不规则图形面积的求法
-
不规
求不规则图形面积的基本思路是通
过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或
规则图形面积的和差。<
/p>
一、等积替换
（
1
）三角
形等积替换
依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。
例
1
、如图
1
所示，半圆
O
中
,
直径
AB
长为
4,C
、
D
为半圆
O
的三等分
点
.,
求阴影部分的面积
.
解：连结
OC
、
OD
，
由
C
、
D
为半圆
O
的三等分点知：
∠
COD=60
°，
且∠
ADC=
∠
DAB=30
°，
∴
CD<
/p>
∥
AB
，所以
S
ADC
S
ODC
（同底等高的三角形面积相等
）
∴<
/p>
S
阴影
＝
S
扇形
OCD
＝
60
2
360
2
2
3
例
2
、如图
2
所示，在矩形
ABCD
中
,AB=1,
以
AD
为直径的
半圆与
BC
切于
M
点
,
求阴影部分面积
.
解：由
AB
＝
1
，半圆与
BC
相切，得
AD
＝
2
取
AD
的中点
O
，则
OD
＝
BM
＝
1
。连结
OM
交
BD
于
E;
则△
OED
≌△
MEB
∴
S
OED
S
MEB
（全等三角形面积相等）
∴
S
阴影<
/p>
＝
S
扇形
OMD
＝
90
<
/p>
1
360
2<
/p>
A
图
2
4
(
２）弓形等积替换
依据：等弧所对的弓形面积相等。
例
3
、
在
RT
△
ABC<
/p>
中
,
∠
B=90
°
,AB=BC=4,AB
为直径的⊙
O
交
AC
于点
D,
求图中两个阴影部分的面积之和
.
解
：连结
BD
，由
AB
< br>为⊙
O
的直径得∠
ADB
＝
90
°，
RT
△
ABC
中∠<
/p>
B
＝
90
°
AB
＝
BC
＝
4
，
得∠
A
＝
45
°且
AC
＝
4
2
，
AD
＝
BD
＝
CD
＝
2
2
∴
S
弓
形
A
m
D
＝
S
弓
形
BnD
∴
S
阴
影
＝
S
C
D
B
＝
1
2
C
D
< br>
B
D
＝
1
2
2
2
2
2
＝
4
D
＝
，
A
C
＋
< br>BD
例
4
、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且
AB
＋
C
弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝
４，求两个阴影部分的面积之和。
A
B
＋
A
E<
/p>
半
圆
；
解：作⊙
O
的直径
BE
连结
AE
，则∠
BAE
＝
90
°，
图
4
D
＝
<
/p>
B
＋
C
D
＋
A
C
＋
B
D
）
＝
半
圆
，
＝
（
A
又∵
A
C
＋
BD
AB
＋
C
2
2
2
2
2
2
D
，所以
S
∴
，
AE=CD=4
。
∴
BE
=AE<
/p>
+AB
∴
BE=
＝
S
8
＋
4
＝
4
5
AE
＝
C
弓
形
A
m
E
弓
形
C
n
D
1
∴
S
阴
影
＝
S
半
圆
O
－
S
R
T
A
1
< br>
4
5
1
＝
－
8
＝
4
B
E
2
2
2
2
< br>
1
－
0
1
6
二、整
体思想（各部分的面积无法求得，但各部分面积的和或差可求得）
例
5
、如图
5
所示，
一个同心圆环中，大圆的弦ＡＢ与小圆相切于Ｃ，
且ＡＢ＝６，求圆环的面积
分析：按照常规思路，圆环的面积等于大小圆的面积之差，而
两圆的
半
径
大
小
未
知
，
好<
/p>
像
是
无
法
求
得
；
但
S
圆
环
＝
大
圆
S
－
小
圆
＝
S
2
－
r<
/p>
R
＝
2
－
r
2
R
，这里我们需要的两圆半径
< br>2
差的平方，而不是两圆的半径。
解：连结
OC
、
OB
，由
AB
为小⊙
O
的切线得∠
OCB
为直角；
BC
＝
1
2
2
2
2
A
B
＝
3
，
OB
－
OC
＝
BC
＝
9
∴
S<
/p>
圆
环
＝
S
大
圆
－
S
小
圆
＝
OB
2
－
< br>OC
2
＝
OB
2
－
OC
2
＝
9
例<
/p>
6
、如图
:
圆Ａ
、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ相互外离，它们的半径都是１，
顺
次连结五个圆的圆心，
得五边形ＡＢＣＤＥ，
则
图中五个扇形的面积之
和是＿＿。
(
2002
年甘肃中考题
)
分析：
圆心角不知大小，
所以每个扇形的面积无法求得，
< br>但是所有
的圆心角之和可求得∠
A
＋∠
B
＋∠
C
＋∠
D
＋∠
E
＝（
5-2
）×
180
°
=540
°
解
：
S
扇
形
的
面
积
和
＝
＝
A
< br>
3
6
0
＋
C
3
6
0
＋
D
1
2
＋
B
E
< br>
2
1
＋
3
6
0
＝
1
4
5
0
2
C
2
1
< br>＋
3
6
0
2
D
1
＋
3
6
0
2
2
E
2
1
3
6
< br>0
A
＋
B
＋
1
＝
3
6
0
3
例
7
、
如图
7
所示，
直角坐标系中，
以原点为圆心的三个同心<
/p>
圆，最大的圆为单位圆（即半径为
1
）<
/p>
，
求图中阴影部分的面积之和。
分析：各部分的面积之和无法求得，但将第二、三象限的阴<
/p>
影绕点
O
旋转至第一象限后得扇形
OAB
。
解：
S
阴<
/p>
影
＝
S
扇
形
为
OAB
＝
90
1
360
2
＝
4
三、求重叠部分的面积
（重叠部分的面积等于组成
图形的各部分的面积之和减去组合成的新图形的
面积之