球体体积公式的推导
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球体体积公式的推导
1
、如图，设球体的球心为
O
，半径为
R
，球体体积为
V
，
用垂直于半径
OA
的
R
平面将半球分成
n
个圆柱体
，则每个圆柱体的
高是
，半径分别为
r
1
、
r
2
、
r
3
、…
r
n
n
由相交弦定理得
r
1
2
=
2<
/p>
R
R
1
2
·
(2R
—
) =
R
2
(
—
2<
/p>
) ,
n
n
n
n
2
R
2
R
2
2
2
2
2
< br>r
2
=
·
(2R
—
)
=
R
(
—
2
)
,
，
n<
/p>
n
n
n
3
R
3
R
2
2
2
2
3
r
3
=
·
(2R
—
)
= R
(
—
2
)
，
n
n
n
n
2
…………………
r
n
2
nR
nR
2
n
n
2
2
=
·
(2R
—
)
=
R
·
（
—
2
）
n
n
n
n
1
R
3
2
R
3
2
2
2
2
R
3
2
< br>
3
3
2
∴
V
半球
=
兀·
(
—
2
)
+
兀·<
/p>
(
—
2
)
+
兀·
(
—
2
)
……
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
n
R
3
n
2
< br>+
兀·
（
—
2
）
n
n
n
2
n
1
R
3
2
2
2
2
< br>3
2
2
2
2
n
2
=
兀·
（<
/p>
+
+
+
……
+
—
2
—
2
—
2
—……—
2
）
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
3
< br>
n
1
2
2
2
3
2
n
2
R
3
=
兀·
（<
/p>
2
×
—
）
2
n
n
n