利用能量法计算物体作简谐运动的周期
绝世美人儿
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2021年02月20日 06:39
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利用能量法计算物体作简谐运动的周期
浙江
胡亦中
当物体作简谐运动时，求振动周期的常用方法是利用动力学方法，即利用回复力
F
＝
-kx
，由周期<
/p>
振子为例进行分析：
1
．基本规律
求得。但当系统受力较难分析时，可利用能量法求解。下面以弹簧
以水平方向弹簧振子
为例，设振子的位移
x
随时间的变化规律为
x
＝
Acos
（
< br>wt+
），
在振动中的任何一时刻
t
时，振子具有动能
E
K
，弹簧具有弹性势能
E
P
。此两者的值分别为
，
。
由于
k<
/p>
＝
mw
2
，故上
式又可写为
。
可见这一振动系统的动能和势能都随时间作周期性变化，
但系统总的机械能
E
＝
E
K
+E
P
＝
保持不变。这一总
机械能与振幅的平方成正比，与角频率的平方成正比。这也
是简谐运动的一般规律。
简谐运动能量的表达式还为我们提供了求振子频率的另一种方法，
这种方法不涉及振
子所受的力，因此在力不易求得时较为方便。若将势能
E
P
写成位移
x
的函数，由前述势能
的表达式可得到
w
＝
，
或将总能量写成振幅的函数，则由前述总能量的表达式可以得到
w
＝
。
2
．用能量法求周期的规律应用
【
例
1
】有一轻质
刚性杆，长为
L
，可绕上端的水平轴自由转动，下端固定着质量
为
m
的质点，构成单摆。如图
1
所示，质点通过一根劲度系数为
k
的水平弹簧
拴到墙上，当摆竖
直下垂时，弹簧处于松弛状态，求系统小幅度振动的周期。
解析：
设质点偏离平
衡位置的最大位移为
x
，
杆偏离竖直方
向的夹角为
θ
，
则系统总的
机械能为
，
式中
x
＝
L
θ
，
1
-cos
θ
＝
。
故得
，
而
，
比较上两式得系统的角频率为
，
故系统振动的周期为
。