小学奥数教案-第09讲-比的应用(教)
-
教师辅导讲义
学员编：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
②
进一步体会比的意义，感受比在生活中的广泛应用，提高解决问题的能力。
年
级：六年级
辅导科目：奥数
课
时
数：
3
教师：
第
09
讲
-
比的
应用
T
同步课堂
P
实战演练
S
归纳总结
①
能运用比的意义解决按照一定的比进行分配的实际问题；
授课日期及时段
T
（
Textbook-Based<
/p>
）
——
同步课堂
知识梳理
在学生学习了比与分数的联系，已掌握简单分数乘、除法应用题数量关系的基础上，把比
的知识应用于
解决相关的实际问题的一个课例，
掌握了按比分配
的解题方法，
不仅能有效地解决生活、
工作中把一个数量按
照一定的比进行分配的问题，也为以后学习
“
比例
”“
比例尺
”
< br>奠定了基础。
比是反映数量关系的一种常见形式，也是
解数学题的一种重要工具，有了它，我们处理倍数关系、解答
分数应用题就方便灵活得多
。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用题。
典例分析
考点一：简单的数比的应用
我们已经
学过比的知识，
都知道比和分数、
除法其实是一回事，
所有比与分数能互相转化。
运用这种方法
解决一
些实际问题可以化难为易，化繁为简。
例
1
、
甲数是乙数的
2/3
，乙数是丙数的
4/5
，甲、乙、丙三数的比是（
）
：
（
）
：
（
）
。
【解析】甲、乙两数的比
：
2
：
3
乙、丙两数的比
：
4
：
5
甲、乙、丙三数的比
8
：
12
：
15
答：甲、乙、丙三数的比是
8
：
12
：
15
。
例
2
、
光明小学将五年级的
140
名学生，
分成三个小组进行植树活动，
< br>已知第一小组和第二小组人数的比是
2
：
3
，第二小组和第三小组人数的比是
4
：
5
。这三个小组各有多少人？
【解析】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
< br>
①一、二两组人数的比
2
：
3
二、三两组人数的比
4
：
5
一、二、三组人数的比
8
：
12
：
15
②总份数：
8+12+15
＝
35
③第一组：
140×
8/35
＝
32
（人）
④第二组：
140×
12/35
＝
48
（人）
⑤第三组：
140×
15/35
＝
60
（人）
答：第一小组有
32
人，第二小组有
48
人，第三小组有
< br>60
人。
< br>例
3
、
甲、乙两校原有图书本数
的比是
7
：
5
，如果甲校给乙校
650
本，甲、乙两校图书本数的比就是
3
：
4
。
原来甲校有图书多少本？
【解析】由甲、乙两
校原有图书本数的比是
7
：
5
可知，原来甲校图书的本数是两校图书总数的
甲校给了乙校
650
本，这时甲校的图书占两校图书总数的
总数的
7
，由于
7
5
3
，甲校给乙校的
< br>650
本图书，相当于两校图书
3
4
7
3
1
3
－
＝
。即：
7
5
3
4
84
7
3
7
650÷
（
－
）
×
＝<
/p>
2450
（本）
7
5
3
4
7
5
答：原来甲校有图书
2450
本。
例
4
、
从前有个农民，
临死前留下遗言，要把
17
头牛分给三个儿子，其中大儿子分得
1/2
，二儿子分得
1/3
，
小儿子分得
1/9
，但
不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把
1
7
头牛分完了，你知道这到底是怎么回事吗？
【解析】因为
1/2+1/3+1/9
＝
17/18
，
17/18
﹤
1
，就是说三兄弟并未将全部牛分完，所以我们求出三个儿子分
牛
头数的连比，最后再按比例分配。
①
三个儿子分牛头数的连比：
1/2
：
1/3
：<
/p>
1/9
＝
9
：<
/p>
6
：
2
②
总份数：
9+6+2
＝
17
③
三个儿子各分得牛的头数：
17×
9/17
＝
9
（头）
17×
6/17
＝
6
（头）
17×
2/17
＝
2
（头）
答：大儿子分得
< br>9
头，二儿子分得
6
头，小儿子
分得
2
头。
例
5
、
两个相
同的瓶子装满酒精溶液。
一个瓶中酒精与水的体积之比是
3
：
1
，
另一个瓶中
酒精与水的体积之比
是
4
：
1
。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是多少？
【解析】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子
容积的几分之几再解答。
①
一个瓶中酒精占瓶子容积的比：
3/<
/p>
（
1+3
）＝
3/4
②
另一个瓶中酒精占瓶子容积的比：
4/
（<
/p>
1+4
）＝
4/5
③
两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比：
3/4+4/5
＝
31/20
④
水占一个瓶子容积的比：
2
－
31/20
＝
9/20
⑤
混合液中酒精与水的比
31/20
：
9/20
＝
31
：
9
答：混合液中酒精与水的比是
31
：
9
。
考点二：用比解应用题
比是反
映数量关系的一种常见形式，
也是解数学题的一种重要工具，
有
了它，
我们处理倍数关系、
解答分
数应
用题就方便灵活得多。
例
1
、
甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走
1/
5
的路，而乙走的时间比甲少
1/11
，求甲、乙两人速度的比。
【解析】因为
速度＝路程
÷
时间，所以，甲、乙速度的比＝
（
1
）甲、乙路程的比：
（
1+1/5
）
：
1
＝
6
：
5
（
2
）甲、乙时间的比：
1
：
< br>（
1
－
1/11
）＝
11
：
10
（
3
）甲、乙速度的比：
6/11
：
5/10=12
：
11
答：甲
、乙速度的比是
12
：
11
。
例
2
、
制造一个零件，甲需
6<
/p>
分钟，乙需
5
分钟，丙需
4.5
分钟。现在有
1590
个零件的制造任务分配给他们三
个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个
零件？
【解析】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，
工作总量的比等于工作效率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比：
1/6<
/p>
：
1/5
：
1/
1.5
＝
15
：
18
：
20
总份数
：
15+18+20
＝
53
甲
：
1590×
15/53
＝
450
（个）
甲路程
乙路程
：
甲时间
乙时间
乙：
1590×
18/53
＝
540
（个）
丙：
1590×
20/53
＝
600
（个）
答：甲
、乙、丙分配到的零件分别是
450
个、
540
个、
600
个。
例
3
< br>、
两个服装厂一个月内生产服装的数量是
6
：
5
，两厂西服价格的比是
11
：
10
。已知两厂这个月内总产值
为
6960
万元。两厂的产值各是多少
万元？
【解析】因为产值＝价格
×<
/p>
产量，所以
甲产值：乙产值＝（甲价格
×
甲产量）
：
（乙价
格
×
乙产量）
两厂的产值比为：
（
11×
6
）
：
（
10×
5
）＝
66
：
50
甲厂产值为：
6960×
66/
（
66+50<
/p>
）＝
3960
（元）
乙厂产值为：
6960×
50/
（
66+50
）＝
300
0
（元）
答：两厂的产值分别是
3960
万元和
3000
万元。
例
4
、
A
、
B
两种商品的
价格比是
7
：
3
。如果它们的价格分别上涨
70
元，它们的价格比就是
7
：
4
，这两种商<
/p>
品原来的价格各是多少元？
【解析】解
法一：因为
A
、
B
两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变，
所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝
7
：
3
＝
2
1
：
9
现价格比＝
7
：
4
＝
2
8
：
16
【这样前后项的差都是
12
，价格涨了（<
/p>
28
－
21
）＝
7
份，是
70
元】
70÷
（
28
－<
/p>
21
）＝
10
元
A
：
10×
21
＝
210
（元）
B
：
10×
9
＝
90
（元）
解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单
位
“1“
进行解答。
（
1
）原来
A
商品的几个是价格差的几倍
7÷
（
7
－
3
）＝
7/4
（
2
）后来
A
商品的价格是价格差的
几倍
7÷
（
7
－
4
）＝
7/3
（
3
）
A
、
B
两种
商品的价格差是
70÷
（
7/3
－
7/4
）＝
120
（元）
（
4
）原来
A
商品的价格是
120
÷
（
7
－
3<
/p>
）
×
7
＝
210
（元）
（
5
）
原来
B
商品的价格是
120
÷
（
7
－
3<
/p>
）
×
3
＝
90
（元）
答：<
/p>
A
、
B
两种商品
原来的价格分别是
210
元和
90
元。
例
5
、
如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲
地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是
1
：
< br>2
。王刚以每小时
4
千米的速度
从甲地步行到丙地，李华同时以每小时
10
千米的速度从乙地骑
自行车去丙地，他比王刚早
1
小
时到达
丙地。甲、乙两地相距多少千米？
【解析】
< br>解法一：
根据路程的比和速度的比求出时间的比，
从而求
出王刚和李华所用的时间，
再求出各自所走
的路程。
王刚和李华所用时间的比
1/4
：
2
/10
＝
5
：
4
王刚所用的时间
1÷
（
5<
/p>
－
4
）
×
5
＝
5
（小时）
甲地到丙地的路程
4×<
/p>
5
＝
20
（千米
）
甲、乙两地的路程
20×
（
1+2
）＝
60
（千米）
解法二
：如果李华每小时行
4×
2
＝
8
千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行
< br>10
－
8
＝
2
千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了
10×
1
＝
10
千米。据此，可求出王刚从甲
地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间
10 ×
1÷
（
10
－
4×
2
）＝
5
（小
时）
甲、乙两地的路程
4×
5×
（
1+2
）＝
60
（千米）
解法三
：如果王刚每小时行
10÷
3
＝
5
千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚走完甲地到丙地
的路程，用每小时
4
千米的速度和每小时
5
千米的速度相比，所用的时间相差
1
小时。再根据
1
千米的路程，
两种速度所用的时间相差
1/4
< br>－
1/5
＝
< br>1/20
小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程
1÷
（
1/4
－
1/
（
10÷
÷
2
）＝
< br>20
（千米）
甲、乙两地的路
程
20×
（
1+2
）＝
60
（千米）
答：甲、乙两地相距
60
千米。
P
(Practice-
Oriented)
——
实战演练
实战演练
课堂狙击
1
、甲数是乙数的
4/5
，乙数是丙数的
5/8
，甲、乙、丙三数的比是（<
/p>
）
：
（
）
：
（
）
。
【解析
】因为甲数：乙数
=4
：
5
，
乙数：丙数
=5
：
8
；
所以甲：乙：丙
=4
：
5
：
8
；
故答案为：
4
：
5
：
8
2
、某农
场把
61600
公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是<
/p>
7
：
2
，棉田与
其他作物面积的比
6
：
1
。每种
作物各是多少公亩？
【解析】因为棉田
=7
：
2=21<
/p>
：
6
，棉田：其他作物
< br>=6
：
1
，所以粮田：棉田：其
他作物
=21
：
6
：
1
；
所以粮田的面积为：
61600÷
（
21+6+1
）
×
21
=61600÷
28×
21
=2200×
21
=46200
（公亩）
棉田：
61600÷
（
21
+6+1
）
×
6
=2200×
6
=13200
（公亩）
其它作物：
61600÷
（
21+6+1
）
×
1=2200
（公亩）
。
答：粮
田的面积是
46200
公亩，棉田的面积是
13200
公亩，其他作物的面积是
2200
公亩。
1
1
3
、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳
多
，小芳用的时间比小明多
。求小明和小芳速度的比。
5
8
1
【解析】小明与小芳路程的比是（
1+
）
：
1
＝
6
：
5
5
1
小明与小芳时间的比是
1
：
（
1+
）＝
8
：
9
8
6
5
小明与小芳速度的比是：
：
＝
27
：
20
8
9
4
、加工一个零件，甲需
3
分钟，乙需
3.5
分钟，丙需
4
分钟。现在有
1825
个零件需要甲、乙、丙三人加工。
如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？
1
1
1
【解析】甲、乙、
丙效率的比是
：
：
＝
28<
/p>
：
25
：
21
3
3.5
4
总份数：
28+25+21
＝
73
28
甲应加工的个数：
1825×
＝
700
个
73
25
乙应加工的个数：
1825×
＝
600
个
73
21
丙应加工的个数：
1825×
＝
525
个
73
5
、两块
一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是
2
：
< br>5
，另一块合金中铜与锌的比是
1
：
3
。现将两块合金合成
一块，求出
锌合金中铜与锌的比。
【解析】铜与锌的比是
2:5
的合金中
,
含铜
=2/
（
2+5
）<
/p>
=2/7
；
即
铜的质量是合金的
2/7
。