四年级相遇与追及问题
-
相遇与追及
知识框架
一、相遇
甲从
A
地到
B
地，
乙从
B
地到
A
地，
然后两人在途中相遇，
实质上是甲和乙一起走了
A
,
B
之间这
段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程
+
乙走的路程＝甲的速度
×相遇时间
+
乙的速度×相遇时间
<
/p>
＝（甲的速度
+
乙的速度）×相遇时间<
/p>
＝速度和×相遇时间
.
一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间
=
路程和，即
S
和
=
V
和
t
二、追及
有两个人同时行走，
一个走得快，
一个走得慢，
当走得慢的在前，
走得快的过了一些时间就能追上他
.
这
就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是
要计算两人走的路程之差（追及路程）
.
如果设甲
走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程
＝甲走的路程
-
乙走的路程＝甲的速度×追及时间
-
乙的速度×追及时间
＝
（甲的速度
-
乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间
.
一般地，追
击问题有这样的数量关系：追及路程
=
速度差×追及时间，即<
/p>
S
差
=
V
差
t
例如：假设甲
乙两人站在
100
米的跑道上，甲位于起点
(0
米
)
处，乙位于中间
5
米处，经过时间
t
后
甲乙
同时到达终点，甲乙的速度分别为
v
甲
和
v
乙
，
那么我们可以看到经过时间
t
后，甲比乙多跑了
5
米，或者
可以说，在时间
t
内甲的路程比乙的路程多
5
米，甲用了
时间
t
追了乙
5
米
三、相遇和追及
在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)
在整个被研究的运动过程中，
2
个物体所运行的时间相同
(2)
在整个运行过程中，
2
个物体所走的是同一路径。
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例题精讲
【例
1
】
聪
聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走
20
米，聪聪
骑着脚踏车每分钟比明明快
42
米，经过
20
分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
方
法一：由题意知聪聪的速度是：
20
42
62
(
米
/
分
)
，两
家的距离
明明走过的路程
聪聪走
过的路程
20
20
62
20
400
1240
1640
(
米
)
，请教师画图帮助学生理解分析．
？
聪聪
20
分钟后相遇
明明
注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：
S
和
v
和
t
．
对于刚刚学习奥数的孩子，
注意引导他们认识、理
解及应用公式．
方法二：直接利用公式：
S
和
v
和
t
（
20
62
）
<
/p>
20
1640
(
米
)
．
<
/p>
【答案】
1640
米
【巩固】
< br>A
、
B
两地相距
90
米，包子从
A
地到
B
地需要
30
秒，菠
萝从
B
地到
A
地需要
15
秒，现在包子
和菠萝从
A
、
B
两地同时相
对而行，相遇时包子与
B
地的距离是多少米？
< br>
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
包
子
的
速
度
：<
/p>
90
30
<
/p>
3
(
米
／
秒
)
，
菠
萝
的
速
度
：
90
15
6
(
米
／
秒
)
，
相
遇
的
时
间<
/p>
：
90
(3<
/p>
6)
10<
/p>
(
秒
)
，包子距
B
地的距离：
90
3
10
60
(
米
)
．
【答案】包子距
B
地的距离是
60
米
【例
2
】
孙
悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河
见面，孙悟空的速度是
200
千米／小时．猪八戒的速度是
150
千米／小时，他们同时出发
2<
/p>
小时
后还相距
500
千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
注
意：
“还相距”与“相距”的区别．建议教师画线段图．可以先求出
2
小时孙悟空和猪八戒走
的路程：
（
200
150
）
2
700
(
千米
)
，又因为还差
500
米，所以花果山和高老庄之间的距离：
700
500
1200
(
千米
< br>)
．
【答案】
1200
千米
【巩固】
乙
两辆汽车从
A
、
B
两地同时相向开出，出发后
2
小
时，两车相距
141
公里；出发后
5<
/p>
小时，两
车相遇。
A
、
B
两地相距
______
公里。
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【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】填空
【解析】
5
-2=3
小时，两车合走
141
千米，
速度和
=141
÷
3=47
千米
/
小时，故
AB
相距
47
×
5=2
35
千米。公
式“相遇时间
路程和
速度和”中，对于速度不变的两车，<
/p>
“相遇时间”与“路程和”是一一
对应的．如图所示
A
5
小时
相遇
5
小时
2
小时
B
2
小时
141
千米
5
小时的相遇时间与
A
、
B<
/p>
两地的距离相对应，
(
5
2
)
小时的相遇时间与
141
千米相对应
.
两车的速
度之和是：
141
（
5
2
）
47
(
千米
/
时
).
A
、
B
两地相距：
47
5
235
(
千米
)
【答案】
A
、
B
两地间相距
235
千米
【例
3
】
乙
两列火车从相距
770
千米的两地相向而行，甲车每小时行
45
千米，乙车每小时行
41
千米，乙
车先出发
2
小时后
，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
甲
、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发
2
小时，这段时间甲车
没有行驶，那么乙车这
2
小时
所行的路
程不是甲、
乙两车同时相对而行的路程，
所以要先求出甲、
乙两车同时相对而行的路程，
再除以速度和，才是甲、乙两车同时相
对而行的时间．乙车先行驶路程：
41
2
82
(
千米
)
，甲、
乙两车同时相对而行路程
：
770
82
688
(
千米
)
，甲、乙两车速度和：
45
<
/p>
41
86
(<
/p>
千米／时
)
，
甲车行的时间：
688
86
8
(
小时
)
．
【答案】
8
小时
【巩固】
甲
、乙两列火车从相距
144
千米的两地相向而行，甲车每小时行
28
千米，
乙车每小时行
22
千米，
乙车先出发<
/p>
2
小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
甲
、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发
2
小时，这段时间甲车
没有行驶，那么乙车这
2
小时
所行的路
程不是甲、
乙两车同时相对而行的路程，
所以要先求出甲、
乙两车同时相对而行的路程，
再除以速度和，才是甲、乙两车同时相
对而行的时间．乙车先行驶路程：
22
2
44
(
千米
)
，甲、
乙两车同时相对而行路：
144
44
100
(
千米
)
，甲、乙两车速度和：
28
22
50
(
千米
)
，与乙车
相
遇时甲车行的时间为：
100
50<
/p>
2
(
小时
)
．
【答案】<
/p>
2
小时
【例
4
】
下
午放学时，
弟弟以每分钟
40
米的速度
步行回家
.5
分钟后，
哥哥以每分钟<
/p>
60
米的速度也从学校
步行回家，哥哥出
发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟
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弟时，仍没有回到家）
.
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
若
经过
5
分钟，弟弟已到了
A
地，此时弟弟已走了
40
×
5=200
（米）
；哥哥每分钟比弟弟多走
< br>20
米，几分钟可以追上这
200
米呢？
40
×
5
÷（
60-40
）
=200
÷
20=10
（分钟）
，哥哥
10
分钟可以追
上弟弟
.
【答案】
10
分
钟
【巩固】
解
放军某部先遣队，从营地出发，以每小时
6
千米的速度向某地前
进，
12
小时后，部队有急事，
派通讯
员骑摩托车以每小时
78
千米的速度前去联络，问多少时间后，
通讯员能赶上先遣队？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
6
12
78
6<
/p>
1
(
小时
)
．
【答案】
1
小时
【例
5
】
王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分
钟走
110
米，李华每分钟走
70
米，
出发
5
分钟后
，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了
2
分钟，然后追赶李
华．求多少分钟后
追上李华？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
已
知二人出发
5
分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了
5
分钟，在学校又耽误了
2
分钟，
王芳一共耽误了
5
<
/p>
2
2
12
(
分钟
)
．
李华在这段时间比王芳多走：
70
12
840
(
米
)
，
速度差为：
110
70
40
(
米<
/p>
/
秒
)
，王芳追
上李华的时间是：
840
40
21
(
分钟
)
【答案】
21
分
钟
【巩固】
甲
、乙两车同时从
A
地向
B
地开出，甲每小时行
38
千米，乙每小时行
34
千米，开出
1
小时
后，
甲车因有紧急任务返回
A
地；
到达
A
地后又立即向
B
地开出追乙车，
当甲车追上乙车时，
两车正
好都到达
B
地，求
A
、
B
两地的路程．
【考点】行程问题
【解析】
根
据题意画出线段图：
？千米
乙
【难度】☆☆
【题型】解答
A
< br>乙
2
小时行
B
< br>
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从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的
2
小时的路程，那么
根据追及路程和速度差可以求出追及时间，
而追及时间正好是甲车从
A
地到
B
地所用的时间，
由
此可以求出<
/p>
A
、
B
两地的路
程
,
追及路程为：
34
2
68
< br>(
千米
),
追及时间为：
68
（
38
34
）
17
(
小
时
),
A
、
B
两地的路程为：
38
17
646
(
千
米
).
【答案】
646
千米
【例
6
】
小
聪和小明从学校到相距
2400
米的电影院去看电影．小聪每分
钟行
60
米，他出发后
10
分钟小明
才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
要
求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程
(
已知
)
和小明所用的时间；要求小明所用的
时间，
就要先求小聪所用的时间，
小聪所用的时间是：
2400
60
40
(
分钟
)
，
小明所用的时间是：
40
10
30
(
分钟
)
，小明每分钟走的米数是：
2400
30
80
(
米
)
．
【答案】
80
米
【巩固】
六
年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走
72
米，
15
分钟以后，学校有急事要通知学生，派
李老师
骑自行车从学校出发
9
分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少
米才可以准时追上同学
们？
【考点】行程问题
【难度】☆☆
【题型】解答
【解析】
同
学们
15
分钟走
72
< br>
15
1080
（米）
，即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求
出李老师和同学们的速度差，
又知道同学们的速度是每分钟
72
米，
就可以得出李老师的速度．
< br>即
．
1080
9
72
< br>
192
（米）
【答案】
192
米
【例
7
】
甲
、乙两车同时从
A
、
B
两地沿相同的方向行驶。甲车如果每小时行驶
60
千米
，则
5
小时可追上
前方的乙车；如果每
小时行驶
70
千米，则
3
小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行
驶
_____
千米
(
假设乙车的行驶速度
保持不变
)
。
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】填空
【解析】
利
用追及路程一样有，
5
×
(60-
乙速
)=3
×
(7
0-
乙速
)
，解得乙速
=45
千米
/
小时
【答案】
45
千米
/
小时
【巩固】
王
新从教室去图书馆还书，如果每分钟走
70
< br>米，能在图书馆闭馆前
2
分钟到达，如果每分钟走
50
米，就要超过闭馆时间
2
分钟，求教室到图书馆的路程有多远？
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
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【题型】解答
【解析】
设
从教室去图书馆闭馆时所用时间是
x
分钟
70
（
x
2
）
50
（
x
2
）
70
x
140
50
x
100
70<
/p>
x
50
x
100
140
x
12
70
（
12
<
/p>
2
）
700<
/p>
（米）
答：教室到图书馆的路程有
700
米．
【答
案】
700
米
【例
8
】
甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是
20
米
/
分，下山
的速度都是
30
米
/
分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息
30
分钟后返回，两人在距山顶
480
米处再次相遇。山
道长
米。
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
甲
、乙两人相遇后如果甲继续行走
480
20
24
（分钟）后可以返回山顶
，如果乙不休息，那么
这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要
30
分钟到达山脚，也就是距离山脚还有
，所以山顶到
山脚的距离为
900
24
。
30
30
900
（米）
（
20
30
）
900
1200
210
0
（米）
【答案】
2100
米
【巩固】
如
下图，某城市东西路与南北路交会于路口
A
．甲在路口
A
南边
560
米的
B
点，乙在路口
A
．
甲
向北，
乙向东同时匀速行走．
4
分钟后二人距
A
的距离相等．
再继续行走
24
分钟后，
二人距
A
的
距
离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？
1.
【考点】行程问题
【难度】☆☆☆
【题型】解答
【解析】
本
题总共有两次距离
A
相等，第一次：甲到
A
的距离正好就是乙从
A
出发走的路
程．那么甲、乙
两人共走了
560
米，
走了
4
分钟，
两人的速度和为：
560
4
140
(
米
/
分
)
。
第二次：
两人距
A
的
距离又相等，只能是甲、乙走过了
A
点，且
在
A
点以北走的路程
乙走的总路程．那么，从第二
次甲比乙共多走了
560
米，共走了
4
24
28
(
分钟
)
，两人的速度差：
560
28
20
(
米
/
分
)
，甲
速
乙
速
140
，
显
然
甲
速
要
比
乙
速
要
快
；
甲
速
乙
速<
/p>
20
，
解
这
个
和
差
问
题
，
甲
速
（
140
20
）
2
80
(
< br>米
/
分
)
，乙速
140
< br>80
60
(
< br>米
/
分
)
．
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