等比数列及数列中的解题方法
-
英杰教育一对一
英杰教育学科教师辅导教案
审查组长：
学员编号：
年
级：高
一
课
时
数：
3
课时
学员姓名：
辅导科目：数
学
学科教师：
授课主题
数列的概念与等差数列
1
、理解并掌握等比数列的通项公式，前
n
项
和公式．
教学目的
2
、会灵活运用等比中项
,
会
用构造新数列法求通项公式，
3
、掌
握递推公式法、倒序相加法、列项相消法、错位相减求数列的前
n
项和；
教学重点
授课日期及时段
< br>构造新数列法；数列的前
n
项和求法
教学内容
一、
等比数列
1
、高考考点
（
1
）
等比数列的概念（
2
）等比数列的通项公式
与前
n
项和的公式
考试要求
（
1<
/p>
）掌握等比数列的通项公式与前
n
项和的
公式
（
2
）
能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；
< br>（
3
）了解等比数列与指数函数的关系
< br>.
2
、知识梳理
等比数列
定义
a
n<
/p>
1
q
或
a
n
1
2
a
n
a
n
2
a
n
注意；
a
n
0,
q
0.
通项公式
前
n
项和公式
a
n
a
1
q
n
1
a
m
q
n
m
< br>
na
1
,
q
1,
S
n
a
1
(1
<
/p>
q
n
)
注意
q
含字母讨论
1
q
,
q
1.
若
m
n
s
t
(
m
,
n
,
s
,
t
N
)
,
则
a
m
a
n
a
s
a
t
.
*
简单性质
1
英杰教育教务部
英杰教育一对一
3
、
等比数列重要结论
（
1
）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同
一个常数，那
么这个数列就叫做等比数列
.
这个常数叫做等比数列的公比；
公比通常用字母
q
表示
（
q
≠
0
）
，
即：
a
n
a
=
< br>q
（
q
≠
0
）
｛
a
n
｝成等比数列
n
1
=
q
（
n
N
<
/p>
,
q
≠
0
）
a
n
a
n
1
“从第二项起”与“前一项”之比为常数
(q
，
q
≠
0)
隐含：任一项
a
n
0
且
q
0
q= 1
时，
{a
n
}
为常数
< br>
a
a
例
下面四个数列：
< br>（
1
）
1
，
1,2,4,8,16,32,64
；
（
2
）
在数列
a
n
中，
2
=2,
3
=2
；
（
3
）
常数列
a,a,a,...
；
a
1
a
2
（
4
）在数列
a
n
中，
a
n
=q
；其中是等比数
列的有
a
n
1
（
2
）既是等差又是等比数列的数列
：非零常数列．
<
/p>
（
3
）等比定理：
q=
a
a
2
a
3
a
4
a<
/p>
a
3
a
4
...
a
n
=
=
=...=
n
=
2
a
1
a
2
a
3
a
n
1
a
1
a
2
a
3
<
/p>
...
a
n
<
/p>
1
（
4
）等比数列基本量的求法：
a
1
和
q
是等比数列的基本量
，只要求出这两个基本量，其他量
便可求出。——
q
n
m
a
n
a
a
;
q
n
m
n
；
q=
n
1
a
m
a
m
a
n
a
1
n
q
,
< br>与指数函数
y
q
x
类似，可借助指数
q
（
5
）等比数列与指数函数：
a
n
a
1
q
n
< br>
1
，即
a
n
函数的图像和性质来研究
4
、
典型例题讲解
例
1
等比数列
{
a
n
}
的
前
n
项和为
s
n
，已知
S
1
,
S
3
,
S
2
成等差数列
（
1
）求
{
a
n
}
的公比
q
；
（
2<
/p>
）求
a
1
－
a
3
＝
3
，求
s
n
解：
（Ⅰ）依题意有
a
1
(
a
1
a
1
q
)
2
(
a
< br>1
a
1
q
a
1
q
2
)
由于
a
1<
/p>
0
，故
2
q
2
q
0
2
英杰教育教务部
英杰教育一对一
1
又
q<
/p>
0
，从而
q<
/p>
－
2
1
2
（
）
3
故
a
1
4
< br>（Ⅱ）由已知可得
a
1
a
1
2
1
n
（
4
1
（
）
）
8
1
n
2
从而
S
n
（
1
（
）
）
1
3
2
1
（
< br>）
2
例
2
已知
{
a
n
}
是公比
为
q
的等比数列，且
a
m
,
a
m
2
,
a
m
1
成等差数列
.
（
1
）求
q
的值；
（
2
）设数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
，试判断
S
m
,
S
< br>m
2
,
S
m
1
是
否成等差数列？说明理由
.
解：
（
1
）依题意
，得
2a
m+2
=
a
m+1
+ a
m
∴
2a
1
q
< br>m+1
=
a
1
q
m
+
a
1
q
m
–
1
在等
比数列
{a
n
}
中，
a
1
≠
0
，
q
≠
0<
/p>
，
∴
2q
2
=
q +1
，解得
q =
1
或
.
（
2
）若
q
= 1
，
S
m
+
S
m+1
= ma
1
+ (m+1) a
1
=(2m+1)
a
1
，
S
m
+ 2
= (m+2) a
1
<
/p>
∵
a
1
≠
0
，∴
2S
m+2<
/p>
≠
S
m
+
S
m+1
1
1
(
)
m
2
1
2
1
1
2
< br>若
q
=
，
S
m
+ 1
=
(
)
m
1
2
3
6
2
1
(
)
2
1
1
1
< br>(
)
m
1
(
)
m
1
4
2
1
1
4
1
1
2
2
S
m
+
S
m+1
=
[(
)
m
(
)
m
1
]
=
(
)
m
1
1
3
3
2
< br>2
3
3
2
1
(
)
1
(
)
2
2
1
2
∴
2
S
m+2
= S
m
+ S
m+1
故当
q =
1
时，
S
m
, S
m+2
,
S
m+1
不成等差数列；
当
q =
时
，
S
m
,
S
m+2
,
S
m+1
成等差数列
.
【变式】
已知等比数列
1
，
x
1
< br>，
x
2
，„，
< br>x
2n
，
2
，求
x
1
·
x
2
·
x
3
·„·
x
2n
．
解
∵
1
，
x
1
，
x
2
，„，
x
2n
，
2
成等比数列，公比
q
∴
2
＝
1
·
q
2n+1
x
1
x
2
x
3
„
x
2n
＝
q
·
q
2
·
q
3
„
q
2n
=q
1+2+3+
„
+2n
=
q
2n(1+2n)
2
1
2
q
n
(<
/p>
2
n
1
)
2
n
3
英杰教育教务部
英杰教育一对一
【例3】
等比数列
{a
n
}
中，
(1)
已知
a
2
=
4
，
a
< br>5
＝－
1
，求通项公
2
式；
(2)
已知
a
3
·
a
4
·
a
5
＝
8
，求
< br>a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
的值．
解
(1)a
5
=
a
2
q
5
2
∴
q
=
－
1
2
1
1
∴
a
n
＝
a
2
q
n
< br>
2
＝
4(
－
)
n
2
＝
(
)<
/p>
n
4
2
2
3
(2)
∵
a
3
·
a
5
＝
a
2
4
a
3
·
a
4
·
< br>a
5
＝
a
4
=
8
∴
a
4
＝
2
又
a
2
a
6
＝
a
3
a
5
＝
a
< br>2
4
∴
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
=
a
=
32
【课堂练习】
5
4
1
、已知数列
1
,
a
1
,
a
2
,
4
成等差数列
,
1<
/p>
,
b
1
,
b
2
,
b
3
4
成等比数列，则<
/p>
A
、
1
1
1
1
1
B
、
—
C
、
或
—
D
、
2
2<
/p>
2
2
4
a
2
a
1
的值为
( )
b
2
2
、等比数列
{
a
n
}
中
，
a
1
1
，公比
q
1
，若
a
m
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
，则
m
< br>=
（
）
A
、
9
B
、
10
C
、
11
D
、
12
3
、已知
{
a
n
}
是等比数列，且
a
< br>n
0
，
a
2
a
4
2
a
3
a
5
a
4
a
6
25
，那么
a
3
a
5
（
）
A
．
10
B
．
15
C
．
5
D
．
6
4<
/p>
、设
{
a
n
}
是正数组成的等比数列，公比
q
2
，且
a
1
a
2
a
3
a
30
< br>
2
30
，那么
a
3
a
6
a
9
a
30
（
）
A
．
2
10
B
．
2
20
C
．
2
16
D
．
2
15
5
、等比数列
{
a
n
}
中，
a
n
0,
a
1
,
a
99
为方程
x
2
10
x
16
0
的两根，则
a
20
a
50
a
80
的值为（
）
A
.32
B
.64
C
.256
D
.
64
6
、等比数列
a<
/p>
n
的各项均为正数，且
a
5
a
6
a
4
a
7
＝
18
，则
log
3
a
1
log
3
a
2
lo
g
3
a
10
＝
(
)
A
．
12
B
．
10
C
．
8
D
．
2
＋
log
3
5
7
、
S
n
是公差不为
0
的等差
a
n
的前
n
项和，且
S
1
,
S
2
,
S
4
成等比数列
，则
A. 4 B. 6
C.8 D.10
8
、等比数
列
{
a
n
}<
/p>
的首项为
1
，公比为
q
，前
n
项的和为
S
，由原数列各项的倒数组成一个新数列
4
英杰教育教务部
a
< br>2
a
3
等于
（
）
a
1
英杰教育一对一
< br>1
1
{
}
，由
{
}
的前
n
项的和是（
）
a
n
a
n
1
A
．
5
q
n
1
S
B
．
n
C
．
n
1
D
．
S
q
S
q
9
、公差不为零的等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
a
4
是
< br>a
3
与
a
7
的等比中项，
S
10
60,
则
S
8
等于
（
）
A
、
28
B
、
32
C
、
36
D
、
40
10
、已知等比数列
{an }
的公比为
2
，前
4<
/p>
项的和是
1
，则前
8
项的和为
（
）
A
．
15
B
．
17
C
．
19
D
．
21
二
、专题
:
构造新数列求递推数列通项
1.
求由
a
n
pa
n
<
/p>
1
f
(
n
)
确定的数列通项公式
例
1
已知
{
a
n
}
满足
a
1
<
/p>
3
,
a
n
1
2
a
n
1
,
n
N
*
，求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式
.
例
2
(2
008
湖北理科第
21
题
)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
,
a
n
1
求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
解
令
a
n
1
A
(
n
1
)
<
/p>
B
即
a
n
1
2
(
a
n
An
B
)
< br>,
其中
A
,
B
为待定系数
.
3
2
1
1
2
< br>
a
n
An
A
B
.
又
a
n<
/p>
1
a
n
n
4
,
n
N
*
,
则解得
A
3
,
B
21
.
3
3
3
3
2
a
n
<
/p>
n
4
,
n
N
*
.
其中
为常数
.
3
由此可得数列
{<
/p>
a
n
3
n
21
}
为等比数列
.
2
2<
/p>
则
a
n
3
n
21
(
a
1
3
21
)
(
)
n
1
,
化简得
a
n
(
18
)
(
)
n
1
3
n
21
.
3
3
2
故数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
(
18
)
(
)
n
1
< br>3
n
21
,
n
N
*
.
3
5
英杰教育教务部
英杰教育一对一
【练习】
1
已知数列
，其中
，求通项公式
。
2
数列
{
a
n
}
中，若
a
1
=6,
a
n+1
=2a
n
+1,
求数列
{
a
n
}
的通项公式
2
、构造
形如
b
n
a
n
1
a
n
的数列（累加法）
a
2
a
1
f
(1
)
若
a
n
<
/p>
1
a
n
f
(
n
)
(
n
2)
，则
a
3
a
2
f
(2)
a
n
1
a
n
f
(
n
)
两边分别相加得
a
< br>n
1
a
1
f
(
n
)
k
1
n
例
3
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n
1
a
n
2
n
1
得
a
n<
/p>
1
a
n
2
n
1
则
a
n
(
a
n
a
n
1
)
<
/p>
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
3
a
2
)
(
a
2<
/p>
a
1
)
a
1
[2(
n
1)
1]
[2(
n
2)
1]
(2
2
1)
(2
1
1)
1
2[(
n
1)
(
< br>n
2)
2
1]
(
n
1)
1
(<
/p>
n
1)
n
2
(
n
1)
1
2
(
n
1)(
n
1)
1
< br>
n
2
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
n
。
例
4
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
满足
a
n
1
a
n
2
3
1
，
a
< br>1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解法一：由
a
n
1
a
n
2
3
1
< br>得
a
n
1
a
n
2
3
1
则
n
n
n
2
6
英杰教育教务部
英杰教育一对一
a
< br>n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
< br>
(
a
3
a
2
)
(
a
2
a
1
)
a
1
(2
3
n
1
1)
< br>(2
3
n
2
1)
(2
3
2
1)
(2
3<
/p>
1
1)
3
2(3
n
1
3
n
2
3
2
< br>
3
1
)
(
n
1
)
3
3(1
3
n
1<
/p>
)
2
(
n
1)
3
1
3
3
n
< br>
3
n
1
3
3
n
n
1
所以
a
n
3
n
n
1.
【练习】
练习：
1
）数列
{
a
n
}
中，若
a
1
=1
，
a
n+1
-a
n
=2n,
求通项
a
n.
2
数列
{
a
n
}
中，若
a
1
=1
，
a
n+1
-a
n
=2
n
,
求通项
a
n.
3
数列
{
a
n
}
中，若
a
1
=2
，
a
n
1
<
/p>
a
n
2
n
n
，求通项
a
n.
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英杰教育一对一
3
< br>、构造形如
b
n
a
n
1
< br>的形式（累积法）
a
n
例：数列
{
a
n
}
中，若
a
1
=1
，
(
n
1
)<
/p>
a
n
1
na
n
，求
a
n.
解：由
(
n
1
)
a
n
1
na
n
得：
a
n
< br>1
n
a
n
n
1
∴
a
a
a
2
1
a
n
1
2
3
< br>
，
3
，
4
，„
n
a
1
2
a
2
3
a
3
4
a
n
1
n
a
n
1
a
1
n
用累乘法把以上各式相乘得：
∴
a
n
1
。
n
练习：数列
{
a
n
}
中，若
a
1
=2
，
a
n
2<
/p>
n
a
n
，求
a
n.
【能力拓展】
已知数列
{
a
n
< br>}
满足
a
n
1
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式。
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