关于路程和时间的计算问题
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八年级物理期末专题——关于路程和时间的计算问题
关于路程和时间的计算问题总是初学物理的难点所在。
本来这些问题在应用小学数学的
知识来解决时同学们多数都能完成。<
/p>
可是现在用物理方法来完成同学们就感到困难重重。
这
是因为我们的思维要有一个转形期，
这也非常正常。
不过在这个转形期，
我们要经过一段时
间的应用练习来加快转
形。实际这部分内容只要多做一些练习就能“生巧”了。这并不等于
题海战术。
这部分内容就必须多做练习才行，
你见得多了，
自然而然的在遇到问题时就有思
路了。本周我们先来简单复习一下速度和平均速度。
（平均速度虽然在教材中没有提到，但
在考试时出现了，这说明这部
分内容也是我们所必须会的。）然后利用一些例题的讲解，来
提高同学们审题时思维的高
度。最后通过一些练习来加强巩固。
1.
关于速度和平均速度
匀速直线运动的
速度
：
在匀速直线运动中，
速度等于运
动物体在单位时间内通过的路程。
通常用
v
表示速度，
< br>s
表示路程，
t
表示时间，速度
的公式就是
速度的单位：如果路程
的单位用米，时间的单位用秒，速度的单位就是米／秒。交通运
输中常用“千米／时”作
速度的单位。
平均速度
反映物体在一段路程或一段时间内
大体上运动快慢的物理量。
由于做变速直线运动的物
体速度的大
小一般是随时间变化的。
所以为了粗略地描述其运动的快慢，
把
物体在这段时间
里（或这段路程上）的运动看作匀速直线运动，从而用求匀速直线运动速
度的办法来求其
做变速直线运动的物体，在不同时
间内（或不同路程上）的平均速度一般是不同的，因
此，计算时，一定要明确物体是在哪
段时间内哪段路程上的平均速度。例如：火车以
20
米
／秒的速度行驶
5
分钟，接着以
30
米／秒的速度行驶
15
分
钟，这列火车在
20
分钟内的平
均速度
v
20<
/p>
米
/
秒
5
60
秒
30
米
/
秒
15
60
秒
27
.
5
米
/
< br>秒，如果把求平均
20
60<
/p>
秒
速度公式写成
v
v
1
v
2
1
(
20
米
/
秒
30
米
/
秒
)
25
米
/
秒，显然是错误的。
2
2
此
外，假如做变速直线运动的物体，中途休息，在计算全程的平均速度时要将休息时
间加在
总时间内。
解物理题的一般步骤：写出已知条件，要求的物理
量，然后根据公式进行计算。
2.
学生解路程、时间题目常犯的毛病有：
（
1
）不写出所依据的公式
.
对不同的速度、路程或时间，不用带不同的下角标或上角
标的字母<
/p>
v
、
s
或
t
加以区别。
（<
/p>
2
）没有统一单位。
< br>（
3
）列的算式中漏掉单位，运算中漏掉单位的运算。<
/p>
（
4
）不知道
（或者不会）作图帮助分析比较复杂的题目。
（
5
）解题格式不够合理，因而容易出错。
3.
解题的一般步骤和注意事项：
（
1
）分析题意，在头脑中想象出物体
运动的情况，题目已给的条件（即已知量）和要
求出的量（待求量）。
< br>
（
2
）思考如何根据已知的物
理知识、物理公式逐步求解；对不同运动过程中的速度、
路程或时间用什么样的角标加以
区别；遇到比较复杂的问题可以作图来帮助分析
.
告诉学生
“分析”这一步骤在解题中是关键性的步骤，
课文中用楷体字印出，
虽然不要求学
生在作业本上写出，
但不能越过这一步。
一定要养成分析清楚之后再着手解题的习惯，
切忌
< br>蒙着干。
（
3
）按照课本中的例题的格式写出已知、求、解、答。
在列已知条件时就应该统一单位，
在列式子和运算过程中都不要漏掉单位。
带单位运算
时，单位也像数字那样相乘、相除、相消。由于同学们对此比较陌
生，所以在讲解例题时就
要注意这一点。
另外解
题的格式不是死的。
但是在刚开始学物理、
解物理题时，
按照正规的格式写可以
减少错误。以后解题熟练了就可以不受这种格式
的拘束。
【典型例题】
1
h
2
例
1.
甲骑自行车以
16km/h
速度从某地出发沿平直路面运动，
后，乙有事需追赶甲，
于
是骑摩托车以
40km/h
从同一地点出发追甲。（
1
）乙经多少时间后追上甲？（
2
）此时甲
运动了多少路程？
【分析】本题有两个物体运动，速度与时间都不相同，但追上时两者路程相同。
【解答】设乙追上甲时间
t
（
h
），则甲运动时间为
t
＋<
/p>
0.5
（
h
），
由
s<
/p>
甲
＝
s
乙
，或
v
甲
t
甲
＝
v
乙
t
乙
，
得
v<
/p>
甲
（
t
乙
＋
0.5
）＝
v
乙
t
乙
，
或
16km/h
（
< br>t
乙
＋
0.5
< br>）
h
＝
40km/h
·
t
乙
答（
1
）
20min
后乙追上甲。
（
2
）追上甲时，甲运动的路程是
13.3km
【说明】本题有多种解法。如：根据两车速度可知乙速度比甲快
甲为参
照物时，乙速度为
24km/h
，运动距离
8km
。
例
2.
南京长江大桥正桥长
1600m
，一列长
250m
< br>的火车匀速行驶通过正桥的时间为
3min5s
，求该火
车全部在正桥上行驶的时间。
【分析】
火车过桥时间应以火车头上桥开始计时到火车尾下桥为止，
实际路程是
L
桥
＋
L
< br>火车全部在桥上时间应以火车尾上桥开始计时到火车头下桥为止，
实际路程是
L
桥
－
L
车
。
车
。
答：火车全部在正桥上行驶时间
135s.
＝
135s.
用比例方法解可简化运算，还可以不需具体计算出火车的速度。
例
3.
一列火车以
54
千米
< br>/
时的速度完全通过一个
1100
米长的铁桥，用时
1
分
20
秒。
求这列火车的长度。
【分析】本题属于一类“车辆过桥
、钻洞问题”，特点是：题目给出车辆长度，
“路程”
不能直接
代入“桥（洞）的长度”
[
若是这样代入，车辆行完计算出的路
程后，并未完全通
过桥（洞），此时整个车辆还在桥上（洞里）！
]
，而是路程＝桥（洞）长＋车长。
【解答】
v
＝
54
千米
/
时＝
15
米
/
秒，
t
＝
1
分
20
秒＝
8
0
秒，
l
桥
＝
1100
米，求：
l
< br>车
根据题意
s
＝
l
桥
＋
l
车
则
l
车
＝<
/p>
vt
－
l
桥
＝
15
米
/
秒×
80
秒－
110
0
米＝
100
米
答：这列火车的长度是
100
米。
例
4.
地铁列车环城一周，正常运行
的速度是
84
千米
/
< br>时，若实际列车迟开
6
分钟，司
机把速度提高到
90
千米
/
时，则列车正点到达。求：（
1
）环城一周的路程
；
（
2
）列车实际
运行时间。
【分析】本题乍看上去似乎“条件不足”，其实题目中隐含着一个不变量——环城一周
< br>的路程
s
，发现这一点后，问题就不难解决了。
（
2
）根据题意
s
正常
＝
s
实
际
＝
s
而
s
＝
vt
……①
则
v
正常
t
正常
＝
v
实际
t
实际
……②
由
t
正常
－
t
实际
＝
0.
1
时
得
t
正常
＝
t
实际
＋
0.1
时
代入公式②
v
正常
< br>（
t
实际
＋
0.1
时）＝
v
实际
t
实际
代入数据
84
千米
< br>/
时×（
t
实际
＋
0.1
时）＝
90
千米
/
时×
t
实际
解得
t
实际
＝
1.4
时
③
③代入①式
s
＝
v
实际
t
实际
＝
90
千米
/
时×
1.4
时＝
126
千米
答：（
1
）环城一周的路程是
126
千米；（
2
）列车实际运行时间是
1.4
< br>小时。
例
5.
北京和天津相距约
140
千米，
有一辆汽车和一辆摩托车同时分别从两地出发相对行
驶，
4
8
分钟后两车相遇，汽车的速度是
105
千米
/
时，求摩托车的速度是多大？
【分析】本题是典型的“相遇问题
”，特点是：（
1
）全程＝两车路程之和；（
< br>2
）两车
行驶时间相等，请注意初中物理与小学数学解决此类问题的不
同方法。
【解答】
s
＝
140
千米，
t
＝
48
分＝
0.8
时，
v
汽车
＝
105
千米
/
时。
[
注：同一
题目中相等
的量（如本题中的时间
t
）
可以不写下标
]
根据题意
s
＝
s
汽车
＋
s
摩托车
＝
v
汽车
t
＋
v
摩托车
t
则
v<
/p>
摩托车
＝（
s
－
v
汽车
t
）<
/p>
/t
＝（
140
千米
/
时－
105
千米
/
时×
0.8
时）
/0.8
时
＝
70
千米
/
时
< br>答：摩托车的速度是
70
千米
/
时。
例
6.
甲乙丙三人分别用跑步、竞走
和慢跑绕操场一周，他们的速度之比是
3:2:1
，则他
们所用的时间之比是：（
）
A. 6:3:2 B. 3:2:1
C. 1:2:3 D. 2:3:6
【分析】本题的隐含条件是三人路程相等（都是“绕操场一周
”）。由
t
＝
s/v
< br>可知，
当
s
相等时，
t
与
v
成反比，三人的速
度之比是
3:2:1
，其反比就应该是
1:2:3
了，应该选
“
C
”！不幸的是，这恰恰是一个“陷阱”，请看下述解题过程：
【解答】根据题意
t
＝
s/v
，而
s
1
＝
s
2
＝
s
3
则
t
与
v
成反比
又
v<
/p>
1
:v
2
:v<
/p>
3
＝
3:2:1
所以
t
1
:t
2
:t
3
＝
1/v
1
:1/v
2
:1/v
< br>3
代入
＝
1/3:1/2:1/1
通分
＝
2/6:3/6:6/6
化简
＝
2:3:6
所以，正确答案是“
D
”。
例
7.
甲、
乙两同学从跑道一端前往另一端，
甲在全部时间的一半内跑，
另
一半时间内走，
乙在全部路程的一半内跑，
另一半路程内走。<
/p>
如果他们跑和走的速度分别相等，
则先至终点
的是：（
）
A.
甲
B.
乙
C.
同时至终点
D.
无法判定
【解答】
1.
作图法
.
设
B
为路程中点，
C
为甲一半时间内到
达的位置，
分析可知，
甲、
乙从
A
跑至中点时间相等，
同理，
两者从
C
点走到
D
点的时间相同，
而甲从
B
跑至
C
比乙从
B
走至
C
的时间短，故选
A.
2.
比较通过全路程所用时间
设甲通过全路程所用时间为
t
甲
，乙通过全路程所用时间为
t
乙
，全程为
s
。
因为
v
跑
＞
v
走
＞
0
，
s
＞
0
，∴
t
甲
－
t
乙
＜
0
，故选
A
。
3.
比较平均速度
4.
比较在相等时间内通过的路程
设乙通过全部路程所需时间为
t
乙
，由
2
可知，<
/p>
2
不等式
两边同加
4v
跑
v
走
，∴（
v
跑
＋
v
走
）
＞
4v
跑
v
走
，由分子和分母的关系可见
【说明】以上四种方法，第一种作图法形象直观，明了简便，避免了繁杂的数学运算，
后三种是运用物理知识和数学手段，
严密推导得出的，
本题对初二学生有一定的难度，
所以
把这四种方法介绍
给学生，共同商讨。
例
8.
一辆汽车从甲城开往乙城的过
程中，
前三分之一路程内的平均速度是
60
千米
/
小时，
后三分之二路程内的
平均速度是
30
千米
/
小时，求在全程内汽车的平均速度。
【解答】根据变速运动的平均速度公式
时间，就是全程的平均速度。
设全路程为
s.
v
s
t
，从甲到乙的总路程除
以从甲到乙的总
全程的平均速度为：
【说明】变速运动的平均速度不等于速度的算术平均值
例
9.
一辆货车第一小时行驶
20
千米、第二小时行驶
30
千米、第三小时行驶
40
千米的
路程。求前两小时、后两小时、全程的平均速度。
【解答】求平均速度要用指定的时间去除这段时间内通过的路
程。
前两小时的平均速度：
后两小时的平均速度：
全程的平均速度：
【说明】
①本题说明在不同的路程中平均速度是不同的，在不同时间内平均速度也是不同的。
②相同时间内，通过的路程越长，平均速度就越大。
③全程的平均速度是
30
千米
/
小时，不是说每
小时物体通过的路程都是
30
千米。
④全程的平均速度乘以时间，
即
30
千米
/
小时×
3
小时＝
9
0
千米，
就是全程实际通过的
路程，说
明平均速度就是把变速运动当作匀速运动处理的速度。
⑤
70
千米
路程中的平均速度是
35
千米
/
小时，而
90
千米的路程中的平均速度是
30
千
米
/
小时，说明平均速度越大的路程不一定长；同理，平均速度越大，时间不一定越少。
例
10.
做匀速直线运动的
A
、
B
、
C
三辆汽车，它们通过的路程之比
是
1:2:3
，求三辆汽车
所用时间之
比为①
1:1:1
；②
1:2:3
；③
3:2:1
时的速度之比。
【解答】根据匀速直线运动的速度公式
v
s
t
，时间一定，速度与路程成正比；路程一
定，速度与时间成反比。<
/p>
①在时间一样时，速度与路程成正比。因此，
s
1
:s
2
:s
3
＝
1:2:3
v
1
:v
2<
/p>
:v
3
＝
1:2
:3
②
s
1
:s
2
:
s
3
＝
s:2s:3s
t
1
:t
2
:t
3
＝
t:2t:3t