不规则几何体体积计算中的三钟方法例析
温柔似野鬼°
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2021年02月21日 12:03
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体积计算中的常用方法
一、转换法
当所给几何体的体积不能
直接套用公式或套用公式时某一量
（
底面积或高
）
不易求出时，
可以转换一下几何体中有关元素的相对
位置进行计算求解，
该方法尤其适用于求三棱锥的体
积．
例
1
在边长
为
a
的正方体
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N
，
P
分
别
是
棱
A
1
B
1
，
A
1
D
1
，
< br>A
1
A
上
的
点
，
且
满
足
A
1
M
1
A
1
B
1
，
2
A
1
N
< br>2
ND
1
，
A
1
P
体积．
3
，试求三棱锥
A
1
MNP
的
A
1
A
< br>（如图
1
）
4
< br>1
Sh
直接计算三棱锥
A
1
MNP
的体积，
3
分析：
若用公式
V
则需要求出
△
MNP
的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥
A
1
MNP
的顶点和底面转
换一下，
变为求三棱锥
P
A
1
MN
的体积，便能很
容易的求出其
高和底面
△
A
1
MN
的面积，从而代入公式求解．
解：
1
1<
/p>
1
1
1
1
2
3
1
V
A
1
MNP
V
P
A
1
MN
< br>·
S
△
A
1
MN
·
h
·
A
1<
/p>
M
·
A
1
N
·
A
1
P
a
·
a
·
a
a
3
．
3
3
2<
/p>
3
2
2
3
4
24
评注：
转换顶
点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到
平面距离的一个理论依据
．
二、分割法
分割法也是体积计算中的
一种常用方法，
在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几
何
体的体积之比时经常要用到分割法．
例
2
如图<
/p>
2
，
在三棱柱
A
BC
A
1
B
1
C
1
中，<
/p>
E
，
F
分别为<
/p>
AB
，
AC
的<
/p>
中点，平面
EB
1
C
1
F
将三棱柱分成两部分，求这两
部分的体积之比．
分
析
：
截
面
EB
1
C
1
F
将
三
棱
柱
分
成
两
部
分<
/p>
，
一
部
分
是
三
棱
台