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2021年2月21日发(作者：星尘龙)

等比数列教案

――

经典

《等比数列》教学设计

（共

2

课时）

第一课时

1

、

创设情境，提出问题

（阅读本章引言并打出幻灯片）

情境

1

：本章引言内容

提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？

引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

< br>1

，

2

，

2

2

,

2

3

,

2

4

,

……，

2

63

（

1

）

2

3

63

1+

2

+

2

+

2

+



+2

于是发明者要求的麦粒总数是

情境< /p>

2

：某人从银行贷款

10000

元人民币，年利率为

r

，若此人一年后还款，< /p>

二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？

10000(1+r),10000

(

1



r

)

2< /p>

,10000

(

1



r

)

3

,

……

（

2

）

情境

3

：将长度为

1

米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所

得

的

木

棒

继

续

取

其

一

半

，

…

…

< br>各

次

取

得

的

木

棒

长

度

依

次

为

多

少

？

1

1

1

,

,

,

……

（

3

）

2

4

8

1

问：你能算出第

7

次取一半后的长度是多少吗？ 观察、归纳、猜想得

(

)

7

< p>

2

2

、

自主探究，找出规律：

学生对数列（

1

），（

2

< p>
），（

3

）分析讨论，发现共同特点：从第二项起 ，每

一项与前一项的比都等于同一常数。

也就是说这些数列从第 二项起，

每一项与前

一项的比都具有“相等”的特点。于是得到 等比数列的定义：

一般地，

如果一个 数列从第二项起，

每一项与它的前一项的比等于同一个常

数，< /p>

那么这个数列叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，

公比常用字母

q

(

q



0

)

表示 ，即

a

n

:

a

n



1



q

(

n



N

,

n



2,

q



0)

。

如数列（

1

< p>
），（

2

），（

3

）都是等比数列，它们的公比依次是

2

，

1+r,

1

2< /p>

点评：

等比数列与等差数列仅一字之差，

对比知从

第二项起

，

每一项与前一

项之“

差

”为

常数

，则为等差数列，之“

比

”为

常数

，则为等比数列，此常数称

为“公差”或“ 公比”。

1

/

6

等比数列教案

――

经典

3

、

< br>观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等 比数列，若是，找出公比，若不是，说出理

由，然后回答下面问题：

1

，

3

，

9

，

27

， ……

1

1

1



1

,



,



,



,

……

2

< p>
4

8

1

，

-2

，

4

，

< br>-8

，……

-1

，

-1

，

-1

，

-1

，……

< p>
1

，

0

，

1

，

0

，……

思考

：①公比

q

< p>
能为

0

吗？为什么？首项能为

0

吗？

②公比

< br>q



1

是什么数列？

< p>

③

q



0

数列递增吗？

q



0

数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差

d

可以取任意实数，所以学生对公比

q

往 往忘

却它不能取

0

和能取

1

的特殊情况，

以致于在不为具体数字

（即为字母运算）

时

不会讨论以上两种情况，故给出 问题以揭示学生对公比

q

有防患意识，问题

③

是

让学生明白

q



0

时等比数列的单调性不定，而

q



0

时数列为摆动数列，要注意

与等差数列的区别。

备选题：已知< /p>

x



R

则

x

,

x

2

< p>
,

x

3

,

……

x

n

，……成等比数列的 从要条件是什么？

4

、

观察猜想，求通项：

方法

1

：由定义知道

a

2



a

1

< br>q

,

a

3



a

2

q



a

1

q

2

,

a

4



a

3

q



a

1

q

3

< br>,

……归纳得：等

比数列的通项公式为：

a

n



a

1

q

n



1

(

n



N< /p>



)

（说明：推得结论的这一方法称为

归纳法

，不是公式的证明，要想对

这一方式的结论给出严格的证明，

需在学习数学归纳法后完成，

现阶

段我们只承认它是正确的就可 以了）

方法

2

：迭代法

2

/

6

等比数列教案

――

经典

根据等比数列的定义有

a

< p>
n



a

n



1



q



a

n



2



q

2

< /p>

a

n



3



q

3



< p>
……



a

2



q

n



< br>2



a

1



q

n



1

方法

3

：由 递推关系式或定义写出：

a

a

a

2

a



q

< p>
,

3



q

,

4



q

,

……

n



q

，通过观

a

1

a

2

a

3

a

n



1

察发 现

a

a

2

a< /p>

3

a

4

•

•

•

……

n



q



q



q

……

q



q

n



1

a

1

a

2

a

3

a< /p>

n



1



a

n



q

n



1

，即：

a

n



a

1

q

n



1

(

n

< br>

N



)

a

1

（此证明方法称为“

累商法

”，在以后的数列 证明中有重要应用）

公式

a

n



a

< p>
1

q

n



1

(

n



N



)

的特征及结构分析：

（

1

）

公式中有四个基本量：

a

1

,

n

,

q

,

a

n

，可“知三求一”，体现方 程思想。

（

2

）

a

1

的下标与的

q

n



1

上标之 和

1



(

n< /p>



1

)



n

，恰是

a

n

的下标，即

q

的指数比

项数少

1

。

5

、

问题探究：通项公式的应用

< /p>

例、已知数列



a

n



是等比数列，

a

3





2

,

a

8



64

，求

a

14

的值。

4

4

备选题：已知数列



a

n

< p>


满足条件：

a

n



p

(

)

< p>
n

，且

a

4





。求

a

8

的值

5

< br>25

6

、课堂演练：教材

138

页

1

、

2

题

备选题< /p>

1

：已知数列



a

n



为等比数列，

< br>a

1



a

3



10

,

a

4



a

6< /p>



5

，求

a

4

的值

4

备选题

2

：公差不为

0

的等差数列

< p>


a

n



中，

a

2

,

< br>a

3

,

a

6

依次成等比数列，

则公比等于

7< /p>

、

归纳总结：

（

1

）等比数列的定义，即

< p>
a

n



q

n



1

(

q



0

)

a

1

（< /p>

2

）等比数列的通项公式

a

n



a

1

< br>q

n



1

(

n



N



)

及推导过程。

选作：

1

、已知数列



a

n

< br>

为等比数列，且

a

1



a

2



a

3



7,

a

1

a

2

a

3



8

，求

a

n

2

、已知数列



a

n



满足

a

1



1,

a

n



1



2< /p>

a

n



1

3

/

6

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