三角形中的三大专题
-
三角形三大专题
知识互联网
题型一：整数边三角形
思路导航
1
、边长
都是整数的三角形，称为整数边三角形．
2
< br>、若三角形三边的长为
a
，
b<
/p>
，
c
且
a
≤
b
≤
c
，则
a
b
c
⑴
< br>
三角形的最小的边
a
满足：<
/p>
0
a
≤
，当且仅当
a
b<
/p>
c
时，等号成立；
3
a
b
c
a
<
/p>
b
c
⑵
三角形的最大的边
c
满足：
，当且仅当
a
b
c
时，等号成立．
≤
c
3
2
方程
（特别是不定方程）
和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的
常用工具．
运
用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法
，但要注意对求得的结果进行检验．
例题精讲
【引例】
已
知等腰三角形的周长是
8
，边长是整数，则腰长是多少？
典题精练
【例
1
】
<
/p>
⑴若三角形的周长为
60
，求最大边的范
围
.
⑵设
m
、<
/p>
n
、
p
均为自然
数，且
m
≤
n
≤
p
，
m
<
/p>
n
p
15
，试问以
m
、<
/p>
n
、
p
为边长<
/p>
的三角形共有多少个？
D
E
C
α
A
B
【例
2
】
⑴三角形三边长
a
< br>、
b
、
c
都是整数，且
a
b
c
，若
b
< br>
7
，则有
个满足题意的
三角形
.
⑵三角形三边长
a
、
b
、
c
都是整数，且
a
≤
b
c
，若
b
7
，则有
个满足题意的
三角形．
⑶三角形三边长
a
、
b
、
c
都是整数，且
a
≤
b
≤
c<
/p>
，若
b
7
，则有
个满足题意的
三角形．
题型二：多边形及其内、外角和
思路导航
多边形及其内、外角和
（一）多边形及其内角和
1
．多边
形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
①
多边形的顶点、边、内角、外角、对角线
内角：
A
、
ABC
、
C
、
CDE
、
E
……
外角：
对角线
：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如
BD
.
n
(
n
3)
n
边形对角线条
数：
条
2
D
6
C
5
4
3
B
E
1
2
O
②
凸、凹多边形：多边形的每一边都
在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边
形；反之叫做凹多边形．
（如图）
图（
a
）为凸多边形
图（
b
）为凹多边形
（
a
）
（
b
）
③
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
（如图正六边形）
AB=BC=CD=DE=EF=AF
A
B
C
D
E
< br>
F
2
．多边形内角和：
n
边形内角和等于
(
n
2)
180
°
①
多边形内角和公式推理方法一：
过<
/p>
n
边形一个顶点，连对角线，可以得
(<
/p>
n
3)
条对角
线，并且将
n
边形
分成
(
n
2)
个三角形，这
(
n
2)
个三角形的内角和恰好是多边形的内角和．
将
n
边形分成
n<
/p>
2
个三角形
②
多边形内角和公式推理方法二：
在<
/p>
n
边形边上取一点与各顶点相连，
得
(
n
1)
个三角形，
n
边形内角
和等于这
(
n
1)
个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即
(
n
1)
180
°
180<
/p>
°
(
n
2)
180
°
将
n
边形分成
n
1
个三角形
A
B
C
D
F
E
A
③
多边形内角和公式推理方法三：
在<
/p>
n
边形内部取一点
O
与
n
边形各顶点相连，得
n
个三角形：
△
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
……
，这
n
个三角形所有内角之和为
1
2
BOA
3
< br>
4
BOC
5
6
COD
n
180
°
故
1
2
3
n
180
°
360
°
n
2
< br>
180
°
< br>取多边形内一点，连结各顶点，将
n
边形分成
n
个三角形．
（二）多边形外角和
1
．多边形外角和等于
360
°
如图：
180
°
1
，
180
°
2
，
r
180
°
3
，
……
所以
r
< br>
180
°
< br>
1
180
°
2
180
°
3
+……
等式右边共有
n
个
180
°
相加，
1
2
3
代表
n
边形的内角和，
整理得
n
180
°
(
n
2)
180
°
，即
r
< br>360
°
多边形外角和恒等于
360
．
2
．多边形边数与内外角和关系
①多边形内角和与边数相关：边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少；每增加一条边
，
内角和增加
180
°
，反过来也成立．
D
γ
②多边形外角和恒等于
360
°
，与边数多少无关．
3
β
③多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）
；
多边形的外角中最
C
2
多有三个钝角。
α
1
A
B
④在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想
相结合，运用
方程思想是解决本节问题的常用方法
.
⑤在解决多边形的内角和问题时，
通常转化为与三角形相关的角来解决<
/p>
.
三角形是一种基本图形，
是研究复杂
图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用
.
E
典题精练
【例
3
】
⑴
下列平面图形
不具有稳定性．
（黑点表示连接点）
A
D
B
C
⑵
如果四边形四条边依次为
2
、
4
、
7
、
x
，则
x
的取值范围是（
）
A
．
2
x
7
B
．
2
x
13
C
．
0
x
13
D
．
1
x
13
开始
⑶
科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上
按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为
机器人站在
A
处
（
）
A
．
6
米
<
/p>
B
．
8
米
向前走
1
米后向左转
45°
C
< br>．
12
米
D
．不确定
否
机器人回到点
A
处
（西城抽样测试）
是
结束