第3讲 枚举法一—完整版
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第
3
讲
枚举法一
兴趣篇
1.
（
1
）
1-20
共有多少个数？（
2
）
20-40<
/p>
共有多少个数？
答案：
(1) 20
个；
(2)21
个
解答：
（
1
）
20-1+
1=20
（个）
< br>（
2
）
40-20+1=21<
/p>
（个）
2.
如图
3-1
所示，桌子上有一些围棋，共有多少枚黑棋？
答案：
16
枚
3
．★墨莫在一张纸上画了一些图形，如图
3-2
所示，每个图形都是由若干
条线段连接组成的，
请你数一数，
纸上一共有多少条线段？
（最
外面的大长方形
是纸的边框，不算在内）
3.
答案：
24
条
解答：
整个纸片上有
6
个图形，
为了便于说明，
把各个图形编号为
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
，如下图所示<
/p>
A
号图形
由
5
条线段连成，
B
< br>号图形由
3
条线段连成，
C
号图形由
4
条线段连
成，
D
号图形由
3
< br>条线段连成，
E
号图形由
5
条线段连成，
F
号图形由
< br>4
条线段
连成，
因此，这些图形中一共有线段
5+3+-4+3+5+4 =
24
（条）
．
4
．★小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游．要走遍这三个景
点，他一共有多少种不同的游览顺序？
答案：
6
种
解答：小明游览这三个旅游景点共有
6
种不同路线，
如下图所示：
5
．★★小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这
4
个地方中选
2
个去旅游，
小王有多少种不同的选择？如果小王想去其中的
3
个地方，又有多少种选择？
答案：
6
种；
4
种
解答：
(1)
①如果小王去青岛，那么
他还要从三亚、桂林、杭州中选择一个去旅
游，有
3
种情况，即：青岛与三亚，青岛与桂林，青岛与杭州；
②如果小王不去青岛而去第二个城市三亚，那么他还要从桂林
、杭州中选择一
个去旅游，有
2
种情况
，即：三亚与桂林，三亚与杭州；
③如果小王青岛、三亚都不
去，那么池只能去桂林、杭州，有
1
种情况．
< br>
如下图所示：
综上所示，小王的选择有
3+2+1
=6
（种）
（
2
）从反面思考问题，
4
个城市中选
择了
3
个。相当于选出一个城市不去，因
此每个城市都有可能被小王排除而选择其他
3
个城市游览方案
自然也有
4
种了。
< br>6
．★★小烧饼每个
5
角钱，大
烧饼每个
2
元钱．墨莫一共有
6
元钱，如果
把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？
答案：
4
种
解答：由于买的大烧饼不能超过
3
个，
则分别考虑买的大烧饼有
0
个、
1
个、
2
个、
3
个这四种情况：
如果没有买大烧饼，他的
6
元钱就都用来买小烧饼了，小烧饼
就要买
12
个；
、
如果买了
1
< br>个大烧饼，他还剩
6-2=4
（元）就只能买
8
个烧饼；
如果买了
2
个大烧饼，他还剩
< br>6-2
×
2=2
（元）
，只能买
4
个烧饼；
④如果买了
3
个大烧饼，此时他的钱都
用完了，不能再买小烧饼了。
即：
因此，如果墨莫把钱都花完，就可以有以上
< br>4
种买法．
7
．
★★在一次知识抢答比赛中，
小高和墨莫两
个人一共答对了
10
道题，
并
且每人都有答对的题目，
如果每道题答对得
1<
/p>
分，
那么小高和墨莫分别可能得多
少分？
请把所有的可能填写到下面的表格里．
┏━━━━━━━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┳━┓
┃
小高的总分
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┣━━━━━━━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┃
墨莫的总分
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┃
┗━━━━━━━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┻━┛
答案：
解
答：由题意知两人得分之和是
10
分．由于其中一人至少得
1
分，所以另外一
个人最多得
9
分，我们不妨从小高考虑起，依次考虑当小高的得分为
1
～
9
分
时，墨莫的得分情况，即可得到答案．
8
．★★两个海盗分
20
枚金币．请问：
(1)
< br>如果每个海盗最少分到
5
枚金币，一共有多少种不同的分
法？
(2)
如果每个海盗最多分到<
/p>
16
枚金币，一共有多少种不同的分法？
答案：
(1)11
种；
(2)13
种
解答：
(1)
由两个海盗每人最少分得
5
枚金币，最多分得
20
-5=15
（枚）金币．
我们把两个海盗可能分得金币的情况填入下面的表格中：
数一数即可得到，这样的分法有
11
种．
(2)
医
每个海盗最多分得
16
枚金币，
那么每
人最少分得
20 -16=4
（
枚）<
/p>
金币．
我们同样可以把两个海盗可能分得
金币的情况填入下面的表格中：
数一数
即可得到，这样的分法有
13
种．
9
．★★有
15
个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两
堆球的个数可能相
差几个？
9.
答案：
7
种；可能相差
13
，
1l
，
9
，
7
．
5
，
3
，
1
个
< br>
解答：
两堆玻璃球没有次序之分，
但这两堆玻璃球中一定有一堆较多而另一堆较
少，或者两堆一样多（实际上不会出现
两堆一样多的情况，因为玻璃球总数
15
是奇数）
．
此时较少的一堆中至少有
1
个球，至多有
7
个球
，我们根据两堆之和有
15
个球列出下表
从表格中看出，一共有
7
种分球的方法，两堆中
球的个数可能相差
14 -1=
13
（个）
，
13 -2=11
（个）
，
12-3=9
（个）
，
11-4 =7
（个）
，
10-5=5
（个）
，
9-6=3
（个）
，
8-7=1
（个）
．
10
．
★★张奶奶去超市买了<
/p>
12
盒光明牛奶，
这些牛奶需要装在
2
个相同的袋
子里，并且每个袋子最多只能
装
10
盒．张奶奶一共有几种不同的装法？
答案：
5
种
解答：由每个袋子最多只能装
10
盒，
装得少的“小袋子”中最少放
2
盒牛奶，而
共买了
12
盒牛奶，则装得少的“小袋子”中最多放
6
盒牛奶，那么就有
2
盒，
3
盒，
4
盒，
5
盒，
6
盒这
5
种情况．
把相应的分法填人下表
以上就是所求的
5
种分牛奶的方法，
拓展篇
1
．★★如图
3-3
，小高画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么
她最少画了几笔
？
答案：
31
笔
解答：图中两扇窗户都只能单独画，门也要单独画，所以我们可以把图形分成
3
部分看：
先数③，由于每一笔都不能拐弯，一笔只能画出一条线段，所
以③要画
4
笔；
再看②，每扇窗户的外框需要画
4
笔，里面
的一横一竖还要画
2
笔，每扇
窗户一共
要画
6
笔，则②共要画
6
×
2
=12
（笔）
；
最后看①，烟囱需画
4
笔，去掉烟囱后的图
形至少要画
11
笔，则①最少要
画
4
+11=15
（笔）
．
综上所述，把所有笔画都加起来一共要画
4+
12 +15=31(
笔
)
．
2
．★★小
高把
8
块绿豆糕摆
成如图
3-4
所示的图形，
让墨莫挑两块挨在一起的绿豆糕
，
请问：
墨莫一共有多少种不同的
挑法
？
答案：
7
种
解答：将绿豆糕分别标上编号
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
< br>8
．
从左上
往右下数，
挨在一起的两块绿豆糕有：
1
和
2
，
2
和
3
，
3
和
4
，
4
和
5
．
从左下
往右上数，挨在一起的两块绿豆糕有：
8
和
7
，
7
和
6
，
6
和
3<
/p>
．
一共有
7
种不同的挑法．
3
．★★要沿着如图
3-5<
/p>
所示的道路从
A
点走到
< br>B
点，并且每段路最多只能
经过一次，一共有多少种不同
的走法？
图
3
—
5
答案：
4
种
解答：从
A
点出发，可以先向上走，也
可以先向右走。
①若从
A
点出发向上走，而遇到岔路时可以向上也可以向右．但这两种方
式都只有一种走法到达
B
，否则就有路线会重复经过，如下图所
示：
若从<
/p>
A
出发向右走，
则遇到岔路口时可以向上
也可以向左，
如下图所示，
共有
2
种符合题意的走法
综上所
述，从
A
点到
B
点共有
4
种符合题意的走法。
4
．
★★小高、
萱
萱、
卡莉娅三个人去看电影，
他们买了三张座位相邻的票．
他
们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？
答案：
6
种
解答：一共有
2+2+2
—
6
（种）安排座位的方法，如
下图所示：
5
．★★
小李摆摊卖货，小木偶每个卖
1
元，大木偶每个卖
2
元，他今天一
共卖出了
5
个木偶．小李今天一共可能卖了多少钱？
答案：
5
元、
6
< br>元、
7
元、
8
< br>元、
9
元或
10
元
解答：小李可能卖的钱数有
5
元，
6
元，
7
元，
8
元，
9
无以及
10
元，如下表所示：<
/p>
6
．★★
(1)
老师给小高
14
个相同的作业本，如果小高把这些本子全都分给
墨莫和卡莉娅，有多少
种不同的分法？（可以只分给一个人）
(2)
老师给小高
14
个相同的作业本，如果小高只需要把这
些本子分成
2
堆，
又有多少种不同的分
法？
答案：
(1)15
种；
(2)7
种
解答：
(1)
墨莫分得的作业本个数可以是从<
/p>
O
到
14
本，一
共有
15
种情况，
< br>当墨莫分完后，剩下的作业本就全部归卡莉娅了，所以一共就会有
15
种不
同的分法：
(2)
分成
2
堆时，每堆至少要有
l
本作业本．
因此从表格中可以看出，
14
本作业本共有
7
种不同的分法：
< br>7
．★★盘子里一共有
20
颗花
生，小高和墨莫一起吃．每人一口吃
2
颗，两
< br>个人一起把花生吃完
（每人至少吃一口）
．
请列举出他们吃花生数量的所有情况．
答案：他们吃花生数量的所有情况如下表：
解答：
注意到每人一口吃
2
颗花生，
所以每个人吃的花生颗数都是偶数．
我们对<
/p>
小高吃的花生颗数进行枚举，他可能吃了
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、<
/p>
12
、
14
、<
/p>
16
、
18
颗花
生，对应可求出墨莫吃的颗数，
8
< br>．如图
3-6
，有
7
个按键，上面分别写着：
1
～
7
这
7
个数字，请问：
(1)
从中选出
2
个按键，使它们上面数字的差等于
2
，一共
有多少种选法？
(2)
从中选出
2
个按键，使它们上面数字的和大于
9
，一共有多少种选法？
图
3-6
答案：
(1)5
种；
(2)6
种
解答：
(1)
按键上
最小的数字是
1
，则减数最小是
1
；按键上最大的数字是
7
，则
减数最大是
7-2=5
；因此减数共有
1
、
2
、
< br>3
、
4
、
5
这
5
种情况，则按键共有
5
种取法：