初中数学的基本概念
-
初中数学的基本概念
数
学
SHU
XUE
第一章
有理数
一．基本概念
１．大于
0
的数叫做正数；小于
0
的
数叫做负数；
0
既不是
正数也不是负数
．
注（１）正负数通常用来表示一对具有相反意义的量．
（２）
不一定是负数．
（３）负数＜０＜正
数．
（要会比较两个数的大小）
２有理数
＂或
有理数
注
：了解几个概念，＂正整数＂、＂负整数＂、＂非正整
数＂、＂非负整数＂．
３．数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．
（判断是不
是数轴的依据）
４．
（１）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反
数．
（２）倒数：乘积为１的两个数叫做互为倒数．
（３）绝对值：数轴上表示数
的点与原点的距离叫做
数
的绝对值．
注：①
互为相反数的两数之和为０；互为倒数的两数之
积为１．
②
０的相反数是０；０的绝对值是
０；０没有倒
数．
③
出现＂平方＂、＂绝对值＂、＂距离＂等关键字的题
目，一般有两个答案．<
/p>
例如：平方为９的数有±３；绝对值为３的数有±３；距离
原点３个单位长度的点表示的数是±３．
注：要求能够熟练、快速、准确的求出任意一个数的相反
数、倒
数（０除外）和绝对值．
相反数
绝对值
倒数
正数
负数
正数
正数
负数
正数
正数
负数
０
０
０
不存在
５．科学记数法：把一个大于
10
的数表示成
的形式，就
叫做科学记数法．
注：
是整数位只有一位的数，
是正整数．
６（１）近似数：它是相对于精确数来说的．
（２）有效数字：从一个数的左边第一个非０数字起，到
末尾数字止，所有的数
字都是这个数的有效数字．
二．有理数的运算法则
１．加法法则：
（１）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相
加．
（２）异号两数相加，取绝对值较大的加
数的符号，并用
较大的绝对值减去较小的绝对值．
（３）０加任何数都得任何数．
２．减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．即
注：加上一个数等于减去这个数的相反数．例
如
．
３．乘法法则：
（１）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值
相乘．
（２）０乘任何数都得０．
４．除法法则：
< br>法则１：除以一个不等于０的数，等于乘以这个数的倒
数．即
法则２：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值
相
除．０除以任何一个不等于０的数，都得０．
５．乘方法则：
（１）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
（２）正数的任何次幂都是正数．
（３）０的任何次幂都是０．
☆ <
/p>
任何一个数都可以看作是它本身的
1
次方
．即
６．有理数的混合运算法则：
（１）先乘方，在乘除，最后加减；
（２）同级运算，从左到右进行；
（３）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括
号、大括
号依次进行．
三．有理数的运算律
１．加法运算律
（１）加法交换律：
（２）加法结合律：
２．乘法运算律
（１）乘法交换律：
（２）乘法结合律：
（３）乘法分配律：
☆
负数一定要用括号括起来，如：
．
第二章
一元一次方程
一．几个基本概念
1
．等式：用等号连接的式子叫做等式．
２．方程：含有未知数的等式叫做方程．
３．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次
数是一次的方程叫做一元一
次方程．
注：方程一定是等式，但等式不一定是方程．
☆“方程的解”和“解方程”
二．等式的基本性质
１．在等式的两
边同时加上或减去一个数或式子，结果不
变．即
２．在等式的两边同时乘以一个数，或者除以一个不为０
的数，结果不变．即
三．解一元一次方程的步骤
１．去括
号（把括号和括号前边的符号一同去掉，若括号
前边是正号，则不变号；若括号前边是负
号的，则变做相
反的符号．
）
２．去分母（在等式的两边同时乘以公分母．注意：是等
式两边的每一
项都要乘以公分母．
）
３．移项（通
常把未知数移到等式的左边，常数项移到等
式的右边．注意：从等式的一边移到另一边要
变作相反的
符号．
）
４．合并同类项（化简的作用．
）
５．化系数为１．
四．利润问题、工程问题
１．利润＝售价－进价＝进价
利润率（盈利率）
售价＝进价＋利润＝原价
折扣数
利润率＝利润
进价
２．工作总量＝工作效律
工作时间
注意：做题时，往往把工作总量看作１．
顺流（风）速度＝静水（风）速度＋水（风）流速度
逆流（风）速度＝静水（风）速度－水（风）流速度★
补
充教材
★
（一）字母表示数
如：若
、
分别表示两个数，则加法的交换律
可以表示
为
，乘法交换律可以表示为
等．还有解方程中的
、圆面
积中的
等都表示数字．
☆字母与字母相乘，乘号可以省略不写，或简单记作“ ”，
数
字与字母相乘，一定要把数字写在字母的前面，并把数
字叫做该项的系数．
（二）代数式
像
、
、
、
等这样的式子都是代数式．
（三）代数式求值
1
．填写下表
1
2
3
4
511
26
4
25
2
．人体血液的质量约占人体体重的
6
％
～
7.5
％，
如果某人体重是
千克，那么他的血液
质量大约在什么范围
内？
（四）去括号（比较与添括号）
去括号的法则：
（１）括号前边是＂
＂，把括号和它前面的＂
＂一
同去掉，原括号里各项的符号都不改变．
（２）括号前边是＂
＂，把括号和它前面的＂
＂一同去<
/p>
掉，原括号里各项的符号改变为相反的符号．
（即正变负，
负变正）
第三章
图形认识初步
注：平面几何要求熟记面积公式和周长公式，立
体几何要求会作图，知道它们的顶点、棱、面的个数．
２
.
直线、射线、线段．
< br>
端点
长短
粗细
表示
直线
无
无
无
直线
AB
射线
1
无
无
射线
AB
线段
2
有
无
线段
AB
（
1
）两点之间线段最段．
两点确定一条直线．
（
2
）点和直线的位置关系：
①
点在直线上（直线经过点）
②
点在直线外（直线不经过点）
（
3
）点动成线，线动成面，面动成体．
即：无数个点构成线
，无数条线构成面，无数个面
构成体．
3
．角的两种概念：
（
1
）有公共端点的两条射线构成的图形叫做角．
（
2
）一条射线绕着它的端点旋转后得到的图形叫做
角．
４．角的度量
１度＝
分＝
秒．
（要求：熟悉单位之间的换算）
例如：
（１）
23
度
15
分＝＿＿＿度．
（２）
75.5
度
=_
___
度
___
分．
< br>
５．余角和补角．
（会求任意角的余角和补角）
（１）若两角之和为
度，则称这两个角互为余角．
（２）若两角之和为
度，则称这两个角互为补角．
☆
同（等）角的余角相等；
☆
同（等）角的补角相等．
第四章
数据的收据与整理
☆
调查
☆
调查的
方式有：问卷调查、访问调查、查阅文献资料
和实验等．
１．收据数据（制作调查问卷）
２．整理数据（制作表格）
３．描述
数据（条形统计图、扇形统计图、折线统计图）
４．分析数据（得出结论、给出建议）<
/p>
☆
本章：要
求会作统计图、会看统计图、会分析统计
图，最后得出结论．
第五章
相交线与平行线
一．基本概念
１．两直线的位置关系
（１）相交（有一个交点）
（２）平行（无交点）
☆
垂直是相交中的一种特例．
☆
三条直线相交有
1
< br>个或
3
个交点．
2
．邻补角（互补）
3
．对顶角（相等）
4
．垂直（
90o
）
5
．垂足（交点）
６．点
到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的
长度叫做，叫做点到直线的距离．
☆
所有的距离都是指垂直距离．
７．两
条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且
夹在这两条平行线间的线段的长度，叫
做这两条平行线的
距离．
８．命题：
判断一件事情的语句叫做命题．包括条件和结
论．一般写成＂如果……那么……＂的形式
．可分为真命题和
假命题．
你能找出左图中的邻补角、对
顶角吗？
二．基本性质
１．过一点有且只有一
条直线与已知直线平行．
（点可以在
直线上，也可以在直线外）
２．过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直．
３．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短．
（简单说成：垂线段最短．
）
４．
（平行的传递性）
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相
互平行．
即：如果
a∥b，b∥c
，那么
a∥c．
（平行的传递性）
☆
等式的传递性：若Ａ＝Ｂ，Ｂ＝Ｃ，则Ａ＝Ｃ．
☆
全等
(
相
似
)
三角形的传递性
６．两直线平行的条件（判定）
：
（１）同位角相等，两直线平行．
（２）内错角相等，两直线平行．
（３）同旁内角互补，两直线平行．
７．平行线的性质：
（１）两直线平行，同位角相等．
（２）两直线平行，内错角相等．
（
３）两直线平行，同旁内角互补．你能找出左图中的同
位角、内错角、同旁内角吗？
８．
（１）平移不改变图形的大小和形状．
（２）连接各组对应点的线段平行且相等．
第六章
平面直角坐标系
一．平面直角坐标系（直角坐标系）及其相关概念
（坐标原点）纵坐标横坐标
☆
有序数对：有顺序的两个数ａ与
ｂ组成的数对，叫做
有序数对．记作（ａ，ｂ）
．
☆
一般情况下：
（ａ，ｂ）≠（ｂ，ａ）
☆
点的坐标就是一个有序数对．
☆
原点Ｏ的坐标是（
0,0
）
,x
轴上的坐标是
(
ｘ，０
)
，ｙ
轴上的坐标为（０，ｙ）
．
二．用坐标表示平移
１．左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加．
２．上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减．
第七章
三角形
一．基本概念
１．三角形
２．多边形（凸、凹）
３．正多边形（各个角相等，各条边相等）
４．内角（简称为角，三角形、多边形的内角）
５．外角（三角形、多边形的外角）
６．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做
多边形
的对角线．
７．三角形的高（垂直，即
90o
）
、中线（线段相等）
、角平
分线（角相等）
二．基本性质
１．三角形的任意两边
之和大于第三边．
（判断任意三条线
段能否组成三角形的依据）
２．三角形具有稳定性．
３．ｎ边形的内角和为（ｎ－２）·180o；三角形的内角和
为
180o
，四边形的内角和为
360o
．
４．多边形的外角和为
< br>360o
．
５．
（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
和．
（２）三角形的一个外角大
于与它不相邻的任何一个内
角．
第八章
二元一次方程组
一．基本概念
１．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次
数都是一次的方程叫二元一次
方程．
２．二元一次方程组：把具
有相同未知数的两个二元一
次方程合在一起，就叫做二元一次方程组．
< br>
３．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相
等
的未知数的值，叫二元一次方程的解．
４．二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程
的公共解叫二元一次方程组的解．
二．解二元一次方程组的两种方法
1
．代入消元法（代入法）
：由二元一次方程组中的一个方
程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再
代入另一个方
程，实现消元，进而求得这个二元一次方程
组的解，这种方法叫做代入消元法．
２．加减消元法（加减法）
：两个二元一次方
程中同一未知
数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相
< br>减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种
方法叫做加减消元法．<
/p>
☆
如何消元更简单？
如果有一个未知数的系数是１，那么通常
情况下采用代入消元法；如果两个二元一次方
程中同一未知数的系
数相反或相等时，那么
通常情况下采用加减消元法．
第九章
不等式与不等式组
学习方法：学习本章要结合前面的等式、方程、方
程组进行对比学习
，注意知识之间的融会贯通，找出它们
之间的联系和区别．
一．基本概念
１．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）连接
的式子叫做不等式．
２．不
等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不
等式的解．
３．解的集合（解集）
：不等式的所有解组成的结合叫
做解的集合（解集）
．
４
．一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次
数是一次的不等式叫做一元一次不等式
．
５．
一元一次不等式组：把两个一元一次不等式合起
来，组成一个一元一次不等式组．
６．不等式组
的解集：几个不等式解集的公共部分，
叫做它们组成的不等式组的解集．
二．不等式的基本性质
１．不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）
，不
等号的方向不改变．
如果
a
＞
b
，那么
a±c
＞
b±c．
2
．
不等式
两边乘
(
或除以
)
同一个正数
,
不等号的
方向不改变
.
如果
a
＞<
/p>
b
，
c
＞
0,
那么
ac
＞
bc
（或
）
３．不等式两边乘
(
或除以
)
同一个负数
,
不等号的
方向要改变
.
如果
a
＞
b
，
c
＜
0,
那么
ac
＜
bc
（或
）
三．解不等式的一般步骤
去分母→去括号→移项→合并→化
系数为１（系数是负数时，不等号的方向要改变）
．
四．用不等式（组）解决实际问题的一般步骤
解设→找出不等量关系，列出不等式（组）
→求解不等式（组）→考虑问题的实际意义
→作答．
☆
到底是选择方程（组）还是选择不等式（组）解题，
主要是看是
否有以下关键词：
不能完成任务，提前完成任务；超过，不超过．
第十章
实
数
一．基本概念
1
．平方根：若ｘ２＝ａ，则称ｘ是ａ的平方根，记
作：ｘ＝±
；其中ｘ＝
叫做ａ算术平方
根，ｘ＝－
，叫做ａ的负的平方根．
＂
＂读做二次根号ａ，ａ叫做被开方数．
２．开平方：求一个数ａ的平方根的运算叫做开平
方．平方与开平方互为逆运算．
３．立方根：若ｘ３＝ａ，则称ｘ是ａ的立方根做：ｘ
＝
；＂
＂读做三次根号ａ，ａ叫
做被开方数．
3
叫做根指
数．
4
．
开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方．立方与
开立方互为逆运算．
算术平方根
(
１个
)
平方根
（２个）
立方根
(
１个
)
正数
正数
互为相反数
正数
０
０
０
０
负数
不存在
不存在
负数
５．无理数：无限不循环小数叫做无理数．它包括
正无理数和负无理数．
６．实数：有理数和无理数统称为实数．
（１）实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数
都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一
个点都表示一
个实数．
（２）有理数关于相反数
和绝对值的意义同样适合于实
数；在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质<
/p>
等同样适用．
二．实数的两种分类无限
不循环小数有限小数和无限循环
小数１．
２．
第十一章
一次函数
一．基本概念
1
．
常量：数值不发生变化的量．
2
．
变量：数值发生变化的量．
3
．
自变量（
x
）
；函
数（
y
）
；函数值；函数图象．
二．两种重要的函数
1
．正比例函数
y=kx
（k≠0）
它的图象是一条经过原点的直线．
⑴
当
k
＞
0
时，
图象过一、三象限；上升；
y
随
x
的增大而
增大．
⑵当
k
＜
0
时
，图象过二、四象限；下降；
y
随
x<
/p>
的增大而
减小．
2
．一次函数
y=kx+b
（k≠0）
⑴当
k
＞
0
时，
；上升；
y
随
x
的增大而增大．
⑵当
k
＜
0
时
，
；下降；
y
随
x
的增大而减小．
☆
当
b=0
时，一次函数就是正比例函数．
三．函数图象的平移
直线
y=kx+b
是由直线
y=kx
平移
︱
b
︱个单位长
度得到（当
b>0
时，向上平移；当
b<0
< br>时，向下平
移）
．
四．用函数观点看方程（组）与不等式
即用函数图象解方程（组）与不等式
１．解一元一次方程
把一元一次方程化为
ax
＋b=0(a≠0)的形式，把左边
看成一个一
次函数ｙ
=kx+b
，函数图象与ｘ轴的交点的横坐
标就是方程的解．
２．解二元一次方程组
一个二元一次方程对应一条直线，
一个二元一次方
程组就对应两条直线．两条直线的交点就是方程组的解
< br>（横坐标是ｘ的解，纵坐标是ｙ的解）
．
３．解不等式
把不等
式化为
ax+b>0
或
ax+b
<0
的形式
,
解不
等式可以看作
:
函数值大
(
小
)
于
0
时
,
求自变量相应的取值范
围
.
关键还是看函数图象与
x
轴交点的横坐标的值
.
五
.
常见题
型和做题方法
1.
常见题型
①怎样判断一个点是否在函数图象上？
②怎样判断一个图象是不是函数图象？
③正比例函数、一次函数的概念？
2.
做题方法
①
待定系数法求正比例函数、一次函数的解析式．
②
题目中说：某个点在函数图象上（函数图象经过某个
点）
，通常情况下需要把这个点的坐标代入函数的解析式．
第十二章
数据的描述
一．基本概念
１．频数：
（城市）个数．
２．频率＝频数÷总数．
（总数＝频
率×总数）
３．组数．
４．组距：前后两个端点的差叫做组距．
５．组中值：各个小组两个端点的平均数叫做组中值．
二．几种常见的统计图
要求：会作图、会看图（分析图）
．
１．条形图
特点：能够显示每组中的具体数据．
作图和看图时：需注意横轴、纵轴分别表示什么，条形图
中应该有几＂条＂．
２．扇形图
特点：能够显示部分在总体中所占的百分比．
作图和看图时：需要有图例，注意
扇形图中有几个扇
形，能求出各个扇形所对的弧长、圆心角的度数、扇形面
积．
Ｌ弧长＝圆周长×百分比
Ｓ扇形＝圆面积×百分比
圆心角＝360°×百分比
３．折线图