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2021年2月22日发(作者：士力架)

多次相遇问题分析

两人一次相遇问题

例

1

：甲乙二人分别从相距若干公里的

A

、

B

两地同时出发相向而行，相遇后各自继续前进，< /p>

甲又经

1

小时到达

B

地，乙又经

4

小时到达

< p>
A

地，甲走完全程用了几小时？

【江苏

A2006

】

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

< br>┃

------------------

┊

< p>
----------

┃

A C B

楚香凝解析：设相遇时间为

T

，在

AC

段甲乙的时间比

=T

：

4

，所以甲乙速度比

=4

：

T

；在

CB

段甲乙的时间比

=1

：

T< /p>

，所以甲乙的速度比

=T

：

1

；可得

4

：

T=T

：

1

，解得

T=2

；所以甲走完

全程需要的时间

< p>
=2+1=3

小时，选

B

例

2

：甲、 乙两位运动员分别从

M

、

N

< p>
两地均速骑车相向而行，两人相遇时，甲比乙多走了

18

< br>千米，甲继续向

N

地前进，从相遇时到

< br>N

地用了

4.5

小时。乙继续向

M

地前进，从相遇到

M

地用了

8

小时。问

M

、

N

两地距离多少千米？

A.124 B.125 C.126 D.127

< p>
┃

------------------

┊

----------

┃

M O N

楚香凝解析：设相遇时间为

T

，在

MO

段甲乙的时间比

=T

：

8

，所以甲乙速度比

=8

：

T

；在

ON

段甲乙的时间比

=4.5

：

T

，所以甲乙的速度比

=T

：

4.5

；可得

8

：

T=T

：

4.5

， 解得

T=6

；所以

甲走

MN

需要的时间

=6+4.5=10.5

小时，乙走

MN

需要的时间

=6+8=14

小时，甲乙时间比

=10.5:14=3:4< /p>

，所以速度比

=4:3

（这里可以根据< /p>

7

因子直接锁定答案

C

< br>）；路程比为

4:3

，差

一份< /p>

=18

千米，总共走了

7

份

=18*7=126

，选

C

两人两次相遇问题

核心公式：

单岸型

< br>:s=

（

3s1+s2

）

/2

双岸型：

s=3s1-s2

例

1

：货车

A

由甲城开往乙城，货车

B

< p>
由乙城开往甲城，它们同时出发并以各自恒定的速度

行驶。

在途中第一次相遇时，

它们离甲城为

35

千米。

相遇后两车继续以原来的速度行驶至目

的城市 后立即折返，途中再一次相遇，这时它们离乙城为

25

千米。则 甲乙两城相距

(

)

千米。

【

2014

广州】

A. 80 B. 85 C. 90 D. 95

楚香凝解析：双岸型，

< br>s=3*35-25=80

，选

A

例

2

：两艘 渡轮在同一时刻垂直驶离

H

河的甲、乙两岸相向而行，一艘 从甲岸驶向乙岸，

另一艘从乙岸开往甲岸，

它们在距离较近的甲 岸

720

米处相遇。

到达预定地点后，

每艘船

都要停留

10

分钟，

以便让乘客上船下船，

然后返航。

这两艘船在距离乙岸

400

米处又重新

< br>相遇。问：该河的宽度是多少？

【广东

< p>
2003

】

A. 1120

米

B.1280

米

C.1520

米

D.1760

米

楚香凝解析：两船同时停留

10

分钟和一直不间断走是一样的，我们可以假设某时刻速度快

的到了对岸，速度慢的到了

X

点，这时候让两 船都停

10

分钟（相当于把速度慢的到对岸的

< br>10

分钟提到前面来），然后继续行驶，跟一直不间断走的相遇位置是一样的。< /p>

双岸型，

s=3*720-400=1 760

，选

D

例

3

：甲乙两人分别从

A

、

B

两地同时出发，相向而行，当他们第一次相 遇时甲离

B

地相距

104

米，然后两人继续向前走，当到达目的地后都立即返回，当第二次相遇时，乙离

B

地相

距

40

米。问

AB

两地相距多少米？

【广东

2004

】

A. 124

米

B. 144

米

C. 168

米

D. 176

米

楚香凝解析：

第一次相遇甲离

B

地

104

米，

第二次相遇乙离

< p>
B

地

40

（所以甲离

B

地也是

40

）< /p>

，

单岸型，

s=(3*104+40)/ 2=176

，选

D

例

4

：两辆 汽车同时从

AB

两站相对开出，在

B< /p>

侧距中点

20km

处两车相遇，相遇后继 续以原

速前进，到达对方出发站后又立即返回，两车在距离

B< /p>

站

160km

处第二次相遇，则

A

、

B

两

站的距离为（

）？

A.110 B.200 C.100 D.440

楚香凝解析：设

AB

两站的距离为

2x

，第一次在

B

侧距中点

20km

处两车相遇，相当于第一

次相遇点距 离

B

侧（

x-20

），而第二次相遇点距离

B

侧

16 0

；单岸型问题，总路程

=2x=[3*(x-20)+160 ]/2

，解得

x=100

，所以总路程 为

200

，选

B

例

5

：甲乙分别从

A

、

B

两地同时出发赶往

B

、

A

两地办事，在两地之间

C

地相遇，之后两人

继续往前走。办完事后，两人又同时出发返回，在两地之间

< p>
D

地相遇。已知

A

、

B

两地相距

11

千 米，

C

、

D

两 地相距

3

千米，甲的速度快于乙；现在若甲乙两人分别从

B

、

A

同时出发不< /p>

断往返于两地之间，那么第

2

次相遇时距 离

A

地多少千米？

A.1

千米

B.3

千米

C.8

千米

D.10

千米

楚香凝解析：在

C

< br>点相遇时甲走了

AC

，办完事后两人同时出发、在

D

点相遇，甲走的距离

为

BD

，所以可得

AC=BD

，即< /p>

AD=CB

；

AB=11

千米、

CD=3

千米，可得

A D=CB=4

千米；甲乙速度

比

=AC :CB=7:4

，总长

11

份。第一次 相遇甲走了

7

份，

< br>第二次相遇甲走了

7*3=21

份

=21

千

米，相当于甲走了两个全程（从

B

到

A

又从

A

到

B

）

+ 1

千米，离

A

点还差

< br>11-1=10

千米，选

D

两人两次环形相遇问题

例

< p>
1

：在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢，两人都按同一方向跑步锻炼时， 每隔

l2

分钟

相遇一次；

若两人速度不变，其中一人按相反方向跑步，

则隔

4

分钟相遇一次。问两人跑完

一圈花费的时间小陈比小王多几分钟 ？

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

楚香凝解析：设王速度

a

、 陈速度

b

，可得

(a-b)*12=( a+b)*4

，整理得

a=2b

，设王 速度

2

、

陈速度

1

，总路程

=

（

2-1

）

*12=12

，则王跑一 圈需要的时间

=12/2=6

，陈跑一圈需要的时间

< p>
=12/1=12

，差

12-6=6

，选

B

例

2

：甲乙两人在环湖小路上匀速行驶，且绕行方向不变，

19

时，甲从

A

点，乙从

B

点同时

出发相向而行。

19

时

25

分，两人相遇；

19

时

45

分，甲到达

B

点；

20

点

5

分，两人再次相

遇，请问，如果走< /p>

AB

间较短距离，甲走完这段距离所用的时间比乙走完这段距离的 时间少

多少分钟？

A

、

90

分钟

B

、

33.75

分钟

C

、

11.25

分钟

< br> D

、

6.75

分钟

楚香凝解析：设两人第一次相遇点为

C

，甲从

C

到

B

用了

45-25=20

分钟、乙从

B

到

C

用了

< p>
25

分钟，所以甲乙时间比为

20:25=4

：

5

，速度比为

5 :4

，设速度甲

5

乙

< br>4

，从第一次相遇到

第二次相遇经过了

< br>40

分钟，

两人合走了一个全程，

则全程

=

（

5+4

< br>）

*40=360

，

AB

间距离

=

（

5+4< /p>

）

*25=225

，较短距离为

360-225=135

，所以时间差

=135 /4-

（

135/5

）

=6.75

分，选

D

两人多次相遇问题

例

1

：

AB

两地相距

< p>
950

米，甲乙两人同时由

A

地出发往返锻炼半小时，甲步行每分钟走

40

米，乙跑步每 分钟行

150

米，则甲乙二人第几次迎面相遇时距

B

地最近？

A.1 B.2 C.3 D.4

楚香凝解析：同一端出发，第一次相遇两人合走一 个全程，以后每相遇一次，两人合走两个

全程。总路程

/

速度和

=950/

（

40+150

）

=5

分钟，相当于每< /p>

5

分钟两人合走一个全程；设总

路程为< /p>

19

份，则第一次相遇甲走了

4

份、乙走了

15

份，相遇点离

< br>B

为

15

份；第二次相遇

甲走了

4*3=12

份，

相遇点离

B

为

7

< br>份；

第三次相遇甲走了

4*5=20

份，

相遇点离

B

为

20-19=1

份；第四次相遇甲走了

4*7=28< /p>

份，相遇点离

B

为

28-19=9

份；所以可得第三次相遇时距

B

地最近，选

C

例

2

：

AB

两地相距< /p>

950

米，甲乙两人分别从

A

< p>
、

B

两地同时出发往返锻炼半小时，甲步行每

分钟走

40

米，乙跑步每分钟行

< p>
150

米，则甲乙二人第几次迎面相遇时距

B

地最近？

A.1 B.2 C.3 D.4

楚香凝解析：

两端出发，

每合走两个全程，

两人相遇一次，

所以第一次相遇需要 的时间

=950*2/

（

40+150

）

=10

分钟，设总路程

950

米为

19

份，第一次 相遇甲走了

400

米对应

8

< p>
份，相遇

点离

B

地为

11

份；第二次相遇甲走了

16

< p>
份，离

B

地为

3

份；第三次相遇甲走了

24

份，离

B

地位

24-19=5

份； 第四次相遇甲走了

32

份，离

B

地为

32-19=13

份；所以可得第二次相 遇

时距

B

地最近，选

< br>B

例

3

：甲、乙两人从

400

米的环形 跑道的一点

A

背向同时出发，

8

分钟后两人第三次相遇。

已知甲每秒钟比乙每秒钟多行

0.1

米，

那么，

两人第三次 相遇的地点与

A

点沿跑道上的最短

距离 是（

）。

【国家

2000

】

A. 166

米

B. 176

米

C. 224

米

D. 234

米

楚香凝解析：

设甲乙速度分别为

a

和

b< /p>

，

第三次相遇两人合走了

3

圈，

可得

（

a+b

）

*8=1200

，

a -b=0.1*60=6

，解得

a=78

，第三次相遇时候甲走的路程为

78*8=624

，离

A

点的距离可以为

624-400=224< /p>

或者

400*2-624=176

，最短 所以取

176

，选

B

例

4

：甲从

A

地去

B

地， 每小时速度

35

千米；乙从

B

地去

A

地，速度是每小时

15

千米；两

人相向而行，第三次和第四次迎面相遇点距离是

100

千米，问

A

、

B

两地距离是多少？

A. 50 B. 100 C. 150 D. 250

┃

---

┊

< p>
---------------

┊

------ -------------

┃

A D C B

楚香凝解析：甲乙速度比为

35:15=7:3

< p>
，设全程为

10

份，第一次相遇时甲走了

7

份、乙走

了

3

份，则第三次相遇时乙走了

3*5=15

份到

C

点（从

B

到

A

又从

A

走了 五份）、第四次相

遇时乙走了

3*7=21

份到

D

点（走了两个全程又从

A< /p>

到

B

走了一份），所以相距

5-1=4

份对

应

100< /p>

千米，总共

10

份对应

< br>250

千米，选

D

例

5

：甲乙两人同时从

A

、

B

两地出发同向而行，甲到达

B

地后立即往回走，回到

B

地后，

又立即向

A

地走去。如 此往复，行走的速度不变。若两人第二次迎面相遇地点距

A

地< /p>

500

米，第四次迎面相遇地点距

B

地

700

米，则

A

、

B

两地的距离是（

< br>

）？

A.1350 B.1460 C.1120 D.1300

楚香凝解析：假设全程为

s

，第一次相遇时甲走了

x

< br>，第二次相遇时甲走了

3x=2s-500

；第

四次相遇时甲走了

7x=3s+700

；两式相 比消去

x

可得

3:7=

（

2s-500

）：

（

3s+700

），

3s+700

对应

7

份，所以

s

必为

7

的倍数，选

C

例

6

：甲乙 两车分别从

A

、

B

两地同时出发，并在

A

、

B

两地间不间断往返行驶，行驶速度不

变。

若两 人第三次迎面相遇的地点距离

A

地

10 50

米，

第四次相遇地点距离

B

地

1400

米，

则< /p>

A

、

B

两地距离 是多少？

A.2240 B.2350 C.2650 D.3200

楚香凝解析：假设全程为

s

，第一次相遇时甲走了

x

，第三次相 遇时甲走了

5x=2s+1050

；第

五次相遇时甲走了

9x=5s-1400

；两式相比消去

x

可得

5:9=

（< /p>

2s+1050

）：（

5s-1400< /p>

），解

得

s=2350

< br>，选

B

或者可以根据

5s-1 400

是

9

的倍数，因为

1400

除以

9

余

5

，所以

5s

除以

9

余

5

，所以

s

除

以

9

余

1

，选

B

例

7

：甲乙 两车分别从

A

、

B

出发，在

AB

间不断往返行驶，甲车每小时行驶

< p>
20

千米，乙车

每小时行驶

50

千米，已知两车第

10

次与第< /p>

18

次相遇的地方相距

60

千米，那么

AB

间路程

是多 少千米？

A.105 B.120 C.125 D.145

┃

--------------------- -

┊

---------------

┃

A C B

楚香凝解析：

解法一：甲乙速度比为

2:5

，设总路程< /p>

7

份，则第一次相遇甲走了

2

< p>
份，第

10

次相遇甲走

了

19*2=38

份到

C

点（相当于从

A

→

B

→

A

→

B

→

A

→

B

< br>→

C

），

BC

< br>对应

3

份、

AC

对应

4

份；第

18

< p>
次相遇甲走了

35*2=70

份回到

A

点（相当于

A

→

B

→

A

→

B

→

A

→

< br>B

→

A

→

B

→

A

→

B

→

A

），

AC

对应四份

=60

千米，所以全程对应< /p>

7

份

=105

千 米，选

A

解法二：甲乙速度和为

70

，猜测总路程为

7

的倍数，选

A

两人多次追击问题

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