正方形与全等模型(含答案)
-
正方形与全等模型
1
．
（垂直相等）
如图，在正方形
ABCD
中．
<
/p>
（
1
）若点
E<
/p>
、
F
分别在
AB
、
AD
上，且
AE=DF
．试判断
DE
与
CF
的数量及位置关系，并说明理由；
（
2
）若
P
、
Q
、
M
、
N
是正方形
ABCD
各边上的点，
PQ
与
MN
相交，且
PQ=MN
，问
PQ
⊥
MN
成立吗？为
什么？
2
．
（三垂）
如图，直线
MN
不与正方形的边相交且经过正方形
ABCD
的顶点
D
，
AM
⊥<
/p>
MN
于
M
，
CN
⊥
MN
于
N
，
BR
⊥
MN
于
R
．
（
1
）求证：
△
ADM
≌
△
DCN
：
（
2
）求证：
MN=AM+CN
；
（
3
）试猜想
BR
与
MN
的数量关系，并证明你的猜想．
3
．
（三垂）
如图，
在平的直角坐标系中，
直线
y=
﹣
2x+2
与
x
轴、
y
轴分别相交于点
A<
/p>
、
B
，
四边形<
/p>
ABCD
是正方形，
曲线
y=
在第一象限经过点
D
．求
双曲线表示的函数解析式．
4
．
（三垂）
如图，四边形
< br>ABCD
是正方形，直线
l
1<
/p>
，
l
2
，
l
3
分别通过
A
，
B
，
C
三点，且
l
1
∥
l
2
∥
l
3
，若
l
1
与
l
2
的距离
为
5
，
l
< br>2
与
l
3
的距离为
7
，则正方形
ABCD
的面积等于（
）
A
．
7
0
1
44
B
．
7
4
C
．
D
．
1
48
5
．
（三垂）
如图在平面直角坐标系中正
方形
OABC
的边
OC
，
OA
分别在
x
轴正半轴上和
y
轴的负半轴上，点
< br>B
在
双曲线
y=
﹣
上，直线
y=kx
﹣
k
（
k
＞
0
）交
y
轴与
F
．
（
1
）求点
B
、
E
的坐标；
（
2
）连接
BE
，
CF
交于
M
点，是否存在
实数
k
，使得
BE
⊥
CF
？若存在，求出
k
的值；若不存在，请说明理由；
（
3
）
F
在线段
OA
上，
连
BF
，
作
OM
⊥
BF
于
M
，
AN
⊥
BF
于
N
，
当
F
< br>在线段
OA
上运动时
（不与
O
、
A
重合）
，
的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值．
6
．
（对角互补）
已知
：如图，正方形
ABCD
中，对角线
A
C
和
BD
相交于点
O
．
E
、
F
分别是边
AB
、
BC
上的点，
若
AE=4cm
，
CF=3cm
，且
OE
⊥
OF
，则
EF
的长为
_________
cm
．
7
．
（对角互补）
在图
1
到图
3
中，点
O
是正方形
ABCD
对角线
AC
的中点，
△
MPN
为直角三角形，∠
MPN=90
°
．正
方形
ABCD
保持不动，
△
MPN
沿射线
AC
向右平移，平移过程中
P
点始终在射线
AC
上，且保持
PM
垂直于直线
AB
于点
E
，
PN
垂直于直线
BC
于点
F
．
（
1
）如图
1
，当点
P
与点
O
重合时，
OE
与
OF
的数量关系为
_________
；
（
2
）如图
2
，当
P<
/p>
在线段
OC
上时，猜想
< br>OE
与
OF
有怎样的数量关系与
位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（
< br>3
）如图
3
，当点
P
在
AC
的延长线上时，<
/p>
OE
与
OF
的数
量关系为
_________
；位置关系为
_________
．
8
．
（对角
互补）
如图，正方形
ABCD
中，
AC
是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点
B
，直角顶点
P
在射线<
/p>
AC
上移动，另一边交
DC
于
Q
．
< br>（
1
）如图
1
< br>，当点
Q
在
DC
边上时，猜想并写出
PB
与
P
Q
所满足的数量关系；并加以证明；
（
2
）如图
2
，当点
Q
落在
DC
的延长线上时，猜想并写出
PB
与
PQ
满足的数量关系，请证明你的猜想．
9
．
（对角互补）
如图，正方形
ABCD
，点
P
是对角线<
/p>
AC
上一点，连接
BP
< br>，过
P
作
PQ
< br>⊥
BP
，
PQ
< br>交
CD
于
Q
，连接
BQ
交
AC
于
G
，若
AP=
，
Q
为
CD
中点，则下列结论：
①
∠<
/p>
PBC=
∠
PQD
；②
BP=PQ
；③
∠
BPC=
∠
BQC
；④
正方形
ABCD
的面积是
< br>16
；
其中正确结论的个数是（
）
A
．
4
2
B
．
3
C
．
D
．
1
10<
/p>
．
（对角互补）
如图
1
，直角∠
EPF
的顶点和正方形
ABCD
的顶点
C
重合，两直角边
PE
，
PF
分别和
AB
，
AD<
/p>
所在
的直线交于点
E
和
F
．易得
△
PBE
≌
△
PDF
，故结论
“
PE=PF
”
成立；
（
1
）如图
2
，若点
P
在正方形
ABCD
的对角线
AC
上，其他条件不变，
（
1
）中的结论是否仍然成立？说明理由；
< br>（
2
）如图（
3
）将（
2
）中正方形
ABCD
改为矩形
ABCD
其他条件不变，若<
/p>
AB=m
，
BC=n
，直接写出
的值．
11
．<
/p>
（对角互补）
如图，边长一定的正方形
A
BCD
，
Q
为
CD
上一个动点，
AQ
交
BD
于点
M
，过
M
作
MN
⊥
AQ
交
BC
于点
N
，作
NP
⊥
BD
于点
P
，连接
NQ
，下列结论：①
AM=MN
；②
MP=
BD
；③
BN+DQ=NQ
；④
中一定成立的是（
）
①
②
③
④
A
．
B
．
①
②
为定值．其
②
③
④
C
．
③
④
D
．
①
②
12
．
（等角共顶点）
（
1
）如图①
，
< br>△
ABC
中，
AB=AC
，∠
BAC=90
°
，点
D
为
BC
边上一点（与点
B
、
C
不重合）
，连接
AD
，以
AD
为一边且在
AD
的右侧作正方形
ADEF
．可猜想线段
CF
，
BD
之间的数量关系是
_________
，位置
关系是
_________
；
（
2
）当点
D
在线段
B
C
的延长线时，如图②
，
（
1
）中的结论是否仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立，说
明理由．
13
．<
/p>
（等角共顶点）
已知点
O
为正方形
ABCD
的中心，
M
为射线
OD
上一动点
< br>（
M
与点
O
，
D
不重合）
，
< br>以线段
AM
为一边作正方形
AM
EF
，连接
FD
．
（
1
）当点
M
在线段
OD
上时（如图
1
）
，线段
BM
与
DF
有怎样的数量及位置关系？请判断并直
接写出结果；
（
2
< br>）当点
M
在线段
OD
的延长线上时（如图
2
）
，
（
1
）中的结论是否仍然成立？请结
合图
2
说明理由．
14<
/p>
．
（等角共顶点）
以
△
ABC
的各边，
在边
BC
的同侧分别作三个正方形．
他们分别是正方形
ABDI
，
BCFE
< br>，
ACHG
，
试探究：
（
1
）如图中四边形
ADEG
是什么四边形？并说明理由．
（
2
）当
△<
/p>
ABC
满足什么条件时，四边形
ADEG
是矩形？
（
3
）当
△
ABC
满足什么条件时，四边形
ADEG
是正方形？
15
．
（
等角共顶点）
在直角三角形
ABC
中，
∠
C=90
°
，
BC=2
，
以
AB
< br>为边作正方形
ABDE
，
连接<
/p>
AD
、
BE
交<
/p>
O
，
CO=
则<
/p>
AC
的长为（
）
A
．
2
4
B
．
3
C
．
D
．
，
16
．
（等角共顶点）
如图，已知正方形
ABCD
，点
E
是
BC
上一点，以
AE
为边作正方形
AEFG
．
（
1
）连接
GD
，求证：
△
A
DG
≌
△
ABE
；
（
2
）
连接
FC
，求证：∠
FCN=45
°
；
（
3
）请问在
AB
边上是
否存在一点
Q
，使得四边形
DQEF<
/p>
是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理
由．
17
．
（等角共顶点）
如图
1
，
2
，四边形
ABCD
是正方形，
M
是
AB
延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点
D
，且直角顶点
E
在
AB
边上滑动（点
E
不与点
A<
/p>
，
B
重合）
，另
一条直角边与∠
CBM
的平分线
BF<
/p>
相交于点
F
．
（
1
）如图
1
，当点
E
在
A
B
边的中点，
N
为
AD
边的中点位置时：
①
通过测量
DE
，
EF
的长度，猜想
DE
与
< br>EF
满足的数量关系是
_________
；
②
请证明你的上述猜想．
（
2
）如图
2
，当点
E
在
AB
边上的任意位置时，猜想此时
DE
与
EF
有怎样的数量关系，并证明你的结论．
18
．
（对角互补分半）
< br>已知，四边形
ABCD
是正方形，∠
MAN=45
°
，它的两边
AM<
/p>
、
AN
分别交
C
B
、
DC
与点
M
、
N
，
连接
MN
，作
AH
⊥
MN
，垂足为点
H
（
1
）如图
1
，猜想
AH
与
AB
有什么数量关系？并证明；
（
< br>2
）如图
2
，已知∠
BAC=45
°
，
AD<
/p>
⊥
BC
于点
D<
/p>
，且
BD=2
，
CD=3
，求
AD
的长；
小萍同学通过观察图①
发现，
△
ABM
和
△
AHM
关于
AM
对称，
△
AHN
和
△
ADN
关于
AN
对称，于
是她巧妙运用这个
发现，将图形如图③
进行翻折变换，解答了此
题．你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？
19<
/p>
．
（对角互补分半）
（
< br>1
）如图①
，在正方形
ABCD
中，
△
AEF
的顶点
E
，
F
分别在
BC
，
CD
边上，高
AG
与正方形
的边长相等
，求∠
EAF
的度数．
（
2
）如图②
，在
Rt
△
ABD
中，∠<
/p>
BAD=90
°
，
AB=AD
，点
M
，
N
是
BD
边上的任意两点，且
∠
MAN=45
°
，将
△
ABM
绕
点
A
逆时针旋转
90
°
至
△
ADH
位置，连接
NH
，试判断
MN
，
ND
，
DH
之间的数量关系，并说明理由．
（
3
）在图①
中，连接
BD
分别交
AE
，
AF
于点
M
，
N
，若
EG=4
，
GF=
6
，
BM=3
，求
AG
，
MN
的长．
20<
/p>
．
（对角互补分半）
如图，将边长为
4
的正方形
ABCD
沿着折痕
EF
折叠，使点
B
落在边
AD
的中点
G<
/p>
处，那么
四边形
BCFE
的面积等于
_________
；若
GH
与
CD
交点为
I
，那么
GBI=
____________
.
21
．
（等角共顶点拓展）
如图，
四边形
ABCD
是正方形，
以
CG
为一边在正方形
ABCD<
/p>
外作正方形
CEFG
，
< br>连接
BG
，
DE
．猜想图中线段
BG
、
DE<
/p>
的数量和位置关系，并说明理由．
22
．
（等角共顶点拓展）
如图，正方形
ABDE
和
AC
FG
是以
△
ABC
的
AB
、
AC
为边的正方形，
P
、
Q
为它们的中心，
M
是
BC
的中点，试判断
MP
、
MQ
在数量和位置是有什么关系？并证明你的结论．
23
．如图所示，四边形
ABCD
为正方形，
△
B
EF
为等腰直角三角形（∠
BFE=90
°
，点
B
、
E
、
F
按逆时针顺序）
，
P
为
DE
< br>的中点，连接
PC
、
PF
．
（
1
）如图（
1
）
，
E
点在边
BC
上，则线
段
PC
、
PF
的数量关系为
_________
，位置关系为
_________
（不需
要证明）
．
（
2
）如图（
2
）
，将
△
BEF
绕<
/p>
B
点顺时针旋转
α°
（
0
＜
α
＜
45
）
，则线段
PC
、
PF
有何数量关系和位置关
系？请写出你
的结论并证明．
（
3
）如图（
3
）<
/p>
，
E
点旋转到图中的位置，其它条件不变
，完成图（
3
）
，则线段
PC
、
PF
有何数量关系和
位置关系？
直接写出你的结论，不需要证明．
24<
/p>
．
（等角共顶点拓展）
如图甲，
操作：
把正方形
CGEF
的对角线，
CE
放在正方形
ABCD
的边
BC
的延长线上
< br>（
CG
＞
BC
< br>）
，取线段
AE
的中点
M
．
（
1
）探究线段
MD
、
MF
的位置及数量关系，直接写出答案即可；
（
2
）将正方形
CGEF
绕点
C
逆时针旋转
45
°
（如图乙）
，令
CG=2BC
其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证
明；
（
2
）将正方形
CGEF
绕点
C
旋转任意角度后（如图丙）
，其他条件不变．探究：线段
MD
，
MF
的
位置及数量关系，
并加以证明．
【巩固练习】
25
< br>．已知点
E
是正方形
ABCD<
/p>
外的一点，
EA=ED
，线段
BE
与对角线
AC
相交于
点
F
，
（<
/p>
1
）如图
1
，当
BF=EF
时，线段
AF
与
DE
之间有怎样的数量关系？并证明；
（
2
）如图
2
，当
△
EAD
为等边三角形时，写出线段
AF
、
BF
、
EF
之间的一个数量
关系，并证明．
26
．如
图
1
，四边形
ABCD
为正方形，
E
在
CD
上，∠
DAE
的平分线交
CD
于
F
，
BG
⊥
AF
于
G
，交
AE
于
H
．
（
1<
/p>
）如图
1
，∠
D
EA=60
°
，求证：
AH=DF
；
（
2
）如图
2
，
E
是线段
CD
上（不与
C
、
D
重合）任一点，请问：
AH
与
DF
有何数量关系
并证明你的结论；
（
3
）如图
3
，
E
是线段
DC
延长线上一点，若
F
是
△
ADE
中与∠
DAE
相邻的外角平分线与
C
D
的交点，其它条件不
变，请判断
AH
与
DF
的数量关系（画图，直接写出结
论，不需证明）
．
27<
/p>
．在直角坐标系中，直线
y=2x+4
交
x
轴于
A
，交
y
轴于
D
（
1
）以
A
为直
角顶点作等腰直角
△
AMD
，直接写出
点
M
的坐标为
_________
（
2
）以
AD
为边作正方形
ABCD
，连
BD
，
P
是线段
BD
上（不与
B
、
< br>D
重合）的一点，在
BD
上截取
PG=
过
G
作
GF
⊥
BD
，
交
BC
于
F
，
连
AP
则
AP
与
PF
有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；
（
3
）在（
2
）中的正方形中，若∠
PAG=45
°
，试判断线段
PD
、
PG
、
BG
之间有何关系，并证明你的结论．
，
28
．<
/p>
如图，
一个直角三角形的直角顶点
P
在正方形
ABCD
的对角线
AC
所在的直线上滑动，
并使得一条直角边始终
经过
B
点．
（
1
）如图
1
，当直角三角形的另一条直角边和边
CD
交于
Q
点，
（
2<
/p>
）如图
2
，当另一条直角边和边
CD
的延长线相交于
Q
点时，
=
_________
；
=
_________
；
的
（
3
）如图
3
或图<
/p>
4
，当直角顶点
P
运动到
AC
或
CA
< br>的延长线上时，请你在图
3
或图
4
中任选一种情形，求
值，并说明理由．
29
．已知，如图在正方形
OADC<
/p>
中，点
C
的坐标为（
0
，
4
）
，点
A
的坐标为（
4
< br>，
0
）
，
CD
的延长线交双曲线
y=
于点
B
．
（
1
）求直线
AB
的解析
式；
（
2
）
G
为
x
轴的负半轴上一点连接
CG
，过
G
作
GE
⊥
CG
交直线
AB
于
E
．求证
CG=GE
；
（
3
）在（
2
）的条件下，延长
DA
交
CE
的延长线于
F
，当
G
在
x
的负半轴上运动的过程中，请问
为定值，若是，请求出其值；若不是，请
说明你的理由．
的值是否
30
．如图，四边形
ABCD
位于平面直角坐标系的第一象限，
B
、
C
在
x
轴上，
A
点函数
AD
∥
x
轴，
B
（
1
，
0
）
< br>、
C
（
3
，
0
）
．
（
1
）试判断四边形
< br>ABCD
的形状；
上，且
AB
∥
CD
∥
y
轴，
（
2
）若点
P
是线段
BD
上一点
PE
⊥
BC
于
E
，
M
是
PD
的中点，连
EM
、
AM
．求证：
AM=EM<
/p>
；
（
3
）在图
（
2
）中，连接
AE
< br>交
BD
于
N
，则下列两个结论：
①
值不变；
②
的值不变．其中有且仅有一个是正
确的，请选择正确的结论证明并求其值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共
16
小题）
1
．如图，在正方形
ABCD
中．
（
1
）若点
E
、
F
分别在
AB
、
AD
上，且
AE=DF
．试判断
DE
与
CF<
/p>
的数量及位置关系，并说明理由；
（<
/p>
2
）若
P
、
Q
、
M
、
N
是正方形
ABCD
各
边上的点，
PQ
与
MN
相交，且
PQ=MN
，问
PQ
⊥
MN
成立吗？为什么？
考点
：
专题
：
分析：
正方形的性质．
探究型．
（
1
）由已知易
得
△
DAE
≌
△
CDF
，
故有
DE=CF
．
（
2
）
由点
N
，
Q
分别向
AB
，
AD
作垂线，
构造两
直角三角形全
等，
由角的等量
代换，易得
QP<
/p>
⊥
MN
．
解：
（
1
）在正方
形
ABCD
中，
AD=DC
，
AE=DF
，
∠
EAD=
∠
FDC<
/p>
，
所以
△
EAD
≌
△
FDC
，
故
DE=CF
，
∴
∠
E
DA=
∠
FCD
，
又
∵
∠
DCF+
∠
DFC=
90
°
，
∴
< br>∠
ADE+
∠
DFC=
90
°
，
∴
∠
DGF=90
°
即
DE
⊥
CF
．
（
2
）
由点
N
，
Q
分别向
AB
，
AD
作垂线，
∵
PQ=MN
，
R
N=SQ
，
解答：
∴
△
MNR
≌
△
Q
PS
（
HL
）
，
∴
∠
PQ
S=
∠
MNR
，
又
∠
1+
∠
PQS=90
°
，
< br>所以
∠
1+
∠
< br>MNR=90
°
，
即
MN
⊥
PQ
．
点评：
解答本题要充
分利用正方形
的特殊性质．
注
意在正方形中
的特殊三角形
的应用，
搞清楚
矩形、菱形、正
方形中的三角
形的三边关系，
可有助于提高
解题速度和准
确率．
2
．如图，直线
MN
不
与正方形的边相交且经过正方形
ABCD
的顶点
D
，
AM
⊥
< br>MN
于
M
，
CN
⊥
MN
于
N
，
BR
⊥
MN
于
R
．
（
1
）求证：
△
ADM
≌
△
DCN
：
（
2
）求证：
MN=AM+CN
；
（
3
）试猜想
BR
与
MN
的数量
关系，并证明你的猜想．
考点
：
正方
形的性质；
全等三角形的
判定与性质．
证明题；探究
型．
< br>此题分三问进
行，
三问都与三
角
形全等直接
相关，
所以要紧
扣三角形全
等
的判定方法进
行思考．
（
1
）要证
△
ADM
≌
△
DCN
，
由于它们都是
直角三角形，
所
以首先有直角
相等，又由
A
BCD
是正方
形有
AD=DC
，
再找一个条件
即可，
而由图形
很容易分析得
出
∠
ADM=
∠
DCN
；
（
2
）的关键是
合理添加辅助
线，
通过等量代
换等到结论；
（
3<
/p>
）首先结合
前面的结论再
结合图形合理<
/p>
猜想，
然后再结
合前面的结论
认真推理，
细致
证明即可．
（
1
）证明：
∵
AM
⊥
MN
于点
专题
：
分析：
解答：
M
，
CN
⊥
MN
于
点
N
（已知）
，
∴
∠
AM
D=
∠
DNC
=90
< br>°
（垂直的定
义）
．
∴
∠
MAD+
∠
MDA
=180
°<
/p>
﹣
90
°
=90
°
（三角形内角
和定理）
．
∵
四边形
ABCD
是正方形（已
知）
，
∴
∠
AD
C=90
°
，
AD=DC
．
∴
∠
< br>MDA+
∠
NDC
=180
°
﹣
90
°
=90
°
（平角的定
义）
．
∴
∠
MAD+
∠
MDA
=
∠
NDC+
∠
< br>NCD
．
∴
< br>∠
MAD=
∠
NDC
．
在
△
AMB
和
△
DNC
中，
∵
∠
AMD=
∠
DNC
，
∠
MAD=
∠
NDC
，
AD=DC
，
∴
△
AMD
≌
△
DNC
（
AAS
）
．
（
2
）证明
：由
（
1
）
△
AMD
≌
△
D
NC
，
∴
A
M=DN
，
MD=NC
．
（全等
三角形对应边
相等）
∴
MD+DN=AM
+CN
．
即
MN=AM+CN
．
（
3
）猜想
BR=MN
．
证明如下：
< br>作
AE
⊥
BR
< br>于
E
．
∵
BR
⊥
MN
，
CN
⊥
MN
（已知）
∴
BR
< br>∥
CN
（垂直
于同一直线的
两条直线平行）
∴
∠
1=
∠
2
（两直线
平行同位角相
等）
又四边形
ABCD
是正方
形
∴
AB
⊥
BC
，
DC
⊥
BC
，
∴
∠
ABE=
∠
DCN=
90
°
﹣∠
< br>1
，
在
△
ABE
和
△
DCN
中，
AB=DC
，
∠
ABE=
∠
DCN
，
∠
AEB=
∠<
/p>
DNC=9
0
°
∴
△
ABE
≌
△
DCN
（
A
AS
）
由（
1
）
△
ADM
≌
△
DCN
∴
△
ABE
≌
△
ADM
∴
AM=AE
（全等
三角形对应边
相等）
．
又
AE
∥
MR
，
AM
∥
ER
，
∴
B
R=BE+ER=C
N+AM=DM+D
N=MN
．
点评：
此题三问紧密
相连，
第一问正
确解出后，
后两
问就顺理成章
求出来
了．
3
．如图，在平的直角坐标系中，直线
y=
﹣
2x+2
与
x
轴、
y
轴分别相交于点
A
、
B
，四边形
ABCD
是正方形，曲线
y=
在第一象限经过点
D
．求双曲线表示的函数解析式．
考点
：
专题
：
分析：
反比例函数综
合题．
探究型．
过点
D
作
DE
⊥
x
轴于点
E
，先由
直线
y=
﹣
2x+2
与
x
轴，
y
轴相
交于点
A
、
B
求
出
OB
及
OA
的
长，
再由全等三
角形的判定定
理得出
△
AOB
≌
△
DEA
，
故可得出
D
点
坐标，
再由待定
系数法即可
求
出反比例函数
的解析式．
解：过点
D
作
DE
⊥
x
轴于点
E
，
∵
直线
y=
﹣
2x+2
与<
/p>
x
轴，
y
轴相<
/p>
交于点
A
、
B<
/p>
，
∴
当
x=0
时，
y=2
，
即
OB=2
；
当
y=0
时，
x=1
，
即
OA=1
，
∵
四边形
ABCD
是正方形
，
∴
∠
BA
D=90
°
，
AB=AD
．
∴
∠
< br>BAO+
∠
DAE=
90
°
．
∵
∠
ADE+
∠
DAE=<
/p>
90
°
，
∴
∠
BAO=
∠<
/p>
ADE
，
∵<
/p>
∠
AOB=
∠
D
EA=
解答：
90
°
，
<
/p>
∴
△
AOB
≌<
/p>
△
DEA
，
<
/p>
∴
DE=AO=1
，
AE=BO=2
，
∴
OE=3
，
DE=1
．<
/p>
∴
点
D
的坐标为
（
3
，
1
）把（
3
，
1
）
代入
y=
中，
得
k=3
，<
/p>
故反比例函数
的解析式为：
y=
．
点评：
本题考查的是
反比例函数综
合题，
涉及到一
次函数的性质、
正方形的性质
及全等三角形
的判定与性质，
根据题意作出
辅助线，
构造出
全等三角形是
解答此题的关
键．
4
．如图，四边形
ABCD
是正方形，直
线
l
1
，
l<
/p>
2
，
l
3
分别通过
A
，
B
，
C
三点，且
l<
/p>
1
∥
l
2
∥
l
3
，若
l
1
与
l
2
的距离为
5
，
l
2
与
l
3
的距离为
7
，则正方形
ABCD
的面积等于（
）
A
．
7
0
B
．
7
4
1
44
C
．
D
．
1
48
考点
：
分析：
解答：
勾股定理；
< br>全等
三角形的判定
与性质；
正方
形
的性质．
画出
L
1
到
L
2
，
L
2
到<
/p>
L
3
的距离，
分
别交
L
2
，
L
3
于
E
，
F
，通过
证明
△<
/p>
ABE
≌
△
BC
F
，
得出
BF=AE
< br>，
再由勾股定理
即可得出结论．
解：过点
A
作
AE
⊥
l
1
，
过点
C
作
CF
⊥
l
2
，
<
/p>
∴
∠
CBF+
∠
BCF=
90
°
，
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB=BC=
CD=
AD
，
∴
∠
DAB=
∠
ABC=
∠
BCD=
∠
CDA=9
0
°
，
∴
∠
ABE+
∠
CBF=
90
°
，
∵
l
1
∥
l
2
∥
l
3
，
∴
∠
ABE=
∠
BCF
，
在
△
ABE
和
△
BCF
中，
∴
△
ABE
≌
△
BCF
（
AAS
）
（画出
L
1
到
L
2
，
L
2
到
L
3
的距离，
分别
交
L
2
，
L
3
于
E
，
F
）
∴
BF=AE
，
∴
BF
+CF
=BC<
/p>
，
2
2
2
2
2
2
∴
BC
=5
+7
=74
．
故面积为<
/p>
74
．
故选
B
．
点评：
本题主要考查
了正方形的性
质，
全等三角形
的判定与性质
以及正方形面
积的求解方法，
能够熟练掌握．
5
．如图在平面直角坐标系中正方形
OABC
的边
OC
，
OA<
/p>
分别在
x
轴正半轴上和
< br>y
轴的负半轴上，点
B
在双曲线
y=
﹣
上，直线
y=kx
﹣
k
（
k
＞
0
）交
y
轴与
F
．
（
1
）求点
B
、
E
的坐标；
（
2
）连接
B
E
，
CF
交于
M
点，是否存在实数
k
，使得
BE
⊥
CF
？若存在，
求出
k
的值；若不存在，请说明理由；
（
3
）
F
在线段
OA
上，
连
BF
，
作<
/p>
OM
⊥
BF
于<
/p>
M
，
AN
⊥
BF
于
N
，
当
F
在线段
OA
上运动时
（不与
O
、
A
重合）
，
的值是否变化．若变化，求出变化的范围；若不变，求其值．
考点
：
专题
：
分析：
反比例函数综
合题．
开放型．
（
1
）把正方形
的面积用
B
点
坐标表示求解；
（
2
）用分析法
求解．
根据直线
解析式的特点，
求
k
只需求满足
条件时
OF
的
长；
（
3
）探索：
，
，
，
代换后
解答：
< br>得结论为
1
，所
以不变化．
解：
（
1
）根据题
意，设
B
（
x
，
﹣
x
）
，
∵
B
在
y=
﹣
的
图象上，
∴
x
=4
，
x=
±
2
，
根据图形得
B
（
2
，﹣
2
）
，
∵
E
在
X
轴上，
∴
kx
﹣
k=0
，
x=1
，
即
E
（
1
，
0
< br>）
；
（
2
）假设存在
k
< br>，使
BE
⊥
CF
，
∵
∠
OCF=
∠
CBE
∠
COF=
∠
BCE
，
OC=CB
∴
△
O
CF
≌
△
CBE
∴
OF=CE=1
∴
k=1
；
（
3
）
=1
．
2
证明：
由已知条
件易证：
△
OMF
∽
△
BNA
，
△
ANF
∽
△
BNA
，
∴
∴
，
=
=
=1
点评：
．
此题运用了分
析法解题探究，
综合性很强，
< br>检
验学生自主创
新能力．
6
．
（
2008
•
安顺
）已知：如图，正方形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
相交于点
O
．
E
、
< br>F
分别是边
AB
、
BC
上的点，
若
AE=4c
m
，
CF=3cm
，且
OE
⊥
OF
，则
EF
的长为
5
cm
．
考点
：
<
/p>
正方形的性质；
全等三角形的
判定与性质
；
勾
股定理．
计算题．
连接
EF
，作
OM
⊥
AB
于点
M
，根据条件可
以证明
△
OED
≌
△
OFC
，
则
OE=OF
，
CF=DE=3Ccm
，
则
AE=DF=4
，
根据勾股定理
得到
EF=
专题
：
分析：
解答：
=5cm
．
解：连接
EF
，
作
OM
⊥
AB
于点
< br>M
，
∵
OD=OC
，
∵
OE
⊥
OF
∴
∠
EOD+
∠
FOD=
90
°
∵
正方形
ABCD
∴
∠
COF+
∠
DOF=
90
°
∴
∠
EOD=
∠<
/p>
FOC
而
∠
O
DE=
∠
OCF=4
5
°
∴
△
OFC
≌
△
OED
，
∴
OE=OF
，
CF=DE=3cm
，
则
AE=DF=4
，
根据勾股定理
得到
EF=
=5
c
m
．
故答案为
5
．
点评：
根据已知条件
以及正方形的
性质求证出两
个全等三角形
是解决本题的
关键．
7
．在图
1
到图
3
中，点
O
是正方形
ABCD
对角线
AC
的中点，
△
MPN<
/p>
为直角三角形，∠
MPN=90
°
．正方形
ABCD
保持不动，
△
MPN
沿射线
AC
向右平移，平移过程中
P
点始终在射线
AC
上，且保持
PM
垂
直于直线
AB
于点
E
< br>，
PN
垂直于直线
BC
于点
F
．
（
1
）如图
1
，当点
P
与点
O
重合时，
OE
与
OF<
/p>
的数量关系为
OE=OF
；
（
2
）如图
2
，当
P<
/p>
在线段
OC
上时，猜想
< br>OE
与
OF
有怎样的数量关系与
位置关系？并对你的猜想结果给予证明；
（
< br>3
）如图
3
，当点
P
在
AC
的延长线上时，<
/p>
OE
与
OF
的数
量关系为
OE=OF
；位置关系为
OE
⊥
OF
．
考点
：
正方
形的判定
与性质；
全等三
角形的判定与
性质；
矩形的判
定与性质；
平移
的性质．
（
1
）根据利用
正方形的性质
< br>分析：
解答：
和直角三角形
的性质即可判
定四边形
BEOF
为正方形，
从而
得到
结论；
（
2
）当移动到
点
P
的位置时，
可以通过证明
四边形
BEPF
为
矩形来得到两
条线段的数量
关系
；
（
3
）<
/p>
继续变化，
有相同的关系，
其证明方法也
类似．
（
1
）
解：
OE=OF
（相等）
；
（
1
< br>分）
（
2
）解：
OE=OF
，
OE
⊥
OF
；
（
3
分）
证明：
连接
BO
，
∵
在正方形
ABCD
中，
O
为
AC
中点，
∴
B
O=CO
，
BO
⊥
AC
，
∠
BCA=
∠
ABO=4
5
°
，
（
4
分）
∵
PF
⊥
BC
，
∠
BCO=45
°
，
∴
∠
FPC=45
°
，
PF=FC
．
∵
正方形
ABCD
，
∠
ABC=90
°
，
∵
PF
⊥
BC
，
PE
⊥
AB
，
∴
< br>∠
PEB=
∠
PFB=9
0
°
．
∴
四边形
PEBF
是矩形
，
∴
BE=PF
．
（
5
分）
∴
BE=FC
．
< br>
∴
△
OBE
< br>≌
△
OCF
，
< br>
∴
OE=OF
，
∠
BOE=
∠
COF
，
（
7
分）
∵
∠
COF+
∠
BOF=
90
°<
/p>
，
∴
∠
BOE+
∠
BOF=
90
°
，
∴
∠
EOF=90
°
，
∴
OE
⊥
OF
．
（
8
分）
（
3
）
OE=OF
（相
等）
，
OE
⊥
OF
（垂
直）
< br>．
（
10
分）
< br>
本题考查了正
方形的性质，
解
题的关键是抓
住动点问题，
化
动为静，
还要大
胆的猜想．
点评：
8
．如图，正方形
< br>ABCD
中，
AC
是对角线，今
有较大的直角三角板，一边始终经过点
B
，直角顶点
P
在射线
AC
上
移动，另一边交
DC
于
Q
．
（
1<
/p>
）如图
1
，当点
Q
在
DC
边上时，猜想并写出
PB
与
PQ
所满足的数
量关系；并加以证明；
（
2
）如图
2
，当点
Q
落在
DC
的延长线上时，猜想并写出
PB
与
PQ
满足的数
量关系，请证明你的猜想．
考点
：
正方
形的判定
与性质；
全等三
角形的判定与
性质．
（
1
）过
P
作
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
CD
，证明
Rt
△
PQF
≌
Rt
△
PB
E
，即可；
（
2
）证明思路
同（
1
）
（
1
）
< br>PB=PQ
，
证明：过
P
作
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
CD
，
∵
P
，
C
为正方形
对角线
AC
上的
点，<
/p>
∴
PC
平分<
/p>
分析：
解答：
∠
DCB
，
∠
DCB=90
°
，
∴
PF=PE
，
∴
四边形
PECF
为正方形，
∵
∠
BPE+
∠
QPE=
90
°
，
∠
QPE+
∠
QPF=9
0
°
，
∴
< br>∠
BPE=
∠
QPF
，
∴
Rt
△
PQF
≌
Rt
△
P
BE
，
∴
PB=PQ
；
（
2
）
PB=PQ
，
证明：过
P
作
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
CD
，
∵
P
，
C
为正方形
对角线
AC
上的
点，
∴
PC
平分
∠
DCB
，
∠
DCB=90
°
< br>，
∴
PF=PE
，
∴
四边形
PECF
为正方形，
∵<
/p>
∠
BPE+
∠
Q
PE=
90
°
，
∠
QPE+
∠
QPF=9
0
°
，
∴
∠
BPE=
∠
QPF
，
∴
Rt
△
PQF
≌
Rt
△
P
BE
，
∴
PB=PQ
．
点评：
此题考查了正
方形，
角平分线
的性质，
以及全
等三角形判定
与性质．
此题综
合性较强，
注意
数形结合思想．
9
．如图，正方形
ABCD
，点
P
是对角线
AC
上一点，连接
BP
，过
P
作
PQ
⊥
BP
，
PQ
交
CD
于
Q
，连接
BQ
交
AC
于
G
，若
AP=
，
< br>Q
为
CD
中点，则下列结论：<
/p>
①
∠
PBC=
∠
PQD
；②
BP=PQ
；③
∠
BPC=
∠
BQC
；④
正方形
ABCD
的面积是
16
；
其中正确结论的个数是（
）
A
．
4
考点
：
B
．
3
正方形的性质；
全等三角形的
判定与性质．
根据对角互补
的四边形，
则四
边形共圆，
根
据
圆周角定理得
出
∠
< br>BPC=
∠
BQC
，
根据
∠
PBC=
∠
PQD
，
过
P
作
PM
⊥
AD
于
M
，
PE
⊥
AB
于
E
，
PF
⊥
DC
于
F
，则
E
、
P
、
F
< br>三点共线，
推出
正方形
AEPM
，
根据勾股定理
求出
< br>AE=PE=PM=A
M=DF=1
，证
2
C
．
D
．
1
分析：
解答：
△
B
EP
≌
△
PFQ
，
推
出
PE=FQ=1
，
BP=PQ
，求出
DQ<
/p>
、
DC
，
即可．
解：
∵
四边
形
ABCD
是正方形，
∴
∠
BCQ=90
°
，
∵
PQ
⊥
PB
，
∴
∠
BPQ=90
°
，
∴
∠
BPQ+
∠
BCQ=
1
80
°
，
∴
B
、
C
、
Q
、
P
四点共圆，
∴
∠
PBC
=
∠
PQD
，
∠
BPC=
∠
BQC
< br>，
∴
①
正确；
< br>③
正确；
过
< br>P
作
PM
⊥
AD
于
M
，
PE
⊥
AB
于
E
，
PF
⊥
DC
于
F
，则
E
、
P
、
F<
/p>
三点共线，
∵
四边形
ABCD
是正方形，
∴
AB=AD=DC=
BC
，
∠
DAC=
∠
< br>BAC
，
∠
DAB=90
°
，
∴
∠
MAE=
∠
PEA=<
/p>
∠
PMA=90
°
，
PM=PE
，
< br>∴
四边形
AMPE
是正方形，<
/p>
∴
AM=PM=PE=
AE
，
∵
AP=
，
∴
在
Rt
△<
/p>
AEP
中，
由勾股定理得：
2
2
AE
+PE
=
（
）
2
，
解得：
AE=AM=PE
=P
M=1
，
∴
DF=1
，
设
AB=BC=CD=A
D=a
，
则
BE=PF=
a
﹣
1
，
<
/p>
∵
∠
BEP=
∠
PFQ=
∠
BPQ=90
°
，
∴
< br>∠
BPE+
∠
EBP=9
0
°
，
∠
EPB+
∠
FPQ=90
°
，
∴
∠<
/p>
EBP=
∠
FPQ
，
在
△
B
EP
和
△
PFQ
中
，
∴
△
BEP
≌
△
PFQ
（
ASA
）
，
∴
P
E=FQ=1
，
BP=PQ
，∴
②
正
确；
∴
DQ=1+1=2
，
∵
Q
为
CD<
/p>
中点，
∴
DC
=2DQ=4
，
∴
< br>正方形
ABCD
的面积是
4
×
4=16
，∴
④
正
确；
故选
A
．
<
/p>
本题考查了正
方形的性质和
判定，
全等三角
形的性质和判
定，勾股定理，
三角形的内角
和定理等知识
点，
主要考查学
生的推理能力，
题目综合性比
较强，
有一定的
难度．
点评：
10
．如图
1
，直角∠
EPF
的顶点和正方形
ABC
D
的顶点
C
重合，两直角边
PE
，
PF
分别和
AB
，
AD
所在的直
线交于
点
E
和
F
．易得
△
PBE
≌
△
PDF
，故结论
“
PE=PF
”
成立；
（
1
）如图
2
，若点
P
在正方
形
ABCD
的对角线
AC
上，其他条件不变，
（
1
）
中的结论是否仍然成立？说明理由；
（
2
）如图（
3
）将（
2
）中正方形
ABCD
改为矩
形
ABCD
其他条件不变，若
AB=m
，
BC=n
，直接写出
的值．
考点
：
正方
形的性质；
垂线；
全等三角
形的判定与
性
质．
（
1
）过点
P
分
别
作
AB
、
AD
的
垂线，
垂足分别
为
< br>G
、
H
，有材
< br>料提供的证明
思路可证明
△
PG
E
≌
△
PHF
，
再
根据全等三角
形的性质：
对应
边相等可得：
PE=PF
< br>；
（
2
）有（
1
）证
题思路可知方
形
ABCD
改为
矩形<
/p>
ABCD
其
他条件不变，
则
△
PGE
∽
△
PHF
，
再
根据相似三角
形的性质：
对应
边的比值相等
分析：
可得：
的比
解答：
值．
解：
（
1
）成立．
证明如下：
如图，
< br>过点
P
分
别作
< br>AB
、
AD
的
< br>垂线，
垂足分别
为
G
、
H
，
则∠
GPH=90
°
，
PG=PH
，
∠
PG
E=
∠
PHF=9
0
< br>°
，
∵
∠
EPF=90
°
，
∴
∠
1=
< br>∠
2
，
∴
△
PGE
≌
△
PHF
，
∴
PE=PF
；
（
2
）
．
点评：
本题是一个动
态几何题，
考查
了正方形性质、
矩形的性质、
全
等三角形的判
定以及性质，
三
角形相似的条
件和性质及进
行有条理的思
考和表达能力，
还考查按要求
画图能力．
11
．如图，边长一定的正方形
ABCD
，
Q
为
CD
上一个动点，
AQ
交
BD
于点
M
，过
M
作
MN
⊥
AQ
交
BC
于点
N
，
作
NP
⊥
BD
于点
P
，连接
NQ
，下列结论：①
AM=MN
；②
MP=
BD
；③
BN+DQ=
NQ
；④
的是（
）
为定值．其中一定成立
③
A
．
①
②
考点
：
④
B
．
①
②
正方形的性质；
全等三角形的
判定与性质；
确
定圆的条件．
动点型．
由题可知
A
，
B
，
N
，
M
四点共圆，
进而可得出
④
C
．
②
③
③
④
D
．
①
②
专题
：
分析：
∠
A
NM=
∠
NAM=
45
°
，
由等角对等
边知，
AM=MN
，
故①
正
确；
由同角的余角
相等知，
∠
HAM=
∠
PMN<
/p>
，
所以
Rt
△<
/p>
AHM
≌
Rt
△
M
PN
，
即可
得出结
论，故②
正确；
先由题意得出
四边形
SMWB
是正方形，
进而
证出
△
AMS
≌
△
NMW
，
因为
AS=NW
，<
/p>
所以
AB+BN=SB+B
W=2BW<
/p>
，而
BW
：
BM
=1
：
，所以
=
=
，故③
正确．
< br>因为
∠
BAN+
∠
QAD=
∠
NAQ=45
°
，在
∠
NAM
作
AU=AB=AD
，
且使
∠
BAN=
∠
NAU
，
∠
DAQ=
∠<
/p>
QAU
，
所以
△
ABN
≌
△
U
AN
，
△
DAQ
≌
△
UAQ
，
有
∠
UAN=
∠
UAQ=
90
°
，
BN=NU
，
DQ=UQ
，即
可
得出结论，故④
正确；
解：如图：作
AU
⊥
NQ
于
U
，
连接<
/p>
AN
，
AC
，<
/p>
∵
∠
AMN=
∠
ABC
=90
°
，
∴
A
，
B
，
N
，
M
四点共圆，
解答：
∴
∠
NAM=
∠
DBC
=45
°
，
∠
ANM=
∠
ABD=
45
°
，
∴
∠
ANM=
∠
NAM
=45
°
，
∴
由等角对等边
知，
AM=MN
，
故①
正确．
由同角的余角
相等知，
∠
HAM=
∠
PMN
，
∴
Rt
△
AHM
≌
Rt
△
MPN
∴
MP=AH=
AC
=
BD
，故②<
/p>
正
确，
如图，作
MS
⊥
A
B
，
垂足为
S
，
作
MW
⊥
B
C
，
垂足为
W
，
点
M
是对角线
BD
上
的点，
∴
四边形
SMWB
是正方形，有<
/p>
MS=MW=BS=
BW
，
∴
△
AMS
≌
△
NMW
，
∴
AS=NW
，
∴
AB+BN=SB+
BW=2BW
，
∵
BW
：
BM=1
：
，
∴
=
=
，故④
正确．
∵
∠
BAN+
∠
QAD
=
∠
NAQ=4
5
°
，
∴<
/p>
在∠
NAM
作
A
U=AB=AD
，
且使
∠
BAN=
∠
NAU
，
∠
DAQ=
∠
QAU
，
∴
△
ABN
≌
△
UAN
，
△
DAQ
≌
△
UAQ
，
有
∠
UAN=
∠
UAQ
，
BN=NU
，
DQ=UQ
，
∴
点
U
在
NQ
上，
有
BN+DQ=QU+U
N=NQ
，故③
正
确．
故选
D
．
点评：
本题利用了正
方形的性质，
四
点共圆的判定，
圆周角定理，
等
腰直角三角形
的性质
，
全等三
角形的判定和
性质求解．
12
．
（
1
）如图①
，
△
ABC
中，<
/p>
AB=AC
，∠
BAC=90
°
，点
D
为
BC
边上一点（与点
B
、<
/p>
C
不重合）
，连接
AD
，以
AD
为
一边且在
AD
的右侧作正方形
AD
EF
．可猜想线段
CF
，
BD
之间的数量关系是
相等
，位置关系是
垂直
；
<
/p>
（
2
）当点
D<
/p>
在线段
BC
的延长线时，如图②
，
（
1
）中的结论是否
仍然成立？如果成立，给出证明，如果不成立，说
明理由．
考点
：
正方
形的性质；
专题
：
分析：
解答：
全等三角形的
判定与性质；
等
腰直角三角形．
几何综合题．
（
1
）可通过证
明三角形
ABD
和三角形
ACF
全等来实现．
因
为
AD=AF
，
AB=AC
，
只要证
明∠
BAD=
∠
CAF
即可，
∠
BAD=90
°<
/p>
﹣
∠
DAC=
∠
FAC
，
这样就构成了
全等三角形判
定中的
SAS
，
△
ABD
≌
△
ACF
，
因此
BC=CF
，
∠
B=
< br>∠
ACF
，
因为
∠
B+
∠
ACB=90
°
，
那么
∠
ACF+ACD=90
°
，即
< br>FC
⊥
BC
，
< br>也就是
FC
⊥
BD
．
（
2
< br>）当点
D
在
BC
的延长线上
时①
的结论仍成
立
．由正方形
ADEF
的性质可
推出
△
DAB
≌
△
FAC
，
所以
CF
=BD
，
∠
ACF=
< br>∠
ABD
．
结合
∠
BAC=90
°
，
AB=AC
，得到
∠
B
CF=
∠
ACB+
∠
< br>ACF=90
度．即
CF
⊥
BD
．
解：
（
1
）
CF
与
BD
的数量关系
是
：
CF=BD
；
位置关系是：
CF
⊥
BD
；
故答案为：相
等、垂直．
（
2
）当点
D
在
BC
的延
长线上
时（
1
）中的结
论仍成立．
（
5
分）
理由如下：
由正方
形
ADEF
得
AD=AF
，
∠
DAF=90
°
．
∵
∠
BAC=90
°
，
∴
∠
DAF=
∠<
/p>
BAC
，
∴<
/p>
∠
DAB=
∠
F
AC
，
又∵
AB=AC
，
∴
△
DAB
≌
△
FAC
，
（
4
分）
∴
CF=BD
，
∠
ACF=
∠
ABD
．
（
6
分）
∵
∠
BAC=90
°
，
AB=A
C
，
∴
∠<
/p>
ABC=45
°
，
∴
∠
ACF=45
°
，
∴
∠
BCF=
∠
ACB+
∠
ACF=90
°
．即<
/p>
CF
⊥
BD
．<
/p>
本题中综合考
查了正方形的
性质，
全等三角
形的判定等知
识，
关键是证明
三角形全等，
判<
/p>
定两个三角形
全等，
先根据已
知条件或求证
的结论确定三
角形，
然后再根
据三角形全等
的判定方法，
< br>看
缺什么条件，
再
去证什么条件
．
点评：
13
．已知点
O
为正方形
ABCD
的中心，
M
为射线
OD
上一动
点（
M
与点
O
，
D
不重合）
，以线段
AM
为一边作正方
形
AMEF
，连接
FD
．
（
1
）当点
M
在线段
OD
上时（如图
1
）
，线段
BM
与
DF
有怎样的数量及位置关系？请判断并直接写出
结果；
（
2
）当点
M
在线段
OD
< br>的延长线上时（如图
2
）
，
（
1
）中的结论是否仍然成立？请结合图<
/p>
2
说明理由．
考点
：
<
/p>
正方形的性质；
全等三角形的
判定与性质
．
证明题；探究
型．
< br>（
1
）根据正方
形性质求出
AF=AM
，
AD=AB
< br>，
∠
FAM=
∠
DAB=9
0
°
，推出
∠
FAD=
∠
MAB
，
证
△
FAD
≌
△
MAB
，
推出
BM=DF
，
∠
FDA=
∠
ABD=4
专题
：
分析：
5
°
，求出
∠
ADB=45
°
即
可；
< br>（
2
）根据正方
形性质求出
AF=AM
，
AD=AB
< br>，
∠
FAM=
∠
DAB=9
0
°
，推出
∠
FAD=
∠
MAB
，
证
△
FAD
≌
△
MAB
，
推出
BM=DF
，
∠
FDA=
∠
ABD=4
5
°
，求出
∠
ADB=45
°
即
可．
解：
（
1<
/p>
）
BM=DF
，
BM
⊥
DF
理由是：∵
四边
形
ABCD
、
解答：
AMEF
是正
方
形，
∴
A
F=AM
，
AD=AB
，
∠
FAM=
∠
DAB=9<
/p>
0
°
，
∴
∠
FAM
﹣
∠
DAM=
∠
DAB
﹣∠
DAM
，
即
∠
FAD=
∠
MAB
，
∵
在
△
FAD
和
△
MAB
中
，
∴
△
FAD
≌
△
MAB
，
∴
BM=
DF
，
∠
FDA=
∠
ABD=4
5
°
，
∵
∠
ADB=45
°
，
∴
∠
FDB=45
°
+45
°
=90
°<
/p>
，
∴
BM
⊥
DF
，
即
BM=DF
，
BM
⊥
DF
．
（
2
）解：
成立，
理由是：∵
四边
形
ABCD
和
AMEF
均为正
方形，
∴
AB=AD
，
AM=AF
，
∠
BAD=
∠
MAF=
90
°
，
∴
∠
FAM+
∠
DAM
=
∠
DAB+
∠
DAM
，
即
∠
FA
D=
∠
MAB
，
∵
在
△
F
AD
和
△
MAB
中
，
∴
△
FAD
≌
△
MAB
，
∴
BM=DF
，
∠
ABM=
∠
ADF
，
由正方形
ABCD
知，
∠
ABM=
∠
AD
B=
45
°
，
∴
∠
BDF=
∠
ADB+
∠
ADF=90
°
，
即
BM
⊥
DF
，
∴
（
1
）中的结论
仍成立．
本题考查了
正
方形的性质和
全等三角形的
性质和判
定的
应用，
关键是求
出
△
FAD
≌
△
MAB
，
本题具有一定
的代表
性，
主要
培养学生运用
性质进行推理<
/p>
的能力和猜想
能力．
点评：
14
．以
△
A
BC
的各边，在边
BC
的同侧分别作三
个正方形．他们分别是正方形
ABDI
，
BCFE
，
ACHG
，试探究：
（
1
）如图中四
边形
ADEG
是什么四边形？并说明理由．
（
2
）当
△
ABC
满足什么条件时，四边形
A
DEG
是矩形？
（
< br>3
）当
△
ABC
满足什么条件时，四边形
ADEG
是正方形？
考点
：
正方
形的判定
与性质；
全等三
角形的判定与
性质；
平行四边
形的判定；
矩形
的判定．
（
1
）根据全等
三角形的判定
< br>定理
SAS
证得
△
BDE
≌
△
BAC
，
所以全等三角
分析：
解答：
形的对应边
< br>DE=AG
．
然后利
用正方形对
角
线的性质、
周角
的定义推知
∠
EDA+
∠
DAG=
180
°
，易证
ED
∥
GA
；
最后由
“
一组对边平行
且相等
”
的判定
定理证得结论；
（
2
）根据
“
矩形
的内角都是直
角
”
易证
∠
DAG=90<
/p>
°
．然
后由周角的定
义求得
∠
BAC=135
°
；
（
3
）由
“
正方形
的内角都是
直
角，
四条边都相
等
< br>”
易证
∠
DAG=90
°
，且
AG=AD
．由
□
ABDI
和
□
ACHG
的性质
证得，
AC=
AB
．
解：
（
1
）图中四
边形
ADEG
是
平行
四边形．
理
由如下：
∵
四边形
ABDI
、
四边形
BCFE
、
四边
形
ACHG
都是正方形，
∴
AC=AG
，
AB=B
D
，
BC=BE
，
∠
GAC=
∠
EBC=
∠
DBA=90
°
．
∴
∠
ABC=<
/p>
∠
EBD
（同为∠
EBA
的
余角）
．
< br>
在
△
BDE
< br>和
△
BAC
中，
，
∴
△
BDE
≌
△
BAC
（
SAS
）
，
∴
DE=AC=AG
，
∠
BAC=
∠<
/p>
BDE
．
∵<
/p>
AD
是正方形
ABDI
< br>的对角
线，
∴
∠
BDA=
∠
BAD
=45
°
．
∵
∠
EDA=
∠
BDE
﹣∠
BDA=
∠
BDE
﹣
45
°
，
∠
D
AG=360
°
﹣
∠
< br>GAC
﹣∠
BAC
﹣∠
BAD
=360
°
﹣
90
°
﹣
∠<
/p>
BAC
﹣
45
°
=225
°
﹣∠
BAC
∴
∠
EDA+
∠
DAG
=
∠
BDE
﹣
45
°
+225
°
﹣
∠
BAC=180
°
∴
DE
∥
AG
，
∴
四边形
ADEG
是平行四边形
（一组对边平<
/p>
行且相等）
．
（
2
）当四边形
ADEG
是矩形
时，
∠
DAG=90
°
．
则∠
BAC=360
°
﹣∠
BAD
﹣
∠
DAG
﹣
∠
GAC=360
°
﹣
45
°
﹣
90
°
﹣
90
°
=135
°
，
即当
∠
BAC=135
°
时，
平行四边形
ADEG
是矩形；
（
3
）当四
边形
ADEG
是正方
形时，
∠
DAG=90
°
，且<
/p>
AG=AD
．
由（
2
）知，当
∠
DAG=90
°
时，
∠
BAC=135
°
．
<
/p>
∵
四边形
ABDI
是正方形，
∴
AD=
AB
．
又∵
四边形
ACHG
是正方
形，
∴
AC=AG
，
∴
AC=
AB
．
∴
当∠
BAC=135
°
且
AC=
AB
时，四边形
AB
DI
是正方
形．
点评：
本题综合考查
了正方形的判
定与性质，
全等
三角形的判定
与性质，
平行四
边形的判
定与
性质等知识
点．解题时，注
意利用
隐含在
题干中的已知
条件：周角是
36
0
°
．
，则
AC
15
．在直角三角形
ABC
中，∠
C=90
°
，
BC=2
，以
AB
为边作正方形
ABDE
，连接
AD
、
BE
交
O
，
CO=
的长为（
）
A
．
2
B
．
3
4
C
．
D
．
考点
：
专题
：
分析：
全等三角形的
判定与性质；
勾
股定理；
正方
形
的判定与性质．
数形结合．
延长
CB
过点
D
作
CB
延长线的
垂线，
交点为
F
，
过点
O
作
OM
⊥
CF
，
先证明
RT
△
ACB
≌
RT
△
B
FD
，
然后分别
表
示出
OM
、
CM
的长度，在
RT
△
OCM
中利
用勾股定理可
得出
答案．
解答：
解：延长
CB
过
点
D
作
CB
延长
线的垂线，
交点
为
F
，
过点
O
作
OM
⊥
CF
，
则可得
OM
是
梯形
ACFD
的
中位线
，
∵
∠
AB
C+
∠
FBD=
∠
CAB+
∠
ABC=9
0
°
，
∴
∠
CAB=
∠
FBD
，
在
RT
△
ACB
和
RT
△
BFD
中，
∵
，
∴
RT
△
ACB
≌<
/p>
RT
△
BFD
，
∴
AC=BF
，
BC=DF
，
< br>设
AC=x
，则
OM=
，
CM=
=
，
=
在
RT
△
OCM
中，
OM
+CM
=OC
，即
2
（
2
2
2
2
）
点评：
=18
，
解
得：
x=4
，即
AC
< br>的长度为
4
．
故选
C
．
<
/p>
此题考查了正
方形的性质、
勾
股定理、
梯形的
中位线定理、
全
等三角形的判
定和性质，
解答<
/p>
本题的关键是
正确作出辅助
线，
构造全等三
角形，难度较
大．
< br>
16
．如图，已知正方形
ABCD
，点
E
是
BC
上一点，以
< br>AE
为边作正方形
AEFG
．<
/p>
（
1
）连接<
/p>
GD
，求证：
△
ADG
≌
△
ABE
；
（
2
）连接
FC
，求证：∠
FCN=45<
/p>
°
；
（
3
）请问在
AB
边上
是否存在一点
Q
，使得四边形
DQEF
是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理
由．
考点
：
正方
形的性质；
全等三角形的
判定与性质；
平
行四边形的判
定．
证明题；开放
专题
：
分析：
解答：
型．
（
1
）根据同角
的余角相等得
∠
DAG=
∠
BAE
，
再根据
“
SAS
”
证
得
△
ADG
≌
△
ABE
；
（
2
）
过
F
作
BN
的垂线，
设垂足
为
H
，首先证
△
ABE
、
△
EHF
全
等，然后得
AB=EH
，
BE=FH
；
然后
根
据
AB=BC=EH
，
即
BE+EC=EC+C
H
，
得到
CH=BE=FH
，
即
可得证．
（
3
）在
AB
上
取
AQ=BE
，连<
/p>
接
QD
，首先证
△
DAQ
、
△
ABE
、
△
ADG
三个三角
形全等，
易证得
AG
、
QD
平行且
相等
，又由于
AG
、
EF
< br>平行且
相等，
所以
QD
、
EF
平行且相等，
即
可得证．
证明：
（
< br>1
）∵
四
边形
< br>ABCD
和
四边形
AEFG
是正方形，
∴
D
A=BA
，
EA=GA
，
∴
∠
BAD=
∠
EAG=
90
°
，
∴
∠
DAG=
∠
BAE
，
∴
△
ADG
≌
△
ABE
；
（
2
）
过
F
作
BN
的垂线，
设垂足
为
H
，
∵
∠
BAE+<
/p>
∠
AEB=
90
°
，
∠
FEH+
∠
AEB=9
0
°
< br>，
∴
∠
BAE=
∠
HEF
，
∵
AE=EF
，
∴
△
ABE
≌
△
EHF
，
∴
AB=EH<
/p>
，
BE=FH
，
∴
AB=BC=EH
，
∴
BE+EC=EC+C
H
，
∴
CH=BE=FH
，
∴
∠
FCN=45
°
；
（
3
）在
AB
上
取
AQ=BE
，连
接
QD
，
∵
AB=AD
，
∴
△
DAQ
≌
△
ABE
，
∵
△
ABE
≌
△
EHF
，
∴
△
DAQ
≌
△
ABE
≌
△
ADG
，
∴
∠
GAD=
∠
ADQ
，
∴
AG
、
QD
平行
且相等，
又∵
< br>AG
、
EF
平
< br>行且相等，
∴
QD
、
EF
平行
且相等，
∴
四边形
DQEF
是平行四边形．
∴
在
AB
边上存
在一点
Q
，使得
四边形
DQEF
是平行四边形．