尖子生辅导高中数学
-
尖子生辅导
3.
2<
/p>
1
、
设
f
(
x
)
2
x
ax
bx
1
的导数为
f
(
x
)
，
若函数
y
f
< br>(
x
)
的图像关于直线
x
1
2
对称，且
f
(1)
0
．
（Ⅰ）求实数
a
,
b
的值
（Ⅱ）求函数
f
(
x
)
的极值
解：
（
I
）因
f
(
x
)
2
x
<
/p>
ax
bx
<
/p>
1,
故
f
(
x
)
6
x
2
ax
b
.
3
2
2
a
2
a
2
,
从而
f
(
x
)
6(
x
)
b
6
6
即
y
f
(
x
)
关于直线
x
< br>
a
a
1
对称，从而由题设条件知
,
解得
a
3.
6
6
2
又由于
f
(1)
0,
即
6
2
a
b
0,
解得
b
12.
（
II
）由
（
I
）知
f
(
x
)
2
x
3
x
12
x
1,
3
2
f
(
x
< br>)
6
x
2
6
x
12
6(
x
1)(
x
2).
令
f
(
x
)
0,
即
6(
x
1)(
x
2)
0.
解得
x
1
2,
x
2
1.
当
x
(
,
2)
时
,
f
(
x
)
0,
故
f
(
x
)
在
(
,<
/p>
2)
上为增函数；
当
x
(
2,1)
时
,
f
(
x
)
0,
故<
/p>
f
(
x
)
在
(
2,1)
上为减函数；
当
x
(1,
)
时
,
f
(
x
)
0,
故
f
(
x
)
在
(1,
)
上为增函数；
从而函数
f
(
x
)
在
x
1<
/p>
2
处取得极
大值
f
(
2
)
21,
在
x
2
1
处取
得极小值
f
(1)
< br>
6.
2
、
设
f
(
x
)
x
<
/p>
ax
bx
的导数
f
(
x
)
满足
f<
/p>
(
)
a
,
f
(
)
b
，
其中常数
a
,
< br>b
R
．
（
Ⅰ）求曲线
y
f
(
x
)
在点
(
,
f
(
))
处的切线方程；
（Ⅱ）
设
g
(
x
)
f
(
x
)
e
，求函数
g
(
x
)
的极值．
3
2
解：
（
I
）因
f
(
x
)
x
ax
bx
1,
故
f
(
x
)
3
x
2
ax
b
.
2
x
令
x
1,
得
f
(1)
3
2
a
b
,
由已知
f
(1)
2
a
,
因此
3
2
a
b
2
a
,
解得
b<
/p>
3.
1
2
a
4
b
由
,
已
知
< br>f
(2)
< br>
b
,
因
此
1
2
4
a
b
b
,
解
得
又
令
x
2
,
得
< br>f
(
2
)
3
a
.
2
因此<
/p>
f
(
x
)
x
3
3
3
2
5
x
3
x
1,
从而
f
(1)
又因为
f
(1)
2
(
)
3,
2
2
2
故
曲线
y
f
(
x
)
在点
(1
,
f
(1))
处的切线方程为
y
(
)
3
x
(
1
< br>即
)
,
x
6
y
2
1
2
x
5
2
0.
2
x
（
II
）由（
I
）知
g
(
x
)
(3
x
3
x
3)
e
，从而有
g
(
x
)
< br>(
3
x
9
x
)
e
.
2
令
g
(
x
)
0,
得
3
x
9
x
0,
< br>解得
x
1
0,
x
2
3.
当
x
(
,0)
时
,
g
(
x
)
0,<
/p>
故
g
(
x
)
在
(
,0)
上为减函数；
当
x
(0,3)
时
,
g
(
x
)
0,
故
g
(
x
)
在
(
0
,
3
)
上为增函数；<
/p>
当
x
(3,
)
时，<
/p>
g
(
x
)
0,
故
g
(
x
)
在
(3,
)
上为减函数；
从而函数
g
(
x
)
在<
/p>
x
1
0
处取得极小值
g
(0)
3,
在
x
2
3
处取
得极大值
g
(3)
< br>15
e
.
x
x
3
（上海理
< br>20
、文
21
）
已知函数
f
(
x
)
a
< br>2
b
3
，其中常数
a
,
< br>b
满足
ab
< br>0
．
3
⑴
若
ab
0
，判断函数
f
(
x<
/p>
)
的单调性；
⑵
若
ab<
/p>
0
，求
f
(
x
1)
f
(
x
)
时
x
的取值范围．
【解析】
⑴
<
/p>
当
a
0,
b
0
时，
因为
a
2
、
b
3
都单调递增；
所以函数
f
(
x
)
单调递增；
……
２分
当
a
0,
b
0
时，因为
a
2
、
b
3
都单调递减；所以函数
f
(
x
)
单调递减；………
４分
⑵
f
(
x
1)
f
(
x
)
a
2
2
b
3
0
< br>
（
i
）当
a
0,
b
0
时，
(
)
解得
x
log
3
(
2
x
x
x
x
x
x
3
2
x
a
，
………………………………
7
分
2
b<
/p>
a
)
；
<
/p>
………………………………
8
分
2
b
（
ii
）当
a
0,
b
0
时，
(
)
< br>
解得
x
log
3
(
2
3
2
x
a
，
………………………………
11
分
2<
/p>
b
a
)
．
………………………………
1
2
分
2
b<
/p>
已知函数
f
(
x
)
a
ln<
/p>
x
b
，曲线<
/p>
y
f
(
x
)
在点
(1,
f
(1))
处的切线方程为
x
2
y
3
0
。
x
1<
/p>
x
（Ⅰ）求
a
、
b
的值；
（
Ⅱ）证明：
x
0
，且
x
1
时，
f
(
x
)
ln
x
.
x
1
a
(
【解析】
（Ⅰ
）
f
'(
x
)
x
1
ln
x
)
b
x
(
x
1)
2
x
2
< br>f
(1)
1,
1
由于直线
x
2
y
< br>3
0
的斜率为
，且过点
(1,1)
，故<
/p>
1
即
2
f
'(1)
,
2
b
1,
a
1
解得
a
< br>
1
，
b
1
.
b
,
<
/p>
2
2
（Ⅱ）由
（Ⅰ）知
f
(
x
)
ln
x
1
，所以，
x
1
x
l
n
x
1
x
2<
/p>
1
f
(
x
)
(
2
ln
x
)
x
< br>
1
1
x
2
x
(
x
1
)
2
x
2
1
(
x
0)
则
h
(
x
)
设
h
(
x
)
2ln
x
x
2
x<
/p>
当
x
1
时，
h
(
x
)
0
，而
h
(
1
)
0
，故
1
h
(
x
)
0
1
-
x
2
1
h
(
x
)
0
当
x
< br>(1,
)
时，
h
(
x
)
< br>
0
得：
2
1
-
x
ln
x
ln
x
0
,
即
f
(<
/p>
x
)
从而当<
/p>
x
0
，且
x
1
时，
f
(
x
)
.
x
1
x
1
< br>当
x
(0,1)
时，
h
(
x
)
0
得：
< br>4
（陕西文
21
）
设
f
(
x
< br>)
ln
x
，
g
(
x
)
f
(
x<
/p>
)
f
(
x
)
．
（
1
）求
g
(
x
)
< br>的单调区间和最小值；
（
2<
/p>
）讨论
g
(
x<
/p>
)
与
g
(
)
的大小关系；
（
3
）求
a
的取
值范围，使得
g
(
a
< br>)
g
(
x
)
＜
1
x
1
对任意
x
＞
0
成立．
a
【分析】
（
1
）先求出原函数
f
(
x
)
，再求得
g
(
x
)
，然后利用导数判断函数的单调性（单
调区间）
，并求出最小值；
（
< br>2
）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调
< br>性，并由单调性判断函数的正负；
（
3
< br>）对任意
x
＞
0
成立的恒成立问题转化为函数
g
(
x
)
的
最小值问题．
【解】
（
1
）由题设知
f
(
x
)
ln
x
,
g
(
x
)
ln
x
< br>
∴
g
(
x
)
1
，
x
x
1
,
令
g
(
x
)
0
得
< br>x
=1
，
x
2
当
x
∈（
0
，
1
）
时，
g
(
x
)
＜
0
，
g
(
x
)
是减函数，故（
0
，
1
）是
g
(
x<
/p>
)
的单调减区间。
当
x
∈（
1
，
+
∞）时，
g
(
x
)
＞
0
，
g
(<
/p>
x
)
是增函数，故（
1
，
+
∞）是
g
(
x
)
的单调递增
区间，
因此，
x
=1
是
g
(
x
)
的唯一极值点，且为
极小值点，从而是最小值点，
所以
g
(
x
)
的最小
值为
g
(1)
1.
(2)
g
(
)
ln
x
x
1
x
(
x
1)
2
1
1
设
h
(
x
)
g
(
x
)
g
(
)
ln
x
x
，则
h
(<
/p>
x
)
，
2
x
x
x
当
x
1
时，
h
< br>(1)
0
，即
g
(
x
)
g
(
)
，
当
x
<
/p>
(0,1)
(1,
)
时，
h
(
x
)
0
，
因此
，
h
(
x
)<
/p>
在
(0,
)
内单调递减，
当
0
x
1
时，
h
(
x
)
h
(1)
0
即
g
(
x
)
g
(
).
（
3
）由（
1
）知
g
(
x
)
的最小值为
1
，所以，
1
x
1
x
g
(
a
)
g
(
x
)
1
1
，对任意
x
< br>
0
，成立
< br>g
(
a
)
1
,
a
a
即
Ina
1,
从而得
0
a
e<
/p>
。
)
上
，
f
(1)
0
5
（
陕
西
理
21
）
设
函
数
f
(
x
)
定
义
在
(
0
,
，
导
函<
/p>
数
f
(
x
)
1
，
x
g
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)<
/p>
．
（
1
）求
g
(
x
)
的单调区间和最小值；