平行四边形知识点及练习题及解析
-
平行四边形知识点及练习题及解析
一、解答题
1
．
如图，
ABC
< br>是等腰直角三角形，
AB
AC
，
D
是斜边
B
C
的中点，
E
,
F
分别是
AB
,
AC
边上的点，且
DE
DF
，若
BE
12
，
CF
5
，求线段
EF
的长
．
2
．<
/p>
如图，点
E
为
▱
ABCD
的边
AD
上的一点，连接
EB
并延长，使
B
F
＝
BE
，连接
EC
并延
长，使
CG
＝
CE
，连接
FG
．
H
为
FG
的中点，连接
DH
，
AF<
/p>
．
（
1
）若∠
BAE
＝
70
°
，∠
DCE
＝
20°
，求∠
DEC
的度数；
（
2
）求证：四边
形
AFHD
为平行四边形；
（
3
）连接
EH
，交
BC
于点
O
，若
OC
＝
OH<
/p>
，求证：
EF
⊥
EG
．
3
．
综合与探究
（
1
）如图
1
，在正方形
ABCD
中，
E
是
AB
上一点，
F
是
AD
延长线上一点，且
< br>DF
BE
．
< br>CE
和
CF
之间有怎样的关系．
请说明理由．
（
2
< br>）如图
2
，在正方形
ABCD<
/p>
中，
E
是
AB<
/p>
上一点，
G
是
A
D
上一点，如果
GCE
45
，请你利用（
1
）的结论证明：
GE
BE
CD
．
（
3
）运用（
1
）（
2
）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图
3
在直角梯
形
ABCD
中，
AD
< br>/
/
BC
(
BC
AD
)
，
B
90
，
AB
BC
12
，
E
是
AB
上
一点，且
DCE
< br>45
，
BE
< br>
4
，求
DE
< br>的长
．
4
．
正方形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
交于点
O
，点
P<
/p>
是正方形
ABCD
对角线
BD
上的一个
动点（点
P
不与点
B
，
O
，
D
重合），连接
CP
并延长，分别过点
D
，
B
向射线作垂线，垂
足分别为点
< br>M
，
N
．
（
1
）
补全图形，并求证：
DM
＝
CN
；
（
2
）连接
OM
，
ON
，判断
OMN
的形状并证明．
5
．
（
1
）如图①，在正方形
ABCD
中
，
AEF
的顶点
E
，
F
分别在
BC
，
CD
边上，高
AG
与
正方形的边长相等，求
EAF
的度数；
（
2
）如图②，在
Rt
ABD
中，
BAD
90<
/p>
,
AD
AB<
/p>
，点
M
，
N
是
BD
边上的任意两
点，且
MAN
< br>45
，将
< br>ABM
绕点
A
逆时针旋转
90
度至
ADH<
/p>
位置，连接
NH
，试判
< br>断
MN
，
ND
< br>，
DH
之间的数量关系，并说明理由；
< br>
（
3
）在图①中，连接
BD
分别交
AE
，<
/p>
AF
于点
M
，<
/p>
N
，若正方形
ABCD
< br>的边长为
12
，
GF=6
，
BM=
3
2
，求
EG
，
MN<
/p>
的长．
6<
/p>
．
已知：如图，在△
ABC
中，
D
是
BC
边上的一点，
E
是
AD
的中点，过点
A
作
BC
的平行
线交于
BE
的延长线于点
F
，且
AF=D
C
，连接
CF
．
（
1
）
求证：
D
是
BC
的中点；
（
2
）如果
AB=AC
，试判断四边形
ADCF
的形状，并证明你的结论．
7
．
如图，在边长为
1
的正方形
ABCD
中，
E
是边
CD
的中点，点
P
是边
AD
上一点（与
点
A
、
D
< br>不重合），射线
PE
与
BC
的延长线交于点
Q
．
（
1
）
求证：
PDE
QCE
；
（
2
）若
PB
PQ
，点
F
是
BP
的中点，连结
EF
、
AF
，
①求证：四边形
AFEP
是平行四边形；
②求
PE
的长．
8
．
已知如图<
/p>
1,
四边形
ABCD
是正方形，
EAF
45
．
1
如图
1,
若点<
/p>
E
,
F
分别在边
BC
、
CD
上
,
延长线段
CB
至
G
,
使得
BG
DF
,
若
BE
3,
BG
2
，
求
EF
的长；
2
如图<
/p>
2
，若点
E
,<
/p>
F
分别在边
CB
、
DC
延长线上时，求证：
EF
DF
BE
.
3
如图
3,
如果四边形
ABCD
不是正方形，但满足
AB
AD
,
BA
D
BCD
90
,
EAF
45
,
且
BC
7,
DC
13,
CF
5
，请你直接
写出
BE
的长．
9
．
如图，在正方形
ABCD
中
，点
E
是
BC
边所在直线上一动点（不与点
B
、
C<
/p>
重合），过点
B
作
BF
⊥
DE
，
交射线
DE
于点
F
< br>，连接
CF
．
（
1
）如图
，当点
E
在线段
BC
< br>上时，
∠
BDF=α
．
①
按要求补全图形；
②
∠
EBF
=
______________
（用含
α
的式子表示）；
③
判断线段
BF
，
CF
，
DF
之间的数量关系，并证明．
（
2
）当点
E
在直线
BC
上时，直接写出线段
BF
，
CF
，
DF
之间的
数量关系，不需证明．
10
．
在边长为
5
的正方形
ABCD
中，点
E
在边
CD
所在直线上，连接
BE
，
以
BE
为边，在
BE
< br>的下方作正方形
BEFG
，并连接
AG
．
（
1
）如图
1
，当点
E
与点
D
重合时，
AG
＝
；
（
2
）如图
2
，当点
E
在线段
CD
上时，
DE
＝
2
，求
AG
的长；
（
3
）若
AG
＝
5
17
2<
/p>
，请直接写出此时
DE
的长．
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1
．
EF
＝
13
．
【分析】
首先连接
< br>AD
，由△
ABC
是等腰直角三
角形，
AB=AC
，
D
是斜边
BC
的中点，可得：
A
D=DC
，
∠
EAD=
∠
C=45°
，
AD
⊥
BC
，即∠
CDF+
∠
ADF=90°
，又
DE
⊥
DF
，可得：∠
EDA+
∠
ADF=90°
< br>，故
∠
EDA=
∠
CDF
，从而可证：△
AED
≌△
CFD
；根据全等三角形的性质得到
AE=CF=5
，进而得
出
BE=
AF=12
．然后在
Rt
△
AEF
中，运用勾股定理可将
EF
的值求出；
【详解】
解：连接
AD
．
∵
△
ABC
是等腰直角三角形，
AB
=
AC
，
D
是斜边
BC
的中点，
∴
AD
=
DC
=
DB
，
AD
⊥
BC
，
∴
∠
BAD
=
∠
C
=45
°，
∵
∠
EDA
+
∠
ADF
=90
°
，
又
∵
∠<
/p>
CDF
+
∠
AD
F
=90
°，
∴
∠
EDA
=
∠
CDF
．
在
△
AED
与
△
CFD
中，
EDA
FDC
，
AD
CD
EAD
C
∴
△
AED
≌
△
CFD
(
ASA
)
．
∴
AE
=
CF
=5
．
∵
AB
=
AC
，
∴
BE
=
AF
=
12
．
在
R
t
△
AEF
中，
∵
∠
EAF
=90
°，
∴
EF
2
AE
2
AF
2
5
2
1
2
2
169
，
∴
EF
=
13
．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形
,
直角三角
形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性
质、直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半的性质为解题关键．
2
．<
/p>
（
1
）
50°<
/p>
；（
2
）见解析；（
3
）见解析
【分析】
（
1
）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（
2
）由平行四边形的性质得出
AD
＝
BC
，
AD
∥
BC
；证明<
/p>
BC
是△
EFG
的中位线，得出
BC
∥
FG
，
BC
＝
1
FG
，证出
AD
∥
FH
，
AD
∥
FH
，由平行四边形的判定方法即可得出结论；
2
（
3
）连接
EH
，
CH
，
根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结
论．
< br>
【详解】
明：（
1
）∵四边形
ABCD
是
平行四边形，
∴∠
BAE
＝∠
BCD
＝
70°
，
AD
∥
BC
，
∵∠
DCE<
/p>
＝
20°
，
<
/p>
∵
AB
∥
CD<
/p>
，
∴∠
CDE
＝
180°
﹣∠
BAE
＝
110°
，
∴∠
DEC
＝
180°
﹣∠
DCE
﹣∠<
/p>
CDE
＝
50°
；
（
2
）∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
AD
＝
BC
，
AD
∥
BC
，∠
BAE
＝∠
B
CD
，
∵
B
F
＝
BE
，
C
G
＝
CE
，
∴
BC
是△
E
FG
的中位线，
∴
< br>BC
∥
FG
，
< br>BC
＝
1
FG
< br>，
2
∵
H
为
FG
的中点，
< br>
∴
FH
＝
1
FG
，
2
∴
BC
∥
FH
，
BC
＝
FH
，
∴
A
D
∥
FH
，
A
D
∥
FH
，
∴四边形
AFHD
是平行四边形；
（
3
）连接
EH
，
CH
，
∵
CE
＝
CG
，
FH
＝
HG
，
∴
CH
＝
1
EF
，
CH
∥
EF
，
2
1
EF
，
2
∵
EB
＝
BF
＝
∴
BE
＝
< br>CH
，
∴四边形
EBHC
是平行四边形，
∴
OB
＝
OC
，
OE
＝
OH
，
∵
OC
＝
OH
，
∴<
/p>
OE
＝
OB
＝<
/p>
OC
＝
1
BC<
/p>
，
2
∴△
BCE
是直角三角形，
< br>∴∠
FEG
＝
90°
，
∴
EF
⊥
EG
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形
内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3
．
（
1
）
CE=CF
且
CE<
/p>
⊥
CF
，理由见解析；（
2
）见解析；（
3
）
10
【分析】
（
1
）根据正方形的性质，可证明△
CBE
≌△
CDF
（
SAS
），从而得出
CE=CF
，
∠
BCE=
∠
DCF
，再利用余角的性质得到
CE
⊥
CF
；
（
2
）延长
AD
至
M
，使
DM=BE
，连接
CM
，由△
BEC
≌△
DFC
，可得∠
BCE=
∠
DCF
，
即可求
∠
GCF=
∠
< br>GCE=45°
，且
GC=GC
，
EC=CF
可证△
ECG
≌△
GCF
（
SAS
），则结论可求．
（
3
）过点
C
作
CF
⊥
AD
于
F
，可证四边形
ABCF
是正方形
，根据（
2
）的结论可得
DE=DF+
BE=4+DF
，根据勾股定理列方程可求
DF
的长，即可得出
DE
．
【详解】
解：（
1
）
CE=CF
且
CE
⊥
CF
，
证明：如图
1
，
∵四边形
ABCD<
/p>
是正方形，
∴
BC=CD
，∠
B=
∠
CDF=90°
，
又∵
BE=DF
，
∴
△
CBE
≌△
CDF
< br>（
SAS
），
∴
CE=CF
，∠
BCE=<
/p>
∠
DCF
，
<
/p>
∵∠
BCD=
∠
BCE+
∠
ECD=90°
，
∴∠
ECD+
∠
DCF=90°
，即
CE
< br>⊥
CF
；
（
2
）延长
AD
< br>至
M
，使
DM=BE
，连接
CM
，
∵∠
GCE=45°
，
∴∠
BCE+
∠
GCD=45°
，
∵△
BEC
≌△
DFC
，
∴∠
BCE=
∠
DCF
，
∴
∠
DCF+
∠
GCD=45°
，即∠
GCF=45°
，
∴∠
GCE=
∠
< br>GCF
，且
GC=GC
，
CE=CF
，
∴△
GCE
≌△
GCF
（
SAS
），
< br>∴
GE=GF
，
∴
GE=GD+DF=BE+GD
；
（
3
）如图：过点
C
作
CF
⊥
AD
于
F
，
∵
AD
∥
BC
，∠
B=90°
，
∴∠
A=90°
，
∵∠
A=
∠
B=90°
，
FC
⊥
AD
，
∴四边形
ABCF
是矩形，且
AB=BC=12
，
∴四边形
ABCF
是正方形，
<
/p>
∴
AF=12
，
由（
2
）可得
DE=DF+BE
，
∴
DE=4+DF
，
在△<
/p>
ADE
中，
AE
2
+DA
2
=DE
2
．
∴（
12-4
）
2
+
（
12-DF
）
2
=
（
4+DF
）
2
．
∴
DF=6
，
∴
DE=4+6=10
．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边< p>
形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
4
．
（
1
）
见解析；（
2
）
MON
为等腰直角三角形，见解析
【分析】
（
1
）如图
1
，由正方形的性质得
CB
＝
CD
，∠
BCD
＝
90°
，
再证明∠
BCN
＝∠
CDM
，然后根据
“AAS”
证明
△
CDM
≌△
CBN
，从而得到
DM
＝
CN
；
（
2
）如图
2
，利用正方形的性质得
< br>OD
＝
OC
，∠
ODC
＝∠
OCB
＝
45°
，∠
DOC
＝<
/p>
90°
，再利用
∠
BCN
＝∠
CDM
得到∠
OCN
＝∠
ODM
，则根
据
“SAS”
可判断
△
OCN
≌△
ODM
，从而得到
ON
＝
OM
，
∠
CON
＝∠
DOM
< br>，所以∠
MON
＝∠
DOC
＝
90°
，于是可判断
△
MON
为等腰直角三角
形．
【详解】
（<
/p>
1
）证明：如图
1
，
∵四边形
ABCD
为正方形，
∴
CB
＝
CD
，∠
BCD<
/p>
＝
90°
，
<
/p>
∵
DM
⊥
CP<
/p>
，
BN
⊥
CP<
/p>
，
∴∠
DMC
＝
90°
，∠
BNC
＝
90°
，
∵∠
CDM+
∠
DCM
＝
90°
，∠
BCN+
∠
DCM
＝<
/p>
90°
，
∴∠
BCN
＝∠
CDM
，
在
△
CDM
和
△
CBN
中
DMC
CNB
，
CD
CB
CDM
BCN
∴△
CDM
≌△
CBN
，
∴
DM
＝
< br>CN
；
（
2
）解：
△
OMN
为等腰直角三角形．
理由如下：
如图
2
，∵四边形
ABCD
为正方形，
∴
OD
＝<
/p>
OC
，∠
ODC
＝∠
OCB
＝
45°
< br>，∠
DOC
＝
90°
，
∵∠
BCN
＝∠
CDM
，
∴∠
BCN
﹣
45°
＝∠
CDM
﹣
45°
，即∠
OCN
＝∠
ODM
，
在
△
OCN
和
△
ODM
中
CN
DM
OCN
ODM
，
OC<
/p>
OD
∴△<
/p>
OCN
≌△
ODM
，
∴
ON
＝
OM
，∠
CON
＝∠
DOM
，
< br>∴∠
MON
＝∠
DOC
＝
90°
，
∴
MON
为等腰直角三角形．
< br>
【点睛】
本题考查正方形的性质：正
方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线
相等，互相垂直平分，并且
每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、
矩形、菱形的一切性质；两
条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正
方形又是轴对称图形，有四
条对称轴．也考查全等三角形的判定与性质．
5
．
（
1
）见解析；（
2
）
MN
2
=ND
2
+DH
2
，理由见解析；（
3
）
EG=4
，
MN=
5
2
【分析】
（
1
）根据高
AG
与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（
2
）用三角形全等和正方形的对
角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（
< br>3
）设
EG=BE=x
，根据正
方形的边长得出
CE
，
CF
，
EF
，在
Rt
△
CEF
中利用勾股定理得到方
程，求出
EG
的长，设
MN=
a
，根据
MN
2
=ND
2
+BM
2
< br>解出
a
值即可．
【详解】
解：（
1
）在
Rt
△
ABE
和
Rt
△
< br>AGE
中，
AB=AG
，
AE=AE
，
∴<
/p>
Rt
△
ABE
≌
Rt
△
AGE
（
HL
）．
∴∠
BAE=
∠
GAE
．
同理，∠
GAF=
∠
DAF
．
∴∠
EAF
＝
1
∠
BAD
＝
45°
；
2
（
2
）
MN
2
=ND
2
+DH
2<
/p>
．
∵∠
BAM
=
∠
DAH
，∠
BAM+
∠
DAN=45°
，
∴∠
HAN=
∠<
/p>
DAH+
∠
DAN=45°
．
∴∠
HAN=
∠
MAN
，
又∵
AM=AH
，
AN
=AN
，
∴△
AMN
≌△
AHN
（
SAS
）．
∴
MN=HN
，
∵∠
BAD=90°
，
AB=AD
，
∴∠
ABD=
∠
ADB=45°
，
<
/p>
∴∠
HDN=
∠
HDA+
∠
ADB=90°
，
∴
NH
2
=ND
2
+DH
2
，
∴
MN
2
=ND
2
+DH
2
；