上海【数学】数学平行四边形的专项培优练习题
-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
（问题情景）利用三角形的面积相等来求
解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们
解决几何问题的途径之一．
例如：张老师给小聪提出这样一个问题：
如图
1
，在
△
ABC
中，
AB=3
，
AD=6
，问
△
ABC
的高
AD
与
< br>CE
的比是多少？
小聪的计算思路是：
1
1
BC•AD=
AB•CE
．
2
2
AD
1
从而得
2AD=CE
，
∴
CE
2
根据题意得：
S
△
ABC
=
请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：
< br>（
1
）（类比探究）
如图
2
，在
▱
ABCD
中，点
E
、<
/p>
F
分别在
AD
，
CD
上，且
AF=CE
，并相交于点
O
，连接
BE<
/p>
、
BF
，
求证：
BO
平分角
AOC
．
（
2
）（探究延伸）
如图
3
，已知直线
m
∥
n
，点
A
、
C
是直线
m
上两点，点<
/p>
B
、
D
是直线<
/p>
n
上两点，点
P
是线
段
CD
中点，且
< br>∠
APB=90°
，两平行线
m
、
n
间的距离为
4
．求证：
PA•PB=2AB
．<
/p>
（
3
）（迁移
应用）
如图
4
，
E
为
AB
边上一点，
ED
⊥
AD
，
CE
⊥
CB
，垂足分别为
D
，
C
，
∠
DAB=
∠
B
，
AB=
34
，
BC=2
，
AC
=
26
，又已知
M
、
N
分别为
AE
< br>、
BE
的中点，连接
DM
、
CN
．求
△
DEM
与
△
CEN<
/p>
的周长之和．
【答案】（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
5
+
34
【解析】
分析：
(1)
、根据平行四边形的性质得出
△
ABF
和
△
BCE
的面积相等，过点
B
作
OG<
/p>
⊥
AF
于
G
，
OH
⊥
CE
于
H
，从而得出
A
F=CE
，然后证明
△
BOG
和
△
BOH
全等，从而
得出
∠
BOG=
∠
BOH
，即角平分线；
(2)
、过
点
P
作
PG
⊥
n
于
G
，交<
/p>
m
于
F
，根据平
行线的性质得
出
△
CPF
和
△
DPG
全等，延长
BP
交
AC
于
E
，证明
△
CPE
和
△
DPB
全
等，根据等积法得出
AB=
AP×PB
，从而得出答案；
(3)
、，延长
AD
，
BC
交于点
G
，过点
A
作
AF
⊥
BC
于
F
，设
CF=x
，根据
Rt
△
ABF
和
Rt
△
ACF
的勾股定理得
出
x
的值，根据等积法得出
AE=2D
M=2EM
，
BE=2CN=2EN
，
DM+CN=
AB
，从而得出两个三
角形的周长之和．
同理：
EM+EN
=
AB
详解：证明：（
1
）如图
2
，
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
S
△
ABF
=
S
▱
ABCD
，
S
△
BCE
=
S
▱
ABCD
，
< br>
∴
S
△
ABF
=S
△
BCE
，
过点
B
作
OG
⊥
AF
于
G
，
OH
< br>⊥
CE
于
H
，
∴
S
△
ABF
=
AF×BG
，
S
△
BCE
=
CE×BH
，
∴
AF×BG=
CE×BH
，即：
AF×BG=CE×BH
，
∵
AF=CE
，
∴
BG=BH
，
，
∴
Rt
△
BOG
≌
< br>Rt
△
BOH
，
∴
∠
BOG=
∠
BOH
，
在
Rt
△
BOG
和
Rt
△
BOH
中，
∴
OB
平分
∠
AOC
，
（
2
）如图
3
，过点
P
作
PG
⊥
n
于
G
，交
m
于
F
，
∵
m
∥
n
，
∴
PF
⊥
AC
，
∴
∠
CFP=
∠
BGP=90°
，
∵
点
P
是
CD
中点，
在
△
CPF
和
△
DPG
中，
，
∴
△
CPF
≌
△
DPG
，
∴
PF=PG=
F
G=2
，
延长
BP
交
AC
于
E
，
∵
m
∥
n
，
∴
∠
ECP=
∠<
/p>
BDP
，
∴<
/p>
CP=DP
，
在
△
CPE
和
△
DPB
中，
，
∴
△
CPE
≌
△
DPB
，
∴
PE=PB
，
< br>
∵
∠
APB=90°
，
∴
AE=AB
，
∴
S
△
APE
=S
△
APB
，
∵
S
△
APE
=
AE×PF=AE=AB
，
S
△
APB
=
AP×PB
，
∴
AB=
AP×PB
，
即：
PA•PB=2AB
；
（
3
）如图
4
，延长
AD
，
BC
交于点
G
，
∵
∠
BAD=<
/p>
∠
B
，
∴
AG=BG
，过点
A
作
AF
⊥
BC
于
F
，
设
CF=x
（
x
＞
0
），
∴
BF=BC+CF=x+2
，
在
Rt
△
ABF
中，
AB=
根据勾股定理得，
AF
2
=AC
2
﹣
CF
2
=26
﹣
x
2
，
∴
34
﹣（
x+2
）
2
=26
﹣
x
2
，
∴
x=
﹣
1
（舍）或<
/p>
x=1
，
∴<
/p>
AF=
=5
，
，
，
根据勾股定理得，
AF
2
< br>=AB
2
﹣
BF
2
=34
﹣（
x+2
）
2
，
在
Rt
△
ACF
中，
AC=
连接
EG
，
∵
S
△
ABG
=
BG×AF
=S
△
AEG
+S
△
BEG
=
AG×DE+
BG×CE=
BG
（
D
E+CE
），
∴
DE+CE=AF=5
，
在<
/p>
Rt
△
ADE
中
，点
M
是
AE
的中点，
∴
AE=2DM=2EM<
/p>
，
同理：
BE
=2CN=2EN
，
∵
AB=AE+BE
，
∴
2DM+2CN=AB
，
∴
DM+CN=
AB
，<
/p>
同理：
EM+EN=
AB
∴
△
DEM
与
△
CEN
的周长之和
=DE+DM+EM+CE+CN+EN=
（
DE+CE
）
+[
（
DM+CN
）
+
（
EM+
EN
）
]
=
（
DE+CN
）
+AB=5+
．
点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常
< br>强，难度较大．在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等
< br>得出各个线段之间的关系．
2
．
如图
1
，
四边形
ABCD
是正方形，
G
是
CD
边上的一个动点（点
G
与
C
、
D
不重合），以
CG
为一边在正方形<
/p>
ABCD
外作正方形
CEFG
，连接
BG
，
DE
．
（
1
）
①
猜想图
1
中线段
BG
、线段
DE<
/p>
的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；
②
将图
1
中的正方形
CEFG
绕着点
C
按顺
时针方向旋转任意角度
α
，得到如图
2
情形．请
你通过观察、测量等方法判断
①
中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
（
2
）将原
题中正方形改为矩形（如图
3
、
4
），且
AB=a
，
BC=b
，
CE=ka
，
CG=kb
（
a≠b
，<
/p>
k
＞
0
），第（
1
）题
①
中得
到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图
4
为例简要说明
理
由．
（
3
）在第（
2
）题图
4
中，连接
DG
、
BE
，且
a=3
，
b=2
，
k=
1
，求
BE
2
+DG
2
的值．
2
【答案】（
1
）
①BG
⊥
DE
，
BG=DE
；
②BG
⊥
DE
，证明见解析；（
2<
/p>
）
BG
⊥
DE<
/p>
，证明见解
析；（
3
）
16.25
．
【解析】
分析：（
< br>1
）
①
根据正方形的性质，显然
三角形
BCG
顺时针旋转
90°
即可得到三角形
DCE
，
从而判断两条直线之间的关系；
②
结合正方形的性质，根据
SAS
仍然能够判定
△
BCG
≌
△
DCE
，从而证明结论；
（
2
）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三
角形相似，从而可以得到
（
1
）中的位
置关系仍然成立；
（
3
）连接
BE
、
DG
．根据勾股定理即可把
BE
2
< br>+DG
2
转换为两个矩形的长、宽平方和．
详解：（
1
）
①BG
⊥
DE
，
BG=DE
；
②
∵
四边形
ABCD
和四边形
CEFG
是正方形，
∴
BC=DC
，
CG
=CE
，
∠
BCD=
< br>∠
ECG=90°
，
∴
∠
BCG=
∠
DCE
，
∴
△
BCG
≌
△
DCE
，
∴
BG=DE
，
∠
CB
G=
∠
CDE
，
又
∵
∠
C
BG+
∠
BHC=90°
，
∴
∠
CDE+
∠
DHG=90°
，
∴
BG
⊥
DE
．
（
2
）
∵
AB=a
，<
/p>
BC=b
，
CE=ka
< br>，
CG=kb
，
BC
CG
b
，
DC
CE
a
又
∵
< br>∠
BCG=
∠
DCE
，
∴
△
BCG
∽
△
DCE
，
∴
∠
CBG=
∠
CDE
，
∴
又
∵
∠
CBG+
∠
BHC=90
°
，
∴
∠<
/p>
CDE+
∠
DHG=90°
，
∴
BG
⊥
DE
．
< br>（
3
）连接
BE
、
DG
．
< br>根据题意，得
AB=3
，
BC=
2
，
CE=1.5
，
< br>CG=1
，
∵
BG
⊥
DE
，
∠
BCD=
∠
ECG=90°
∴
BE
2<
/p>
+DG
2
=BO
2
+OE
2
+DO
2
+OG
2
=BC
2
+CD
2
+CE
2
+CG
2
=9+4+2
.25+1=16.25
．
点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定
理．
3
．
如图
①
，在等腰
Rt
ABC
中，
<
/p>
BAC
90
，
点
E
在
AC
上
(
且不与点
A
、
C
重合
)
，
在
△
ABC
的
外部作等腰
Rt
△
CED
，使
CED
90
，连接
AD
，分别以
AB
，
AD
为
邻边
作平行四边形
ABFD
，连接
AF
．
1
请直接写出线段
AF
，
AE
的数量关系；
2
< br>①
将
CED
绕点
C
逆时针旋转，当点
E
在线段
BC
上时，如图
②
，连接
AE
，请判断
线段
AF
，
AE
的数量关系
，并证明你的结论；
②
若
AB
2
5
，
CE
2
，在图
②
的基础上将
CED<
/p>
绕点
C
继续逆时针旋转一周的过
程中，当平行四边形
ABFD
为菱形时，直接写
出线段
AE
的长度．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
①
AF
【解析】
【分析】
2AE
②
4
2
或
2
2
.
<
/p>
1
如图
①
中，结论：
AF
2AE
，只要证明
AEF
是等腰直角三
角形即可；
2
①
如图
②
中，结论：
AF
2AE
，连接
EF
，
DF
交
BC
于
K
，先证明
EKF
≌
ED
A
再证明
AEF
是等腰直角三角形即可
；
②
分两种情形
a
、如图
③
中，当
AD
AC
时，四边形
ABFD
是菱形
.b
、如图
④
中当
AD
AC
时，四边形
ABFD
是菱形
.
分别求解即可
.
【详解】
1
如图
①
中，结论：
AF
2AE
．
理由：
四边形
ABFD
是平行
四边形，
AB
DF
，
AB
AC
，
AC
DF
，
DE
EC
，
AE
EF
，
DEC
AEF
9
0
，
AE
F
是等腰直角三角形，
AF
2AE
．
故答案为
AF
2AE
．
2AE
．
2
①
如图<
/p>
②
中，结论：
AF
理由：连接
EF
，
DF
交
BC
于
K
．
四边形
ABFD
是平行四边形，
AB/
/DF
，
D
KE
ABC
45
，
EKF
180
DKE
135
，
EK
< br>
ED
，
ADE
180
EDC
180
45
135
，
EKF
ADE
，
DKC
C
，
DK
DC
，
< br>DF
AB
< br>AC
，
KF
AD
，
在
EKF
和
EDA
中，
< br>EK
ED
< br>
EKF
< br>
ADE
，
< br>
KF
AD
< br>
EKF
≌
< br>EDA
，
< br>EF
EA
，
< br>
KEF
< br>AED
，
< br>
FEA
< br>BED
90
，
AEF
是等腰直角三角形
，
AF
2AE
．
②
如图
③
中，当
AD
AC
时，四边形
ABFD
是菱形，设
AE
交<
/p>
CD
于
H
，易知
EH
DH
CH
2
，<
/p>
AH
(2
5)
2
(
2)<
/p>
2
3
2
，
AE
AH
EH
4
2
，
如图
④
中当
AD
AC
时，四边形
ABF
D
是菱形，易知
AE
AH
EH
3
2
2
2
2
，
综上所述，满足条件的
AE
的长为
4
2
或
2
2
．
【点睛】
本题考查四边形综合题、全
等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行
四边形的性质、勾股定理等
知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找
全等的条件是解题的难点，
属于中考常考题型．
4
．
如图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
、
BD
相交于点
O
，
AO
=
CO
，
BO
=
DO
，且
∠
ABC
+
∠
ADC
=180°
．
（<
/p>
1
）求证：四边形
ABCD
是矩形．
（
2
）若
∠
ADF
：
∠
FDC
=3
：
2
，
DF
⊥
AC
，求
∠
BDF
的度数．
【答
案】
(1)
见解析；（
2
）
18°
.
【解析】
【分析】
（
1
）根据平行四边形的判定得出四边形
ABCD
是平行四边形，求出
∠
ABC=90°
，根据矩形
的判定得出即可；
（
2
）求出
∠
FDC
的度数，根据三角形内角和定理求出
∠
DCO
，根据矩形的性质得出
OD=OC
，求出
∠
CDO
，即可求出
答案．
【详解】
< br>（
1
）证明：
∵
AO=CO
，
BO=DO
<
/p>
∴
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
∠
ABC=
∠
ADC
，
∵
∠
ABC+
∠
ADC=180°
，
∴
∠
ABC=
< br>∠
ADC=90°
，
∴
四边形
ABCD
是矩
形；
（
2
）
解：
∵
∠
ADC=90°
，
∠
ADF
：
∠
FDC=3
：
2
，
∴
∠
FDC=36°
，
∵
DF
⊥
AC
，
∴
∠
DCO=9
0°
﹣
36°
=54°
，
∵
四边形
ABCD
是矩形，
∴
OC=OD
，
∴<
/p>
∠
ODC=54°
∴
∠
BDF=
∠
< br>ODC
﹣
∠
FDC=18°
．
【点睛】
<
/p>
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推<
/p>
理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
5
．
如图（
1
）在正方形
A
BCD
中，点
E
是
CD
边上一动点，连接
AE
，作<
/p>
BF
⊥
AE
，垂
足为
G
交
AD
于
F
（
1<
/p>
）求证：
AF
＝
DE
；
（
2
）连接
DG
，若
DG
平分
∠
EGF
< br>，如图（
2
），求证：点
E
是
CD
中点；
<
/p>
（
3
）在（
2<
/p>
）的条件下，连接
CG
，如图（
3
），求证：
CG
＝<
/p>
CD
．
【答案】（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
CG
＝
CD
，见解析．
【解析】
【分析】
（
1
）证明
△
BAF
≌
△
ADE
（
ASA
）即可解决问题．
（
2
）过点
D
作
DM
⊥
GF
，
DN
⊥
GE
，垂足
分别为点
M
，
N
．想办法证明
AF
＝
DF
，即可解决
问题．
（<
/p>
3
）延长
AE
，
BC
交于点
P
，由（
2
）知
DE
＝
CD
，利用直角三角形斜边中线的性质，只要
证明
BC
＝
CP
即可．
【详解】
<
/p>
（
1
）证明：如图
1
中，
在正方形
ABCD
中，
AB
＝
AD
，
∠
BAD
＝
∠
D
＝
90
o
，
∴
∠
2+
< br>∠
3
＝
90°
< br>
又
∵
BF
⊥
AE
，
∴
∠
AGB
＝
90°
∴
∠
1+
∠
2
＝
90°
，
∴
∠
1
＝
∠
3<
/p>
在
△
BAF<
/p>
与
△
ADE
中，
∠
1=
∠
3
BA=AD
∠
BAF=
∠
D
，
∴
△
BAF
≌
△
ADE
（
ASA
）
∴
AF
＝
DE
．
（
2
）证明：过点
D
作
DM
⊥
GF
，
DN
⊥
GE
，垂足分别
为点
M
，
N
．