函数及其表示知识点大全、经典例题及解析、今年高考题带答案
曹-
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函数及其表示
【考纲说明】
1
、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
<
/p>
2
、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法
、列表法、解析法）表示函数。
3
、
了解简单的分段函数，并能简单应用。
4
、本部分内容在高考中约占
10
分。
【趣味链接】
教室里有
40
个人（看成集合
A
）
，刚好有
40
张椅子（看成集合
B
）
。如果你们很听话，每人坐一张椅子，
就是
一对一映射。但是如果你喜欢那个女生，你跑去和她共用一张椅子，也就是两个人都
对应着同一张椅子，这就是多
对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子，这样很霸道。
也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系，但是一个人
不能坐多张椅子。也就是集合
A
中的很多元素都可以对应着集合
B
中的同一个元素，但是集合
A
中的一个元素不
能同时对应着集合
B
中的多个元素。<
/p>
于是，总的一句话，映射就是集合
A
中的任意一个元素，在集合
B
中都有唯
一的元素与之对应。这句话有两
个词很重要，一个是任意，另一个是唯一。
而函数呢，只要映射当中的集合
A<
/p>
和集合
B
里面的元素都是数就叫做函数了
。
【知识梳理】
一、函数的概念
1
< br>、设
A
、
B
是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的任意元素，在集合
B
中都有唯一确定的元素
与之对应，那么这样的单值对应叫做从
A
到
B
的映射，通常记为
f
:
A
B
，
f
表示对应法则。
给定一个集合
A
到
集合
B
的映射，
且
a
A
,
b
B
。
如果
元素
a
和元素
b
对应，
那么我们把元素
b
叫做元素<
/p>
a
的
象，元素
a
叫做元素
b
的原象．
< br>
注意：
（
1
< br>）
A
中元素必须都有象且唯一；
（
2
）
B
中元
素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2
、函数的定义：
< br>设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中的任意一个
x
，在集合
B
中都有唯一确
定的数和它对
应，那么这样的对应叫做从
A
到
B
的一个函数，通常记为
y
=
f
(
x
)
。
3
、函数的定义域、值域
在函数
y
f
(
x
),
x
A
中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做
y
f<
/p>
(
x
)
的定义域
；与
x
的值相对应的
y
值
叫做函数值，函数值的集合
f
(
x
)
x
A
称为函数
y
f
(
x
)<
/p>
的值域。显然，值域是集合
B
的子集。<
/p>
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4
、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。
5
、区间的概念及表示法
设
a
,
b
是两个实数，且
a
b
，
满足
a
x
b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记做
< br>[
a
,
b
]
；
满足
a
x
b<
/p>
的实数
x
的集合叫做开区间，记做
(
a
,
b
)
；
满足
a
x
< br>b
，或
a
x
b
的实数
x
的集合叫做半开半闭区间，分别记做
[
< br>a
,
b
)
，
(
a
,
b
]
；
满足<
/p>
x
a
,
x
a
,
x
b
,
x
b
的实数
x
的集合分别记做
[
a
,
),(
a
,
),(
,
b
],(
,
b
)
。<
/p>
注意：
对于集合
{
x
|
a
x
b
}
与区间
(
a
,
b
)
，前者
a
可以大于或等于
b
，而后者必须
a
b
。
6
、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①是整式时，定义域是全体实数。
②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。
③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集
合。
④
对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于
1
。
⑤
y
tan
x
中，
x
k
2
(
k
Z
)
。
⑥零（负）指数幂的底数不能为零。
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等
函数的定义域的交集。
⑧对于求复
合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出。
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体
情况需对字母参数进行分类讨论。
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。
二、函数的表示方法
函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1
、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2
、列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；<
/p>
3
、解析法：就是把两个变量的函数关
系，用等式来表示。
三、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数
称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的
定义域的并集，
其值域等于各段函数的值域的并集，
分段函数虽
由几个部分
组成，但它表示的是一个函数。
四、求函数解析式常用的方法
1
、待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次
函数，正、反例
函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中
扮演着十分重要的角色。其方法：已知所
求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再
根据题意列出方程组求出系数。
2
、
换元法
换元法也是求函数解析式的常用方
法之一，
它主要用来处理不知道所求函数的类型，
且函数的变量
易于用另一
个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要
注意新元定义域的变化，最后结果要
注明所求函数的定义域。
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3
、配凑法
已知复合函数
f
[
g
< br>(
x
)]
的表达式，要求
f
(
x
)
的解析式时，若
f
[
g<
/p>
(
x
)]
表达式
右边易配成
g
(
x
)
的运算形式，则
可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义
域的变化。
4
、消元法，此方法的实
质是解函数方程组
消元法适用的范围是：题高条件中，有若干
复合函数与原函数
f
(
x
)
混合运算，则要充分利用变量代换，然后
联立方程
组消去其余部分。
5
、赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。
其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式
。
【经典例题】
< br>
log
2
(
< br>1
x
),
x
0
【例
1
】
（
2009
山东理）定义在
R
上的函数
f(x
)
满足
f(
x
)=
，则
f
（
2009
）的值为（
）
f
(
x
1
)
f
(
x
2
< br>),
x
0
A.-1
B.
0
C.1
D. 2
【解析】由已知得
f
(
1)
log
2
2
1
,
f
(0)
0
,
f
(1)
f
(0)
f
(
1)
1
,
f
(2)
f
(1)
f
(0)
1
,
f
(3)
f
(2)
f
(1)
1
(
< br>1)
0
,
< br>f
(4)
f
< br>(3)
f
(2)
0
(
< br>
1)
1
,
f
(5)
f
(4)
f
(3)
1
,
f
(6)
f
(5)
f
(4)
0
,
所以函数
f(x)
的值以
6
为周期
重复性出现
.,
所以
f
（
2009
）
= f
（
5
）
=1
，故选答案
C.
【例
2
】
（
2009
山东文）定义在
R
上的函数
f(x
)
满足
f(
x)=
x
0
log
2
(
4
x
),
，则
f
（
3
）的值为（
）
f
(
x
1
)
f
(
x
2
),
x
0
A.-1
B. -2
C.1
D.
2
【解析】由已知得
f
(
1)
log
2
5
,
f
(0)
log
2
4
2
,
f
(1)
f
(0)
f
(
1)
2
log
2
5
,
f
(2)
f
(1)
f
(0)
log
2
5
,
f
(3)
f
(2)
f
(1)
log
2
5
(2
log
2
5)
2
,
故选
B.
【例
3
】
（
2009
江西理）函数
y
ln(
x
1)
x
3
x
4
2
的定义域为（
）
A
．
(
4,
1)
B
．
(
4,1)
C
．
(
1,1)
D
．
(
1,1]
<
/p>
x
1
0
x
1
1
x
1
.
故选
C.
【解析】由
2
4
x
1
x
3<
/p>
x
4
0
【例
4
】
（
2009
四川）已
知函数
f
(
x
)
是定义在实数集
R
上的不恒为零的偶
函数，且对任意实数
x
都有
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xf<
/p>
(
x
1
)
(
1
x
)
f
(
x
)
，则
< br>f
(
)
的值是
< br>
(
)
5<
/p>
2
1
5
C. 1
D.
2
2
1
x
1
【解析】若
x
≠0
，则有
f
(
x
1
)
f<
/p>
(
x
)
，取
x
，则有：<
/p>
x
2
1
1
1
1
2
f
(
1
)
f
(
1
)
f
(<
/p>
1
)
（∵
f
(
x
)
是偶函数，
则
f
(
)
f
(
1
)
1
2
2
2
< br>2
2
2
1
1
1
f
(
)
f
(
)
）由此得<
/p>
f
(
)
0
于是
2
2
2
3
1
1
1
< br>5
3
2
f
(
3
)
5
f
(
3
)
5
f
(
1
1
)
5
[
2
< br>]
f
(
1
)
5
f
(
1
)
0
f
(
)
f
(
1
)
3
2
< br>2
2
3
2
3
2
3
1
2
2
2
2
A. 0
B.
故选答案
A.
【例
5
】
（
< br>2010
福建）下列函数中，与函数
y
< br>
1
有相同定义域的是
(
)
x
<
/p>
A.
f
(
x
)
ln
x
B.<
/p>
f
(
x
)
【解析】由
y
<
/p>
1
x
C.
f
(
x
)
|
x
|
D.
f
(
x
)
e
x
1
1
可得定义域是
x
0.
f
(
x
)
ln
x
的定义域
x
0
；
f
(
x
)
的定义域是
x
≠0
；
f
(
x
)
|
x
|
< br>的定
x
x
x
义域是
x
R
;
f
(
x
)
e
定义域是
x
R
。故选答案
< br>A
。
【例
6
】
（
2010
< br>浙江理）对于正实数
，记
M<
/p>
为满足下述条件的函数
f
(
x
)
构成的集合：
x
1
,
x
2
R
且
x
2
x
1
，
有
(
x
2<
/p>
x
1
)
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)
(
x
2
x
1
)<
/p>
．下列结论中正确的是（
）
A
．若
f
(
x
)
M
1
，
g
(
x
)
M
2
，则
f
(
x
)
g
(
x
)
M
1
2
B
．若
f
(
x
)
M
1
，
g
(
x
)
M<
/p>
2
，且
g
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
M
1
g
(
x
)
2
C
．若
f
(
x
)
M
1
，
g
(
x
)
M
2
，则
f
(
x
)
g
(
x
)
M
1<
/p>
2
D
．若
f
(
x
)
M
1
，
g
< br>(
x
)
M
2
，且
1
2<
/p>
，则
f
(
x
)
g
(
x
)
M
1
< br>2
【解析】对于
(
x
2
x
1
)
f
(
x
2
)
f
(<
/p>
x
1
)
(
x
2
x
1
)
，即有
f
(
x
2
)
f
(
x
1
)
f
(<
/p>
x
2
)
f
(
x
1
)
k
，
，令
x
< br>2
x
1
x
2
x
1
有
k
，
不
妨
设
f
(
x
)
< br>M
1
，
g
(
x
)
M
2
，
即
有
1
k
f
1
,
< br>
2
k
g
2
，
因
此
有
1
2
k
f
k
g
< br>
1
2
，因此有
f
(
x
)
g
(
x
)
<
/p>
M
1
2
.
故选答案
C.
【例
7
】
（
2011
福建
）定义在
R
上的偶函数
f
x
的部分图像如右图所
示，则在
2,0
< br>
上，下列函数中与
f
x
的
单调性不同的
是（
）
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A
．
y
x
<
/p>
1
B.
y
|
x
|
1
x
2
x
1,
x
0
e
,
x
o
C.
y
3
<
/p>
D
．
y
x
x
1,
x
0
< br>
e
,
x
0
2
【解析】根据偶函数在关于原
点对称的区间上单调性相反，故可知求在
< br>2,0
上单调递减，注意到要与
f
x
的
单调性不同，
故所求的函数在
2,0
上应单调
递增。
而函数
y
x
1
在
,1
上递减；
函数
y
x
1
在
,0
2
2
x
<
/p>
1
,
x
0
时单调递减；函数
y
3
在（
,
0
]<
/p>
上单调递减，理由如下
y’=3x
2
>0(x<0),
故函数单调递增，
显然
x
1
,
x
0
x
e
,
x
0
x
符合题意；
而函数
y
x
，
有
y’=
-
e
<0(x<0),
故其在
（
,
0
]
上单调递减
，
不符合题意，
综上选答案
C
。
e
,
x
< br>
0
3
x
,
x
1
,
【例
8
】
（
2009
北京）已知函数
f
(
x
)
若
f
(
x
)
2
，则
x
.
<
/p>
x
,
x
1,
【解析】由
x
1
x
1
x
log
2
，
无解，故应填
lo
g
3
2
3<
/p>
x
.
x
2
x
2
3
2
< br>
1
,
x
0
1
x
【例
9
】<
/p>
（
2008
北京）若函数
f
(
x
)
则不等式
|
f
(
x
)
|
的
解集为
____________.
3
(
1
)
x
,
x
0
3
x
0
1
【解析】
（
1
）由
|
f
(
x
)
|
< br>
1
1
3
x
0
.
3<
/p>
x
3
x
0
x
0
1
x
x
（
2
）由
|
f
(
x
)
|
1
1
1
1
< br>
0
x
1
.
3
<
/p>
3
3
3
3
1
的解集为
x
|
3
< br>
x
1
，∴应填
3,1
3
3
2
2
2
2
【例
10
】
（
2008
浙江）已知函数
f
(
x
)
x
(
k
< br>
k
1)
x
5
x
2
，
g
(<
/p>
x
)
k
x
kx
1
，其中
k
R
．
∴不等式
|
f
(
x
)
|<
/p>
（
I
）设函数
p
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
．若
p
(
x
)
在区间
(0,3)
上不单调，求
k
的
取值范围；
（
II
< br>）设函数
q
(
x
)
g
(
x
),
x
0,
是否存在
k
，对任意给定的非零实数<
/p>
x
1
，存在惟一的非零实数
x
2
（
x
< br>2
x
1
）
，
f
(
x
),
x
<
/p>
0.
使得
q
<
/p>
(
x
2
)
q
(
x
1
)
成立？若存在，求
k
的值；若不存在，请说明理由．
<
/p>
2
【解析】
（
I
）因
P
(
x<
/p>
)
f
(
x
)
g
(
x
)
x
(
k
1)
x
(
k
5)
1
，
p
<
/p>
x
3
x
2(
k
1)
x
(
k
5)
，因
p
(
x
)
在
3
2
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区间
(0,3)
上不单调，
所以
p
x
0
在
0,3
上有实数解，
且无重
根，
由
p
x
0
得
k
(2
x
1)
(3
x
2
x
5),
2
(3
x
2
2
x
< br>5)
3
9
10
9
k
2
x
1
，
令
t
2
x
< br>
记
ht
()
< br>
t
,
则
h
t
在
1
,3<
/p>
上
1
,
有
t
1,7
，
2
x
1
4
2
x
1
3
t
单调递减，在
3,7
上单调递增，所以有
h
t
6,1
0
，
于是
2
x
1
9
6,10
，得
k
5,
2
，而当
2
x
1
k
2
时有
< br>p
x
0
在
0,3
上有两个相等的实根
x
1
，故舍去，所以
k
5,
2
；
（
II
）当
x
0
时有
q
x
f
< br>
x
3
x
2
2(
k
2
<
/p>
k
1)
x
5
；
当
x
0
时有
q
x
g
x
2
k
2
x<
/p>
k
，因为当
k
0
时不合题意，因此
k
0
，
下面讨论
k
< br>0
的情形，记
A
(
k
,
)
，
B=
< br>5,
（ⅰ）当
x
1
0
时，
q
< br>x
在
0,
上单调递增，所以要使<
/p>
（ⅱ）当
x
1
0
时，
q
<
/p>
x
在
0,
上单调递减，所
q
x
2
<
/p>
q
x
1
成立，只能
x<
/p>
2
0
且
A
B
，因此有
k
5
，
以要使
q
x
2
q
x
< br>1
成立，只能
x
2
0
且
< br>A
B
，因此
< br>k
5
，综合（ⅰ）
（ⅱ）
k
5
；
当
k
5
时
A=B
，则
x
1
< br>
0,
q
x
1
B
A
，即
x
2
0,
使得
q
x
2
q
x
1
成立，因为
q
x
在
0,
上单调
递增，所以
x
2
的值是唯一的；
同理，
x
1
0
，即存在唯一的非零实数
x
2
(
x
2
x
1
)
，要使
q
x
2
< br>
q
x
1
成立，所以
< br>k
5
满足题意
.
【课堂练习】
1
、
（
2009
山东）已知定义在
R
上的奇函数
f
(
x
)
< br>，满足
f
(
x
< br>
4)
f
(
x
)
,
且在区间
[0,2]
上是增函数
,
则（
）
A.<
/p>
f
(
25)<
/p>
f
(11)
f
(80)
B.
f
(
80)
f
(11)
< br>
f
(
25)
C.
f
< br>(11)
f
(80)
f
(
25)
D.
f
(
25)
f
(80)
f
(11)
2
、
（
2009
全国Ⅱ）函数
y=
x
(x
0)
的反函数是<
/p>
（
）
2
2
2
2
A.
y
x
（
x
0
）
B.
y
x
（
x
0
）
C.
y
x
（
x
0
）
D.
y
<
/p>
x
（
x
0
）
x
2
3
x
4
3
、
（
2009
江西）函数
y
<
/p>
的定义域为（
）
x
A.<
/p>
[
4,1]
B.
[
4,
0)
C.
(0,
1]
D.<
/p>
[
4,
0)<
/p>
(0,1]
2
4
、
（
2008
全国Ⅱ）设
a
lg
e
,
b
(lg
e
)
,
c
lg
e
,
则
（
）
A.
a<
/p>
b
c
B.
a
<
/p>
c
b
C.<
/p>
c
a
b
D.
c
<
/p>
b
a
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x
2
4
x
6
,
x
0
5
、
（
2009
天津）设函数
f
(
x
)
则不等式<
/p>
f
(
x
)
f
(
1
)
的解集是（
）
x
6
,
x
0
A.
(
3
,
1
)
(
3
,
)
B
.
(
3
,<
/p>
1
)
(
2
,
)
C.
(
1
,
1
)
(
3
,
)
D
.
(
,
3
)
(
1
,
3
)
6
、
（
2010
天津）设函数
f(x)
在
R
上的导函数为
f’(x),<
/p>
且
2f(x)+xf’(x)>x
,x<
/p>
下面的不等式在
R
内恒成立的是（
）
A.
f<
/p>
(
x
)
0
B.
f
(
x
)
0
C.
f
(<
/p>
x
)
x
D.
f
(<
/p>
x
)
x
2
7
、
（
2009
湖南）设函数
< br>y
f
(
x
)
在（
，
+
）内有定义，对于给定的正数
K
，定义函数
f
(
x
)
,
f
(
x
)<
/p>
K
1
取函数
f
(
x
)
=
2
x
e
。若对任意的
x
(
,
)
，恒有
f
k
(
x
)
=
f
(
x
)
，则（
）
f
k
(
x
)
K
,
f
(
x
< br>)
K
A. K
的最大值为
2
B.
K
的最小值为
2
C.
K
的最大值为
1
D. K
的最小值为
1
x
2
4
x
,
2.
（
2009
天津理
）已知函数
f
(
x
)
2
4
x
x<
/p>
,
x
0
x
0
若
f
(2
a
)
f
(
< br>a
),
则实数
a
的取值范围（
）
2
A.
(
,
1)
(2,
)
B.
(
1,
2)
C.
(
2,1)
D.
(
,
2)
(1,
)
2
x
≤
1
，
<
/p>
1
x
，
9
、
（
2008
年山东）设函数
f
(
x
)
2
则
x
x
2
，
x
1
，
1
< br>f
的值为（
）
f
(2)
A.
15
16
B.
27
16
C.
8
9
D.
18
1
0
、
（
2007
福建）已知函数
f
x
为
R
上的减函数，则满足
f
A.<
/p>
1
,
1
B.
0
,
1
1
x
f
1
< br>的实数
x
的取值范围是（
）
C.<
/p>
1
,
0
0
,
1
D.
<
/p>
,
1
1
,
11
、
（
2007
安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为
(
)
3
|<
/p>
x
1
|
2
3
C.
y
<
/p>
|
x
1
|
2
A.
y
(0≤
x
≤2)
B.
y
<
/p>
3
3
|
x
1
|
(0≤
x
≤2)
2
2
(0≤
x
≤2)
(0≤<
/p>
x
≤2
)
D.
y<
/p>
1
|
x
1
|
12
、
（
2007
上海）函数
y
<
/p>
lg(
4
x<
/p>
)
的定义域是
．
x
3
13
、
（
2006
安徽）
函数
f
x
对于任意实数
x
满足条件
f
x
< br>2
1
，若
f
1
5,
f
f
5
_____
___.
f
x
14
、
（
2006
上海）已知函数
f
(
x
)
是定义在
(
,
)
上的偶函数
.
当
x
(
,
0
)
时，
f
(
x
)
x
x
4
，则当
x
(
0
,
<
/p>
)
时，
f
(
x
)
.