多次相遇和追及问题(小学初中)题库教师版.doc
-
教学目标
1.
学会画图解行程题
2.
能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3.
能够利用比例解多人相遇和追及问题
知识精讲
板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕“
路程
速度
时间
”这一条基本关系式展
开的，多人相遇与追及问
题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的
数量，问题即可迎刃而解．
【例
1
】
（难度
等级※）
甲、
乙两名同学在周长为
30
0
米圆形跑道上从同一地点同时背向练
习跑步，甲每秒钟跑
3.5
米，乙每秒钟跑
4
< br>米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到
出发点？
< br>
【解析】
从
开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的
10
倍，为
300
10
3000
米，因为甲的速度为
每秒钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
4
米，所以这段
3.5
时间内甲共行
了
3000
1400
米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了
200<
/p>
米，可知甲
3.5
4
还需行
300
200
100
米才能回到出
发点．
【巩固】
< br>（难度等级※）甲乙两人在相距
90
米的直路上来回跑步
，甲的速度是每秒
3
米，乙的速度是每秒
2
米．如果他们同时分别从直路两端出发，
10
分钟内共相遇几次？
【解析】
1
7
【巩固】
（难度等级※）甲、乙两人
从
400
米的环形跑道上一点
A
背向同时出发，
8
分
钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走
0.1
米，那么两
人第五次相遇的地点与点
A
沿跑道
上的
最短路程是多少米
?
【解析】
1
76
二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例
2
】
（难度
等级※※）上午
8
点
8
分，小明骑自行车从家里出发，
8
分钟后，爸爸骑摩<
/p>
托车去追他，在离家
4
千米的地方追上了
他
.
然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，
再追上小明的时候，离家恰好是
8
千米，这时是
几点几分？
【解析】
画
一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了<
/p>
8-4
＝
4
（千
米）
.
而爸爸骑的距
离是
4
＋
8
＝
< br>12
（千米）
.
这就知道，爸
爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的
12
÷
4
＝
3
（倍）
.
按照这个倍数计算，
小明骑
8
千米，爸爸可以骑行
8
×
3
＝
24
（千米）
.
但事实上，爸爸少用了
8
< br>分钟，骑行了
4
＋
12
＝
16
（千米）
. <
/p>
少骑行
24-16
＝
8
（千米）
.
摩托车的速度是
8
÷
8=1
（千米
/
分）
，爸爸骑行
16
千米需要
16
分
钟
.
8
＋
8
＋
16
＝
< br>32.
所以这时是
8
点
32
分。
【例
3
】
（难度
等级※※）甲、乙两车分别同时从
A
、
B
两地相对开出，第一次在离
A
地
95
千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次
在离
B
地
25
千米处相遇．求
A
、
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库
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教师版
B
两地间的距离是多少千米？
【解析】
画
线段示意图
(
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路
线
)
：
<
/p>
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
A
、
B
两地间距离，
第二次相遇意味着
两车共行了三
个
A
、
< br>B
两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个
A
、
B
两地间的距离时，甲车行了
< br>95
千米，当
它们共行三个
A<
/p>
、
B
两地间的距离时，甲车就行了
3
个
95
千米，即<
/p>
95
×
3=285
（千米），而这
285
千米比一个
A
、
B
两地间的距离多
< br>25
千米，可得：
95
×
3-25=285-25=260(
千米
)<
/p>
．
【巩固】
（难度级别※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而
行，他们第一次相遇地点离
A
地
4<
/p>
千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在
距<
/p>
B
地
3
千米处第
二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
.
【解析】
4
×
3=12
千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来
那一段，就是距
B
地
的
3
千米，所以全程是
12-3=9
千米，所以两次相遇点相距
9-
（
3+4
）
=2
千米。
< br>
【巩固】
（难度等级※※）
甲、乙二人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而
行，他们第一次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继
续前进，走到对方出发点后立即返回，在
距
B
< br>地
5
千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级※※）甲、乙二
人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而
行，他们第一次相遇地点离
A
地
6
千米，相遇后二人继续前进，
走到对方出发点后立即返回，在
距
B
地
4
千米处第二次相遇，求两人第
5
次相遇地点距
B
多远
.
【解析】
1
2
千米
【巩固】
（难度等级※※）甲、乙二
人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而
行，他们第一次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，
走到对方出发点后立即返回，在
距
B
地
3
千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米
.
【解析】
9
0
千米
【巩固】
（难度等级※※）甲、乙二
人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而
行，他们第一次相遇地点离
A
地
3
千米，相遇后二人继续前进，
走到对方出发点后立即返回，在
距
B
地
2
千米处第二次相遇，求第
2000<
/p>
次相遇地点与第
2001
次相遇地点之间
的距离
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级※※）甲、乙二
人以均匀的速度分别从
A
、
B
两地同时出发，相向而
行，他们第一次相遇地点离
A
地
18
千米，相遇后二人继续前进
，走到对方出发点后立即返回，
在距
B
地
13
千米处第二次相遇，求
AB
两地之间的距离
.
【解析】
4
1
千米
【例
4
】
（难度
等级※※※）
如图，
甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点
同时开始以
匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了
10
0
米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前
60
米处又第二次相遇
.
求此圆形场地的周长．
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库
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教师版
【解析】
注
意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
相遇时，甲
乙共走完
1+
1
圈的路程，当甲、乙第
二次
2
1
3
＝
圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为
1
：
3
，
2
2
因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的
3
倍，即
100
×
3=300
米．有
3
< br>甲、乙第二次相遇时，共行走
(1
圈－
< br>60)+300
，为
圈，所以此圆形场地的周长为
480
米．
2
【巩固】
（难度等级※※※）如图，
A
、
B
是圆的直径的两端，小张在
A
点，小王在<
/p>
B
点
同时出发反向行走，他们在
C
点第一次相遇，
C
离
A
点
80
米；
在
D
点第二次相遇，
D
点离
B
点
6O
米
.
求这个圆的周长
.
【解析】
3
60
【巩固】
A
、
B
是圆的直径的两端，甲在
A
点，乙在
B
点同时出发反向而行，两人在
C
点
第一次相遇，在
D
点第二次相遇．已知
C
离
A
有
75
米，
D
离
B
有
55
米，求这个圆的周长是多少
米？
【解析】
3
40
三、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个
全程；
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………，………………；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了第
1
次，剩下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次
都走
2N
米。
2.
同地同向出发：第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇，共走<
/p>
4
个全程；
第
3
次相遇，共走
6
个全程；
…………，………………；
第
N
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差
3-
1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库<
/p>
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教师版
【例
5
】
小明和
小红两人在长
100
米的直线跑道上来回跑步，
做体能训练，
小明的速度为
6
米
/
秒，小红的速度为
4
米
/
秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了
12
分钟．在这段时间内，
他们迎面相遇了多
少次？
（
6
4
）
10
(
秒
)
．
此后，
【解析】
第
一次相遇时，
两人共跑完了一个全程，
所用时间为：
100
两人每相遇一
次，就要合跑
2
倍的跑道长，也就是每
20
秒相遇一次，除去第一次的
10
秒
，两人
共跑了
12
< br>60
10
< br>710
(
秒
)
< br>．
求出
710
秒内两人相遇的次
数再加上第一次相遇，
就是相遇的总次
（
6
4
）
10
(
秒
)<
/p>
，
（
12
60
10
）
（
10
2
）
35
10
，
共相遇
35
1
36
(
次
)
。
数．
列式计算为：
100
注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
【例
6
】
A
、
B
两地间有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B
地，乙骑
摩托车从
B
地出发，
不停地往返于
A
、
B
两地之间，
他们同时出发，
80
分钟后两人第一次相遇，
< br>100
分钟后乙第一次
追上甲，问：当甲到达
B
地时，乙追上甲几次？
甲
A
F
E
B
乙
由上图容易看出：在第一次相遇与
第一次追上之间，乙在
100
80<
/p>
20
(
分钟<
/p>
)
内所走的路程
恰等于线段
FA
的长度再加上线段
AE
的长度，即等于甲在
(
80
100
)
分钟内所走的路程，因此，
乙的速度是甲的
9
倍
(<
/p>
180
20
)
，则
BF
的
长为
AF
的
9
倍，所以，甲从
A
到
B
，共需走
80
(1
9)
800
(
分钟
)
乙第一次追
上甲时，
所用的时间为
100
分钟，<
/p>
且与甲的路程差为一个
AB
全
程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个
AB
全程，因此，追及时间也变为
200
分钟
(
100
2
)
，所以，在甲从
A
到
B
的
80
0
分钟内，乙共有
4
次追上甲，即在第
100
分钟，
300
< br>分钟，
500
分钟和
700
分钟．
【例
7
】
（难度
等级※※※）甲、乙两人分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行，乙的速度
2
是
甲的
，二人相遇后继续行进，甲到
B
地
、乙到
A
地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点
3
距第三次相遇的地点是
100
< br>千米，那么，
A
、
B
两地相距千米．
【解析】
由于甲、乙的速度比是
2
:
3
，所以在相
同的时间内，两人所走的路程之比也是
2
:
3
．第一次相遇时，两人共走了一个
AB
< br>的长，所以可以把
AB
的长看作
5
份，甲、乙分别走了
2
份和
3
份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个
AB<
/p>
，乙走了
2
3
6
份；第三次相遇时，甲、乙
共走了五个
AB
，乙走了
2
5
10
份．乙第二次和第三次相距
10
－
6=4
（份）所以一份距离为：
100
÷
4=25
（千米）
< br>，那么
A
、
B
< br>两地距离为：
5
×
25
＝
125
（千米）
【巩固】
（难度等级※※※）小王、
小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从
乙地同时出发，
相向而行，
两人第一次在距甲地
3
千
米处相遇，
第二次在距甲地
6
千米处相
遇
(
追
上也算作相遇
< br>)
，则甲、乙两地的距离为千米．
【解析】
由
于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也
算相遇，
所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①
如果第二次相遇为迎面相遇，
如下图所示，
两人第一次在
A
处相遇，
第二次在
B
处相遇．
由
于第一次相遇时两人合走
1
个全程，小王走了
3
千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走
2
个全程
，所以这期间小王走了
3
2
6
千米，由于
A
、
B
之间的距离也是
3
千米，所以
B
与乙地
的距离为
(6
3)
2
1.5
千米，甲、乙两地的距离为
6
1.5
7.5
千米；
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库
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4 of 13
教师版
第一次相遇
第一次追上
王
甲
A
B
李
< br>乙
王
甲
A
B
李
乙
②
如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在
A
处相遇，
相遇后小王继续向前走，
小李走到甲地后返回，
在
B
处追上小王．
在这个过程中，
小王走了
6
3
< br>
3
千米，
小李走了
6
3
9
千米，两人的速度比为
3
:
9
1:
3<
/p>
．所以第一次相遇时小李也走了
9
千米，
甲、乙两地的距离为
9
3
12
千米．
所以甲、乙两地的距离为
7.5
千米或
12
千米．
【巩固】
（难度级别※※※）
A
，
B
两地相距
540
千米。甲、乙两车往返行驶于
A
，
B
两
地之间，都
是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从
A
地
出发后第一次和第二
次相遇都在途中
P
地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
【解析】
第
一次相遇，甲乙总共走了
2
个全程，第二次相遇，甲乙总共走了
4
个全程，乙比
甲快，相遇又在
P
点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙
从第一个
P
点到第二个
P
点，路程正好是第一次的路程。所以假设一个全程为
3
份，第一次相遇甲走了
2
份乙走了
4
份。第二次相遇，乙正好走了
1
份到<
/p>
B
地，又返回走了
1
份。这样根据总结：
2
个全
程里乙
走了（
540
÷
3
）×
4=180
×
4=720
千米，乙总共走了
720
×
3=2160
千米。
【例
8
】
（难度
级别※※※）
小张与小王分别从甲、
乙两村同时出发，
在两村之间往返行走
（到达另一村后就马上返回）
，他们在离甲村
3.5
千米处第一次相遇，在离乙村
2
千米处第二次
相遇
.
问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
【解析】
画
示意图如下
.
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的
3
倍，因此张走了
3.5<
/p>
×
3
＝
10.5
（千米）
.
从图上可看出，第二次相
遇处离乙村
2
千米
.
< br>因此，甲、乙两村距离是
10.5-2
＝
8.5
（千米）
.
每次要再相遇，
两人就要共同再走甲、
乙两村
距离
2
倍的路程
.
第四次相遇时，
两人已共同走
了两村距离（
3
＋
2
＋
2
）倍的行程
.
其中张走了
3.5
×
7
＝
24.5
（千米）
，
24.5=8.5
＋
8.5
＋
7.5
（千米）<
/p>
.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1
（千米）
.
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库
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13
教师版
答：第四次相遇地点离乙村
1
千米
.
四、解多次相遇问题的工具——柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间
-
距离图，再画上密密麻麻的交叉线，
按要求数交点个数即可完成。折线
示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”
，
“相遇
的地点”
，以及“由相遇的地点求出全程”
，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一
个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例
9
】
（难度
级别※※※）
每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，
且每天同一
时刻也有一
艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开
出的轮船在到达纽
约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】
这
就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡〃斯图姆给出的一个非常直观
巧妙的解
法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈
佛，另一条直线表示纽约．那
么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇
来表示．图中的每条线段分别表示每
条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上
的航行，它与其他线段的交点即为与对方开
来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的
15
艘轮船相遇（图中用虚线表示）
．
而且在这相遇的
15
艘船中，有
1
艘是在出发时遇到（从纽约刚
到达哈佛）
，
1
艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出）
，剩下
13
艘则在海上相遇；另外，还可从
图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．
如果
不仔细思考，可能认为仅遇到
7
艘轮船．这个错误，主要是只考
虑以后开出的轮船而忽
略了已在海上的轮船．
【巩固】
（难度级别※※※）一条电
车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔
5
分钟有一辆
电车从甲站发出开往乙站，
全程要走
15
分钟．
有一个人从乙站出发沿电车线路骑车
前往甲站．
他出发的时候，
恰好有一辆电车到达乙站．
在
路上他又遇到了
10
辆迎面开来的电车．
到
达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？
【解析】
先
让学生用分析间隔的方式来解答：
骑车人一共看到
12
辆车，
他出发时看到的是
15
分钟前发的车，
此时第
4
辆车正从甲发出．
骑
车中，甲站发出第
4
到第
12
辆车，共
9
辆，有
8
个
5
分钟的
间隔，时间是
5
8
< br>
40
（分钟）
．
再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：
第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔
5<
/p>
分钟有一辆电车从甲站出
发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离
划分，每一小段表示
5
分钟．
第二步：因为电车走完全程要
15<
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分钟，所以连接图中的
1
号点与
P
点（注意：这两点在水平
3-1-3.
多次相遇与追及问题
.
题库
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