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2021年2月21日发(作者：庞然大物的庞是什么意思)

穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例

摘要：

本文通过阐述穿根法解不等式 的原理、步骤和应用范例，尝

试对其进行系统性的论述。

在原理 层面，

提出该方法中不等式的

标准形式为

f(x)=(x-x

1

)(x-x

2

)

……

(x-x

n

)

∨

0

， 规范了序轴的概

念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了

< br>f(x)

的

符号变化规律，

并介 绍如何使用穿根法表达此规律；

在步骤层面，

对解高次不等式、

分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了

分类详述；

然后通过

6

个应用范例，

进一步展现了穿根法解不等

式的具体操作细节和若干注意事项。

论文最后概括说明了穿根法

的特征和实用意义。

关键词：

穿根法；解不等式；原理； 步骤；应用

穿根法，又称序轴标根 法，是解一元整式、分式不等式的重要

通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于 主流地位。然而，

该方法目前尚未进入中学正式教材，

在很多资 料中，

对此法也往往是

只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清， 建构模糊。现结合中学一线

教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行 系统性

的论述。

一、

原理

穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：

< br>f(x)=(x-x

1

)(x-x

2

)

„

(x-x

n

)>0

（或

<0

）

的标准形式，主要考察

f(x)

的符号 规律。

在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线 ，类似

于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上

标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。

（一）

一

次不等式

标准形式：

f(x)=x-x

1

>0

（或

<0

）

我们将

x-x

1=

0

的根

x

1

标在序轴上，可以发现：

x

1

右边的 点都是

大于

x

1

的点，即是

x-x

1

>0

< p>
的解；而

x

1

左边

的点都是小于

x

1

的 点，即是

x-x

1

<0

的解。

所以可以如图标注，图中

+

、

-

用以表示

f(x)=x-x

1

的符号。

我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点

x=a

从

x

1

右侧

向

x

1

左侧移动时，< /p>

f(x)=x-x

1

经历了由正到

0

又到负的符号变换。

由此

< br>也可得出

f(x)

的符号可以如图标注的结论。

（二）

二

次不等式

标准形式：

f(x)=(x-x

1

)( x-x

2

) >0

（或

<0

）

(1) x

1

≠

x

2

时，不妨设

x

< br>1

2

将

f(x )=0

的二根

x

1

、

x

2

标在序轴上，

则可以发现：

处于

(-

∞< /p>

, x

1

)

，< /p>

(x

2

,+

∞< /p>

)

内的点满足

f(x) >0

< p>
，处于

(x

1

,x

2

)

内的点满足

f( x) <0

。

当我们动态考察该问题 时，我们也可以发现：当点

x=a

在

x

2

右

方时，

x -x

1

、

x-x

2

均正，故有

f(x) >0

；而当 点

x=a

从

x

2

右侧移动到左

侧时，

x-x

2

变为负值，而

x-x

1

符号不变，所以有

f(x)

必然变号 ，此时

由正变负；

而再当点

x=a

从

x

1

右侧移动到 左侧时，

x-x

1

由正变负，

而

x-x

2

符号不变， 所以

f(x)

又一次变号，此时由负变正。

总之，无论从哪个方面看，

f(x)

的符号都可以如图标注。

(2) x

1

=x

2

时，即形如

f(x)=(x-x

1

)

2

时

显然，

( -

∞

,x

1

)

与

( x

1

,+

∞

)

都是

f(x) >0

的解。

而若动态的考察此问题，则有

点

x=a

从

x

1

右侧移 动向左侧移动时，

由于平方项内的

x-x

1

由正到

0

又到负，

所以

f(x)

经历了由正到

0

又回

到正的过程。故而

f(x)

在

x

1

两侧符号同正 ，只有在

x=x

1

处为

0

。

（三）

高

次不等式

标准形式：

f(x)=(x-x

1

)( x-x

2

)

„

(x-x

n

)>0

（或

<0

）

，

x

1

≤

x

2

≤„„

≤

x

n

(1)

x

1

2

<

…

n

时

动态考察

f(x)

的符号，

则有当点

x=a

在< /p>

x

n

右方时，

x -x

i

(i=1,2,…,n)

均大 于

0

，故而

f(x) >0

< p>
；而当点

x=a

从

x

n

右侧移动到左侧时，

x-x

n

符

号变化，

而其余任一< /p>

x-x

i

均不变号，

所以有

f(x)

由正变负；

类似可 得：

对任一

i

，当点

< br>x=a

从

x

i

< br>右侧移动到左侧时，

x-x

i

符 号变化，而其余

每个

x-x

j

(j

≠

i)

都

不变号，所以有

f(x)

必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，

由于每过一个

x

i

都恰有一个因式

x-x

i

变号，

所以我们可以从最右上方

开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。

(2)

x

1

≤

x

2

≤…… ≤

x

n

且有等号成立时

其标准形式可写为

f(x )=(x-x

1

)

m1

(x-x

2

)

m2

„

(x-x

n

)

mn

>0

（ 或

<0

）

，

x

1

2< /p>

<

„

n ,

m

i

∈

N

*

(i=1,2,…,n)

当点

x=a

在

x

n

右方时，所有

x-x

i

(i=1,2,…,

n)

均为正，故而

f(x)

为正。而每当

x=a

从< /p>

x

i

右侧移动到

x

i

左侧时，若

m

i

为奇，则

(x-x

i

< p>
)

mi

由正变负，

f(x)

符号改变；而若

m

i

为偶，则

(x-x

i

)

mi

符号不变，

f(x)

符

号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当

x=x< /p>

i

成立，即有

f(x)=

0

。所以，使用穿根法当遇到

m

i

为奇，则穿根线在

根

x

i

穿过序轴；当遇到

m

i

为偶，则穿根线与根

x

i

< p>
接触即回，好像被

序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”

。

二、

步骤

（一）

一元高次不等式

对于不等式

f(x) >0

，其中

f(x)

为

x

的高 次多项式，用穿根法解的

步骤如下：

（

1

）整理——原式化为标准型

把

f(x)

进行因式分解，并

化简为下面的形式：

f(x)=(x-x

1

)

m1

(x-x

2

)

m2

„

(x-x

n

)

mn

>0

（或

<0

< br>）

，

m

i

∈

N

*

(i=1,2,…,n)

（

2

）

标根——在序轴上标根

将

< p>
f(x)=0

的

n

个不同 的根

x

1

,x

2

,

„„

x

n

按照大小顺序标在序轴上，

将序轴分为

n+1

个区间。

（

3

）

画线——画穿根线

从最大根右上方开 始，按照大

小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，

作为穿根线 。

遇奇次根

穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”

。

（

4

）

选解——写出解集

如例图，在序轴上 方的曲线对

应的区间为

f(x)>0

解 集，

在序轴下方的曲线对应的区间为

f(x)<0

解集。

（二）

分式不等式

一、

先将不等式整理成

f(x)/g(x)>0

或

f(x)/g(x)<0

的形式，

其中，

< p>
f(x)

、

g(x)

为整 式。

二、

f(x)/g(x)>0

f(x)

·

g(x)>0

f(x)/g(x)<0

f(x)

·

g(x) <0

即将分式不等式转化为整式不等式再处理。

（三）

含等号的整式、分式不等式

对于整式 不等式，要注意写解集时将各个根包括进去。一般只

需将开区间符号改为闭区间符号，同 时注意必要时合并区间。

对于分式不等式，尤其要注意分母非

0

。

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