有有
一个圆
柱体的零件，高
l0
厘米，底面直径是
6
厘米，零件的一端有一个
圆柱形直孔，如图，圆孔直径是
4
厘米，孔深
5
厘
米，如果将这个零件
接触空气部分涂上防锈漆，一共要涂多少平方厘米
< br>?(
3.14
)
<
< br>分析
>
：
观察可知涂漆部分包括圆柱体的外表面，以及圆孔的内表面．
零件的上、下底面：
3
2
< br>54
，零件的外侧面：
6
10
180
零件的内侧面：
4
5
60
，零件涂防锈漆部分为：
54
180
<
/p>
60
294
。
【巩固】
右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆
环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是
a
厘米
，那么哪
种颜色的布用得多？
2
2
分析：一样多。黑布：
a
2
a
a
3
a
，白
布：
(2
a
)
a
<
/p>
3
a
。
2
2
2
2
【例
2
】
用铁皮做一个如图所示的工件
(
两端不封闭
)
，需要铁皮
< br>多少平方厘米
?
（
3
）
分析：
工件既不是圆柱也不是圆锥，
不是我们常见的规则几
何图形，因此要考虑如何将此
几何体转化为熟悉的常见几何体．如下图，再取一个同样的工件，两个工
件拼在一起，可
以拼成一个规则的圆柱体，则一个工件的侧面积是此圆柱侧面积的一半．圆柱的高为：
4
6
54
1
00
，圆柱的侧面积为：
15
100
4500
，一个工件需铁皮：
4500
2
2250
(
平方厘
米
)
．在解决不规则立体图形的问题时，关键是先将其转化为规则的立体图形，然后才能利用已经
掌握的
公式、性质进行解题．其实这个思想我们在春季班就已经接触到了。
【巩固】
（五年级春季所学相关题目）
（
07
年希望杯培训试题）一个底面为正方形
的长方体木块被锯掉一部分，变成如右
图所示的六面体
ABCD-EFGH
，其中
最长的边
DH=8
厘米，最短的边
AB=BC=CD=DA=BF=4
厘米，那么这个六面体
的体
积是多少
立方厘米？
分析：
42
．
这个六面体的体积是长
4
厘米，
宽
4
厘米，
高
12
厘米的长方体体积的一半，
即
4×4×12÷2
=96(
立
< br>方厘米
).
【拓展】
（
05
年华罗庚金杯）如图
1
是一个直三
棱柱的表面展开图，其中，灰色和
黑色的部分都是边长等于
1<
/p>
的正方形．
问：
这个直三棱柱的体积是多
少
?
分
析：如图
2
，这个直三棱柱是棱长为
1
的正方体沿一条对角线切
割得到的直三棱柱体．正方体的体积是
1
，这个直三棱柱的体积是
正方体体积
的一半，体积是
【例
3
】
1
．
2
（迎春杯数学邀请赛）
一个正方体的表面积为
54
平方厘米，
如果一刀把它切成两个长方体，
那么，这两个长方体表面积的和是多少平方厘米？
分析：已知正方形的表面积为
54
平方
厘米，那么这个正方形每一个侧面的面积为
54÷
6=9(
平方厘米
)
．一
刀
切成两个长方体后，
这两个长方体的表面积之和比原来正方形表面积增加了
9×
2=18(
平方厘米
)
．
因此，
所求的两个长方体的表面积之
和为：
54+18=72(
平方厘米
)
．
【前铺】
如右图，正方形
ABCD
的边长是
6
厘米
，过正方形内的任意两点画
直线，
可把正方形分成
9
个小长方形。
这
9
个小长方形的周长之和是
多少厘米？
分析：从总体考虑，在求这
9
个小长方形的周长之和时，
AB
、
BC
、
CD
、
AD
这四条
边被用了
1<
/p>
次，
其余四条线被用了
2
次，
所以
9
个小长方形的周长
之和是：
4
×
6+4
< br>×
2
×
6=72
（厘米）
.
【前铺】
（五年级春季所学相关思路
的题目）一个正方体形状的木块，棱长为
1
米，沿着水平方向将
它锯成
3
片，每片又按任意尺寸锯成<
/p>
4
条，每条又按任意尺寸锯成
5
小块，共得到大大小小
的长方体
60
块
.
问这
60
块长方体表面积的和是多少平方米？
分析
原来的正方体有六个外表面，每
个面的面积是
1
×
1
< br>＝
1
（平方米）
，无论后来锯成
多少块，这六个
外表面的
6
平方米总是
被计入后来的小木块的表面积的
.
再考虑每锯一刀，
就会得到两个
1
平方米的表面，
< br>现在一共锯了：
2+3+4
＝
9
（刀）
，一共得到
18
平方米的表面
.
因此，总的表面积为：
6
＋（
2+3
＋
4
）×
2
＝
24
（平方米）
。
【例
4
】
<
/p>
（
05
年清华附培训试题）将一个表面积
涂有红色的长方体分割成若干个棱长为
1
厘米的小
正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有
3
个，
求原来长方体的表面积是多少平方厘
米？
分析：长：
3+1+1=5
厘米；宽：
1+1+1=3
厘米；高：
1+1+1=3
厘米；所以原长方体的表面积是：
（
3
×
5
+3
×
5+3
×
3
）
3
×
2
=78
平方厘米。
【前铺】
（五年级春季所学相关思路
的题目）右图是
4
×
5
×
6
正方体，如
果将其表面涂
成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的
小正方体各有多少块？
分析：三面涂红色的只有
8
个顶点处的
8
个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共（
4-2
）×
4+
（
5-2
）×
4+
（
6-2<
/p>
）×
4=36
块；
一面涂红的表面中间部分：
（<
/p>
4-2
）×（
5-2
）×
2+
（
4-2
）×（
6-2
）×
2+
（
5-2
）×（
6-
2
）×
2=52
块。
< br>
没涂红色的小方块有：
（
4-
2
）×（
5-2
）×（
6-2
）
=24
块。注意帮助
孩子们理
解，而后可以总结规律。
【拓展】
（五年级春季所学相关思路
的题目）
右图是由
27
块小正方体构成
的
3
×
3<
/p>
×
3
的正方体。如果将其表面涂成红色，
则在角上的
8
个小正
方体有三面是红色
的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余
18
块小方块中，
有
12
个两面是红的，
6
个一面是红的。这样两面有红
色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍
，三面有红色的小
方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正
方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有
红
色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有
的小方块是三面有红色的小方块的八倍？
分析：
对于由
n
块小正方体构成的
n×n×n
正方体，
三面涂有红色的有
8
块，
两面涂有红色的有
12×
（
n
2
3
－
2
）块，一面涂有红色
的有
6×（
n
－
2
）
块，没有涂色的有（
n-2
）
块。由题设条件，一点红色也没有
3
的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（
n-2
）
＝8×8，解得
n
＝
6
。
立体图形的体积
【例
5
】
<
/p>
（
05
年华罗庚金杯）
< br>如图，
一个圆锥形容器甲与一
个半球形容器乙，它们圆形
口的直径与容器的高的
3