平行四边形证明练习题
-
平行四边形证明练习题
一．解答题
1
．如图所示，已知在平行四边形
ABCD
中，
BE=DF
．求证：∠DAE=∠BCF．
2
．在
▱
ABCD
中
，
E
，
F
分别
是
BC
、
AD
上的点，且
BE=DF
．求证：
AE=
CF
．
3
．如图，四边形
< br>ABCD
是平行四边形，
E
、<
/p>
F
分别是
BC
．
AD
上的点，∠1=∠2
求证：△ABE≌△CDF．
4
．如图
，已知：平行四边形
ABCD
中，
E<
/p>
是
CD
边的中点，连接
< br>BE
并延长与
AD
的延长线相交
于
F
点．求证：
BC=DF
．
5
．如图，在
▱
ABCD
中，
AC
交
BD
于点
O
，点
E
、点
F
分别是
OA
、
OC
的中点，请判断线段
BE
、
DF
的关系，并证明你
的结论．
6
．已知：如图，
▱
ABCD
中，
E
、
F
< br>是对角线
AC
上的点，且
AE=
CF
．求证：△ABE≌△CDF．
7
．如图
，已知在
▱
ABCD
中，过
AC
中点的直线交
CD
，
AB
于点
E
，
F
．求证：
DE=BF
．
.
.
8
．如图
，在等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，
AB=CD=AE
．四边形
AECD
是平行四边形吗？为什么？
9
．如图，
E
、
F
是平行四边形
< br>ABCD
的对角线
AC
上的两点
，
AE=CF
．求证：
DE=BF
．
10
．如图，四边形
ABCD
中，
AD=BC
，A
E⊥BD，CF⊥BD，垂足为
E
、
F
，
AE=CF
，求证：四边形
ABCD
是平行四边形．
11<
/p>
．如图，在△ABC
中，
AD
是中线，点
E
是
AD
的中点，过
A
点作
BC
的平行线交
CE
的延长线于点
F
，连接
BF
．<
/p>
求证：四边形
AFBD
是平行四边形．
12
．如图，在等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，
AB=DC
，DE∥AB，
AD+DC=BC
．
求证：
（
1
）
DE=DC
；
（
2
）△DEC
是等边
三角形．
13
．已知：如图，
E
、
F
是平行四边形
ABCD
的对角线
AC
上的两点，
AE=CF
．
求证：
（
1
）△ADF≌
△CBE；
（
2
）连接
DE
、
BF
，试判断四边形
DEBF
的形状，并说明理由．
Word
格式
.
.
<
/p>
14
．如图，平行四边形
ABCD
中，点
E
、
F
、
G
、
H
分别在
AB
、
BC
、
CD
、
AD
边上且
AE=CG
，
AH=CF
．
求证：四边形
EFGH
是平行四边形．
15<
/p>
．如图，在平行四边形
ABCD
中，
E
、
F
是对角线<
/p>
AC
上的点，且
AE=CF
．
（
1
< br>）猜想探究：
BE
与
DF
之间的关系：
_________
（
2
）请证
明你的猜想．
16
．如图，
E
、
F
是平行四边形
ABCD
对角线
AC
上的两点
，且
BE∥DF．求证：∠1=∠2．
17<
/p>
．如图，已知
E
，
F
分别是
▱
ABCD
的边
AB
，
CD
的中点．求证：
ED=BF
．
1
8
．如图，
BD
是
▱
ABCD
的对角线，∠ABD
的
平分线
BE
交
AD
于点
E
，∠CDB
的平分线
DF
交
BC
于点
F
．求证：四边
形
DEBF
为平行四边形．
19
．如
图，在
▱
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知点
E
、<
/p>
F
分别为
AO
、
OC
的中点，证明：四边形
BFDE<
/p>
是平
行四边形．
Word
格式
.
.
<
/p>
20
．如图所示，
A
，
E
，
F
，
C
在一条直线上，
AE=CF
，过
E
，
F
分别作
DE⊥AC，BF⊥AC，若
AB=CD
，可以得到
BD
平分
< br>EF
，为什么？说明理由．
21
．如
图，△ABC
的中线
BD
、
CE
交于点
O
，
F
、
G
分别是
OB
、
OC
的中点．<
/p>
求证：
EF=DG
且
EF∥DG．
22
．已
知如图所示，
▱
ABCD
的对角线
AC
、
BD
交于<
/p>
O
，
GH
过点<
/p>
O
，分别交
AD
、
BC
于
G
、
H
，
E
、
F
在
AC
上且
AE=CF
，
求证：四边形
EHFG
是平行四边形．
Word
格式
.
.
平行四边形证明练习题
参考答案与试题解析
一．解答题（共
22
小题）
1
．如图所示，已知
在平行四边形
ABCD
中，
BE=DF
．求证：∠DAE=∠BCF．
考点
：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形性质求出
AD∥BC，且
AD=BC
，推出∠ADE
=∠CBF，求出
DE=BF
，证△ADE≌△CBF，推出<
/p>
∠DAE=∠BCF
即可．
解答：
证明：∵四边形
ABCD
为平行四边形，
∴AD∥BC，且
AD=BC
，
∴∠ADE=∠CBF
又∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵在△ADE
和△CBF
中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
点评：
本题考查了平行四边形性质，
平行线性质，
全等三角形的性质和判定的应用，
关键是求出证出△ADE
和△CBF
全等的三个条件，
主要考查学生的推理能力．
2
．在
▱
ABCD
中，
E
，
F<
/p>
分别是
BC
、
A
D
上的点，且
BE=DF
．求证：
AE=CF
．
考点
：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形的性质得出<
/p>
AB=CD
，∠B=∠D，根据
SAS<
/p>
证出△ABE≌△CDF
即可推出答案．
解答：
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的
性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出
△ABE≌△C
DF
是证此题的关键．
3
．如图，四边形
< br>ABCD
是平行四边形，
E
、<
/p>
F
分别是
BC
．
AD
上的点，∠1=∠2
Word
格式
.
.
求证：△ABE≌△CDF．
考点
：
平行四边形的性质；全等三角形的判定．
分析：
利用平行四边形的性质和题目
提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件．
解答：
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴∠B=∠D，
AB=CD
，
∴在：△ABE
与△CDF
中，
∴△ABE≌△CDF（
ASA
）
点评：
本题考查了平行四边形的性质
及全等三角形的判定，根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解
决本题的关键
．
4<
/p>
．如图，已知：平行四边形
ABCD
中，
E
是
CD
边的
中点，连接
BE
并延长与
AD
的延长线相交于
F
点．求证：
< br>BC=DF
．
考点
：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：
由四边形
ABCD
是平行四边形，可得
AD∥BC，根据平行线的性
质即可求得∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，又由
E
是
CD
边的中点，根据
AAS
< br>即可求得△EBC≌△EFD，则问题得证．
解答：
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠F，∠C=∠EDF，
又∵EC=ED，
∴△EBC≌△E
FD（
AAS
）
，
∴BC=DF．
点评：
此题考查了平行四边形的性质
以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结
合思想的应用
．
5<
/p>
．
（
2013
•
莒南县二模）如图，在
▱
ABCD
中，
AC
交
BD<
/p>
于点
O
，点
E<
/p>
、点
F
分别是
O
A
、
OC
的中点，请判断线段
BE
、
DF
的关系，并
证明你的结论．
考点
：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形的性质对角线
互相平分得出
OA=OC
，
OB=OD
，利用中点的意义得出
OE=OF
，从
而利用平行四
Word
格式
.
.
边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”
判定
BFDE
是平行四边形，从而得出
BE=DF
，
BE∥DF．
解答：
解：由题意得：
BE=DF
，BE∥DF．理由如下：
连接
DE
、
BF
．
∵ABCD
是平行四边形，
∴OA=OC，
OB=OD
，
< br>
∵E，
F
分别是
OA
，
OC
的中点，
∴OE=OF，
∴BFDE
是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
点评：
本题考查了平行四边形的基本
性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四
边形的两组对
边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分
别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相
等的四边
形是平行四边形．
6
．已知：如图，
< br>▱
ABCD
中，
E
、
F
是对角线
AC
上的点，且
AE=CF
．
求证：△ABE≌△CDF．
考点
：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定．
分析：
根据平行四边形的性质得出<
/p>
AB∥DC，
AB=CD
，根据平行线的
性质推出∠BAC=∠DCF，根据
SAS
证出即可．
解答：
证明：∵四
边形
ABCD
是平行四边形，
∴AB∥DC，
AB=CD
，
∴∠BAC=∠DCF，
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的
性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证
△ABE≌△
CDF
的三个条件是解此题的关键．
7
．如图，已知在
< br>▱
ABCD
中，过
AC
中点的直线交
CD
，
A
B
于点
E
，
F
．求证：
DE=BF
．
考点
：
平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：
根据平行四边形的性质得到<
/p>
DC=AB
，DC∥AB，根据平行线的性质得到∠ECA=∠B
AC，∠CEO=∠AFO，能推出
△AOF≌△COE，得到
CE=AF
，即可证出答案．
Word
格式
.
.
解答：
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ECA=∠BAC，∠CEO=∠AFO，
∵OA=OC，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵DC=AB，
∴DE=BF．
点评：
本题主要考查对平行四边形的
性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，解
此题的关键是
根据平行四边形的性质证出△AOF
和△COE
全等．
8
．如图，在等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，
AB=CD=AE
．四边形
AECD
是平行四边形吗？为什么？
考点
：
<
/p>
等腰梯形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．
分析：
根据等腰三
角形性质求出∠B=∠C，根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C，推出
AE∥
CD，根据平行四边
形的判定推出即可．
解答：
解：是平行四边形，
理由：∵四边形
ABCD
是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B，
∴∠AEB=∠C，
∴AE∥DC，
又∵AD∥BC，
∴四边形
AECD
是平行四边形．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质
，等腰梯形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的应
用，关键是根
据题意推出
AE∥CD，培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目较好，综合性比较
强．
9
．如图，
E
、
F
是平行四边形
ABCD
的对角线
AC
上的两点，
AE=CF
．求证：
DE=BF
．
考点
：
平行
四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．
分析：
连接
BE
，
DF
，
BD
，
BD
交
AC
于
O
，根据平行四边形性质求出<
/p>
OA=OC
，
OD=OB
，推出
OE=OF
，根据平行四边形的
判定推出四边形
BEDF
是平行四边形即可．
解答：
证明：连接
BE
，
DF
，
BD
，
BD
交
AC
于
O
，<
/p>
∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴OA=OC，
OD=OB
，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
Word
格式