初二平行四边形的动点问题学案 (含答案经典)
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第十一讲平行四边形中的动点问题
时间：
年
月
日
刘满江老师
学生姓名：
一、兴趣导入
二、学前测试
1
．
如图，在平行四边形
ABCD
中
，下列结论中错误的是（
）
A
．
∠
1=
∠
2
B
．
∠
BAD=
∠
BCD
C
．
A
B=CD
D
．
A
C
⊥
BD
考点
：
平行四边形的性质．
分析：
根据平行四边形的性质，平行
四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．
解答：
解：
∵
在平行四边形
ABCD
中，
∴
AB
∥
CD
，
∴
∠
1=
∠
2
，故此选项正确，不合题意；
∵
四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
∠
BAD=
∠
BCD
，
AB=CD
，故
B
，
C
< br>选项正确，不合题意；
无法得出
AC
⊥
BD
，故此选项错误，符合题
意．
故选
D
．
点评：
此题主要考查了平行四边形的
性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．
2.
四边形
ABCD
中，对角线
A
C
、
BD
相交于点
O
，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
———————————————————————————————————————
————————————
1
励志
语录
:
既然选择了远方，就必须风雨兼程！
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从中任选两个条件，能使四边形
ABCD
为平行四边形的选
法有（
）
A
．
3
种
B
．
4
种
C
．
5
种
D
．
6
种
考点
：
平行四边形的判定．
分析：
根据题目所给条件，利用平行
四边形的判定方法分别进行分析即可．
①②
< br>组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形
ABCD
为平行四边
解答：
解：
形；
③
④
组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形
ABCD
为平行四边形；
①③
可证明
△
ADO
≌
△
CBO
，
进
而得到
AD=CB
，
可利用一组对边平
行且相等的四边形是平行四
边形判定出四边形
ABCD
为平行四边形；
①④
可证明
△
ADO
≌
△
CBO
，
进而得到
AD=CB
，
可利用一组对边平行且相等的四边形是
平行四
边形判定出四边形
ABCD
为平
行四边形；
故选：
B
．
点评：
此题主要考查了平行四边形的
判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
3.
如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，点
E
，<
/p>
F
分别
是边
AD
，
AB
的中点，
EF
交
AC
于点
H
，则
的值为（
）
A
．
1
B
．
C
．
D
．
考点
：
三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析：
根据三角形的中位线平行于第
三边并且等于第三边的一半求出
H
是
A
O
的中点，再根据平行四边
形的对角线互相平分可得
AO=CO
，然后求出
CH=3AH
，再求解即可．
解答：
解：
∵
点
E<
/p>
，
F
分别是边
A
D
，
AB
的中点，
∴
AH=HO
，
∵
平行四边形
ABCD
的对角线
AC
、
B
D
相交于点
O
，
∴
AO=CO
，
< br>
∴
CH=3AH
，
∴
=
．
故选
C
．
三、方法培养：
知识要点：
平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
———————————————————————————————————————
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2
励志
语录
:
既然选择了远方，就必须风雨兼程！
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平行四边形的性质：边：对边平行且相等
角：内角和为
______,
外角和
___________
，
邻角
______,
对
角
__________
对角线：互相平分
平行线之间的距离
：若两条直线互相平行，则其中一条直线上
任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离
叫
性质：平行线之间的距离处处相等。
推广：夹在两条平行线之间平行线段相等
平行四边形的判定：
定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
定理
1
：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
定理
2
：两组对边分
别相等的四边形是平行四边形
定理
3
：对角线互相平分的四边形是平行四边形
定理
4
：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例
1
1
．
如图所示，
在直角梯形
ABCD
中，
AD∥BC，
∠A=90
°，
AB=12
，
BC=21
，
AD=16
．
动点
P
从点
B
出发，沿射线
BC
的方向以每秒
2
个单位长的速度运动，动点
Q
< br>同时从点
A
出发，在线段
AD<
/p>
上以每秒
1
个单位长的速度向点
D
运动，当其中
一个动点到达端点时另一个动点
也随之停止运动．设运动的时间为
t
（秒）
．
（
1
）当
t
为何值时，四边形
PQCD
的面积是梯形
ABCD
的面积的一半；
（
2
）
四边形
PQCD
能为平行四边形吗？如果能，<
/p>
求出
t
的值；
如
果不能，
请说
明理由．
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3
励志语录
:
既然选择了远方，就必须风雨兼程！
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（
3
）
四边形
PQCD
能为等腰梯形吗？如果能，求出
t
的值；如果不能，请说明
理由．
考点
：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。
专题
：动点型。
分析：
（
1
）根据：路程
=
速度×时间，表示线段的长度，再利用：
S<
/p>
梯形
ABPQ
=S
梯形
PQDC
，列方程求解；
（
2
）只要能满足
DQ=PC
即可，由此建立等量关系，列方程求解；
（
3
）当四边形
PQC
D
为等腰梯形时，作
PE⊥BC，DF⊥BC，垂足为
E
、
F
，需
要满足
QE=CF
，
由此建立等量关系，列方程求解．
解
答：
解：
（
1
）
由已知得：
AQ=t
，
QD=16
﹣
t
，
PC=21
﹣
2t
，<
/p>
依题意，得
解得
；
BP=2t
，
< br>（
2
）能；当四边形
PQDC<
/p>
为平行四边形时，
DQ=PC
，即
16
﹣
t=21<
/p>
﹣
2t
解得
t=
5
；
（
3
）不能
作
QE⊥BC，DF⊥BC，垂足为
E
、
F
，
当四边形
PQCD
为等腰梯形时，
PE=CF
，
即
t
﹣
2t=21
﹣
16
解得
t=
﹣
5
，不合实际．
点评：
本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列<
/p>
方程求解的问题．
—————————
——————————————————————————————————————————
< br>
4
励志语录
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变式练习
：
如图所示，在直角梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠A=90°，
AB=12
，
BC=21
，
AD=
16
．动点
P
从点
B
出发，沿射线
BC
的方向以每秒
2
个单位长的
速度运动，动点
Q
同时从点
A
出发，在
线段
AD
上以每秒
1
< br>个单位长的速度向
点
D
运动，当
其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的
时间为
< br>t
（秒）
．
< br>（
1
）设△DPQ
的面积为
S
，求
S
与
t
之间的函数关系式；
（
2
）当
t
为何值时，四边形
PCDQ
是平行四边形？
< br>
（
3
）
分别求出当
t
为何值时，
①PD=P
Q，
②DQ=PQ．
考点
：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性
质。
解答：
（
1
）解：直角梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠A=90°，<
/p>
BC=21
，
AB=12
，
AD=16
，
依题意
AQ=t
，
BP=
2t
，则
DQ=16
﹣
t
，
PC=21
﹣
2t
，
过点
P
作
PE⊥AD
于
E
，
则四边形
ADPE
是矩形，
PE=AB=12
，
∴S
△DPQ<
/p>
=
DQ•AB=
（
16
﹣
t
）×12=﹣
6t+96
．
（
2
）当四边形
PCDQ
是平行四边形时，
PC=DQ
，
∴21﹣
2t=16
﹣
t
解得：
t=5
，
∴当
t=5
时，四边形
PCDQ
是平行四边形．
（
3
）∵AE=BP=2t，
PE=AB=12
，
①当
PD=PQ
时，
QE=ED=AQ=t
，
————————————————————
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5
励志语录
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∴AD=3t
即
16=3t
，解得：
t=
，∴当
t=
时，
< br>PD=PQ
②当
DQ=PQ
时
，
DQ
2
=PQ
2
∴t
2
+12
2
=
（
16
﹣
t
）
2
解得：
t=
∴当
t=
时，
DQ=PQ
☆专题
2
：平行四边形的证明
【例
2
】
如图，在直角梯形
ABCD
中，∠B=90°，AD∥BC，且
AD=4cm
，
AB=6cm
，
DC=10cm
．
若动点
P
从
A
点出发，
< br>以每秒
4cm
的速度沿线段
AD
、
DC
向
C<
/p>
点运动；
动点
Q
从
C
点出发以每秒
5cm
的速度沿
CB
向
B
点运动．
当
Q
点到达<
/p>
B
点时，动点
P
、
Q
同时停止运动．设点
P
、
Q
同时出发，并运动了
t
秒，
（
1
）直角梯形
ABCD
的面积为
cm
2
；
（
2
）当
t=
秒时，四边形
PQCD
成为平行四边形？（
3
）当
t=
秒时，<
/p>
AQ=DC
；
（
4
）是否存在
t
，使得
P
点在线段
DC
上且
PQ⊥DC？若存在，求出此时
t
的
值；若不存在，说明理由．
考点
：直角梯形；平行四边形的判定。
解答：
解：
（
1
）作
DM⊥BC
于点
M
．则四边形
ABMD
是平行
四边形
∴DM=AB=6cm．在直角△CDM
中，
CM=
=8cm∴BC=BM+CM=4+8=
12cm
∴直角梯形
ABCD
的面积为
（
AD+BC
）•AB=48cm
2
；
（
2
）当
PD=CQ<
/p>
时，四边形
PQCD
成为平行四边形即<
/p>
4
﹣
5x=4x
解得
x=
；
（
3
）
BQ=12
﹣
5x
在直角△ABQ
中，
AB
2
+BQ
2
=AQ
2
即
6
2
+
（
12
﹣
5x
）
2
=10
2
解
得
x=
；
——————
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6
励志语录
:
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……………………………………………
（
4
）存在，
．连接
QD
，则
CP=14
﹣
4t<
/p>
，
CQ=5t
若
QP⊥CD，
S
△DQC
=S
△DQC
，有
CQ×AB=CD×QP
得
QP=3t
在<
/p>
RtS
△QPC
中
QP
2
+PC
2
=CQ
2
，即（
3t
）
2
+
< br>（
14
﹣
4t
< br>）
2
=
（
5t
）
2
解之得
求得
BC=12CP=14
﹣<
/p>
4t=7
＜
10CQ=5t=
＜
12
所以，存在
t<
/p>
，使得
P
点在线段
DC
上，且
PQ⊥DC．
变式练习
如图，在直角梯形
ABCD
中，∠B=90°，AD∥BC，且
AD=4cm
，
AB=6cm
，
DC=10cm
．若动点
P
从
A
点出发，以每秒
4cm
的速度沿线段
AD
、
DC
向
C
点
运动；动点
Q
从
C
点出发以每秒
5cm
的速度沿
CB
向
B
点运动．当
Q
点到
达
B
点时，动点
P
、
Q
同时停止运动．设点
P
、
Q
同时出发，并运动了
t
秒，
< br>
（
1
）这个直角梯形
ABCD
的面积是多少？
（
2
）当
t
为何值时，四边形
PQCD
成为平行四边
形？
（
3
）是否存在
t
，使得
P
点在线段
DC
上且
PQ⊥D
C？若存在，求出此时
t
的值，若不存在，说明理由．
分析：
（
1
）作
DM⊥BC
于点
M
，在直角△CDM
中，根据勾股定理即可求得
< br>CM
，得到下底边的长，根据梯形面积公式即可求解．
（
2
）当
PD
=CQ
时，四边形
PQCD
成为平行四
边形．
（
3
）连接
QD
，根据
S
< br>△DQC
=S
△DQC
，即可求
解．
解答：
解：
（
1
）作
DM⊥BC
于点
M
．则四边形
ABMD
是平行四边形，
—————————
——————————————————————————————————————————
< br>
7
励志语录
:
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∴DM=AB=6cm
．在直角△CDM
中，
CM=
=8cm
，
∴BC=BM+CM=4+8=1
2cm，∴直角梯形
ABCD
的面积为
（
AD+BC
）
•AB=48cm
2
；
二、当
PD=CQ
时，四边形
PQCD
成为平行四边形，即
4
﹣
5x=4x
，解得
x=
；
（
3
）存在，
．
连接
QD
，则
CP=14
﹣
4t
，
CQ=5t
，
若
QP⊥CD，
S
△DQC
=S
△DQC
，有
CQ×
AB=CD×QP，即
5t×6=10×QP，
得
QP=3t
，在
RtS<
/p>
△QPC
中，
QP
2
+PC
2
=CQ
< br>2
，即（
3t
）
2
+
（
14
< br>﹣
4t
）
2
=
（
5t
）
2
解之得
，求得
BC=12
，
CP=14
﹣
4t=7
＜
10
，
CQ=5t=
＜
12
，
所以，存在
t=
时，使得
P
点在线段<
/p>
DC
上，且
PQ⊥DC．
☆专题
3
：三角形的中位线
定理
：三角形的中位线平行于第三边
（不与中位线接触），并且等于第三
边的一半。
逆定理一：
在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半
的线段
是三角形的中位线。
逆定理二
：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的
中位线。
【例
3
】直角三角形
AOB
在平面直角坐标系中如图
所示，
O
与坐标原点重合，点
A
在
x
轴
—————————————————————————————————————————————
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8
励志语录
:
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…………………………………………………
上，点
B
在
y
轴上，
OB=2
，∠BAO=30°，将
< br>△AOB
沿直线
BE
折叠，使得
OB
边落在
AB
上，点
O
与点
D
重合．
（
1
）求直线
BE
的解析式；
（
2
）求点
D
的坐标；
（
3
）点
P
是
x
轴上的动点，使△PAB
是等腰三角形，直接写出
P
点的坐标；
（
4
）
点
M
是直线
BE
上的动点，
过
M
点作
AB
的平行线交
y
轴于点
N
，
是否存
在这样的点
M
< br>，使得以点
M
、
N
、
D
、
B
< br>为顶点的四边形是平行四边形？如果存
在，请求出所有
M
点的坐标；如果不存在说明理由．
考
点
：一次函数综合题；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式。
专题
：计算题。
分析：
先利用直角三角形的性质（直角三角形中，如果有一个角是
30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半．
）和勾股定理求出点的坐标
E
（﹣
2
，
0
）
，<
/p>
进一
步用待定系数法求出一次函数的解析式
y=
解答：
解：
（
< br>1
）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿
BE
折叠
O
．
D
重合
∴∠EBO=30°，
OE=
BE
，
———————————————————————————————————————
————————————
9
x+2
．
励
志语录
:
既然选择了远方，就必须风雨兼程！
< br>
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设
OE=x
，
则（
2x
）
2
=x
2
+
，<
/p>
∴x=2，
即
BE=4
，
E
（﹣
2
，
0
）
，
设
Y=kx+b'
代入得；
解得
，
<
/p>
∴直线
BE
的解析式是：
，
（
2
）过
D
作
DG⊥OA
于
G
，
< br>
∵沿
BE
折叠
O′D
重合，
∴DE=2，
∵∠DAE=30°
∴∠DEA=60°∠ADE=∠BOE=90°，
∴GE=1，
DG=
，
∴OG=1+2=3，
∴D
的坐标是：
D
；
—————————————————————————————————————————
——————————
励志语录
:<
/p>
既然选择了远方，就必须风雨兼程！
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（
3
）
P
1
（﹣
2
，
0
）
；
P
2
（
6
，
0
）
；
；
；
（
4
）存在．
①过
D
作
DM
⊥Y
轴交
BE
于
M
，过
M
作
AB
平行线交
Y
轴于
N
，
M
1
则
M
的横
坐标是
x=
﹣
3
，代入直线
BE
的解析式得：
y=
﹣
，
）
，
）
，
）和（
3
，
5
）
．
∴M
1
（﹣
3
，﹣
②同法可
求
M
2
（
3<
/p>
，
5
∴M
点的坐
标是：
（﹣
3
，﹣
变式练习
直线
y=- 34x+6
与坐标轴分别
交于
A
、
B
两
点，动点
P
、
Q
同时从
O
点出发，同
时到达
A
点，运动停止．点
Q
沿线段
OA
运动，速度为每秒
1
个单位长度，点
P
————————————
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沿路线
O
⇒
B
⇒
A
运动．
（
1
）直接写出
A
、
B
两点的坐标；
（
2
）设点
Q
的运动时间
为
t
（秒）
，△
OPQ
的面积为
S
，求出
S
与
t
之间的函数关系式；
（
3
）当
S= 485
< br>时，求出点
P
的坐标，并直接写出以点
< br>O
、
P
、
Q
为顶点的平行四边形的第四个
顶点
M
的坐标．
分析：
（
1
）分别令
y=0
，
x=0
，即可求出
A
、
B
的坐标；
（
2
）
）因为
OA=8
，<
/p>
OB=6
，利用
勾股定理可得
AB=10
，
进而可求出点
Q
由
O
到
A
的时间是
8
秒，
点
P
的速度是
2
，
从而可求出，当
P
在线段
OB
上运动（或
0≤t≤3）时，
OQ=t
，
OP=2t
，
S=t2
，当
P
在线段
BA
上运动（或
3
＜t≤8）时，
OQ=t
，
AP=6+10-2t=16-2t
，作
PD
⊥
OA
于
点
< br>D
，由相似三角形的性质，得
PD=48-6t5
，利用
S=
12
OQ×PD，即可求出答案；
（
3
）令
S= 485
，求出
t
的值，进而求出
OD
、
PD<
/p>
，即可求出
P
的坐标，利用平
行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出
M
< br>的坐标．
解答：
解：
（
1<
/p>
）
y=0
，
x=
0
，求得
A
（
8
，
0
）
B<
/p>
（
0
，
6
）
，
（
2
）∵
OA=8
，
OB=6
，∴
AB=10
．∵
< br>点
Q
由
O
到
A
的时间是
81=8
（秒）
，
∴点
P
的速度是
6+108=2
（单位长度
/
秒）
．
当
P
在线段
OB
上运动（或
O≤t≤3）时，
OQ=t
，
OP=2t
，
S=t
2
．当
P
在线段
BA
上运动（或
3
＜t≤8）时，<
/p>
OQ=t
，
A
P=6+10-2t=16-2t
，如图，做
PD
⊥
OA
于点
D
，由
PDBO=APAB
，得
PD=
——
—————————————————————————————————————————————————<
/p>
12
励志语录
:
既然选择了远方，就必须风雨兼程！