多次相遇和追及问题详解
-
多次相遇和追及问题
教学目标
1.
学会画图解行程题
2.
能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3.
能够利用比例解多人相遇和追及问题
知识精讲
板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕
“
路程
速度
时间
”
这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复
杂
，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
【例
1
】
（难度等级
※）甲、乙两名同学在<
/p>
周长为
300
米圆形跑道上从同一地点同
时背向练习跑步，甲每
秒钟跑
3.5
米
，乙每秒钟跑
4
米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才
能回到出发点？
【解析】
从
开始到两人第十次相遇的这段时间内，
甲、<
/p>
乙两人共跑的路程是操场周长的
10
倍，
为
300
1
0
3000
米，因为甲的速度为每秒
钟跑
3.5
米，乙的速度为每秒钟跑
4
米，所以这段时间内甲共行了
3000
3.5
1400
< br>米
，
也
就
是甲
最后
一次离
开
< br>出发
点继
续
行了
200
米
，可
知甲
还
需行
3.5
4
300
200
100
米才能回到出发点．
【巩固】
（难度等级
※）甲乙两人在相距
90
米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒
3
米，乙的速度是
每秒
2
米．如果他们同时分别从直路两端出发，
10
分钟内
共相遇几次？
【解析】
1
7
【巩固】
（难度等级
※）甲、乙两人从
400
米的环形跑道上一点
A
背向同时出发，
8
分钟后两人第五次
< br>1
相遇，已知每秒钟甲比乙多走
0.1
米，那么两人第五次相遇的地点与点
A
沿跑道上的最短
路程
是多少米
?
【解析】
1
76
二、运用倍比关系解多次相遇问题
【例
2
】
（难度等级
※※）
< br>上午
8
点
8
分，
小明骑自行车从家里出发，
8
分钟后，
爸爸骑摩托车去追他，
在离家
4
千米的地方追上了他
.
然后爸爸立即
回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的
时候，离家恰好是
8
千米，这时是几点几分？
【解析】
画
一张简单的示意图：
图上可以看出，
从爸爸第一次追上到
第二次追上，
小明走了
8-4
＝
4
（千米）
.
而爸爸
骑的距离是
4
＋
8
＝
12
（千米）
.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的
12÷
4
＝
3
（倍）
.
按照这个倍数计算，小
明骑
8
千米，爸爸可以骑行
8×
3
＝
24
（千米）
.
但事实上，爸爸少用了
8<
/p>
分钟，骑行了
4
＋
12
＝
16
（千米）
.
少骑行
24-16
＝
8
（千米）
.
摩托
车的速度是
8÷
8=1
（千米
/
分）
，爸爸骑行
16
千米需要
16
分钟
.
8
＋
8
＋
16
＝
32.
所以这时是
8
点
32
分。
【例
3
】
（难度等级
※※）甲、乙两车分别同
时从
A
、
B
两
地相对开出，第一次在离
A
地
95
千米处相
遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离
B
地
25
千米
处相遇．求
A
、
B
两地
间的距离是多少千米？
【解析】
画
线段示意图
(
实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路
线
)
：
2
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个
A
、
B
两地间距离，
第二次相遇意味着两车共行了三个
A
、
B
两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个
A
、
B
两地间的距离时，甲车行了
95
千米，当它
们共行三个
A
、
B
两地间的距离时，甲车就行了<
/p>
3
个
95
千米，
即
95×
3=285
（千米），而这<
/p>
285
千米比一个
A
、
B
两地间的距离多
25
千米，可得：
95×
3-25=285-25=
260(
千米
)
．
【巩固】
（难度级别
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
4
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
3
千
米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
.
【解析】
4
< br>×
3=12
千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多
了回来那一段，就是距
B
地的
3
千米，所
以全程是
12-3=9
千米，所以两次相遇点相距
9-
（
< br>3+4
）
=2
千米。
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
5
千
米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
6
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
4
千
米处第二次相遇，求两人第
5
次相遇地点距
B
多远
.
【解析】
1
2
千米
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
7
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
3
千
米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米
< br>.
【解析】
9
0
千米
3
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
3
千米，相遇后二人继续前进，走到对方
出发点后立即返回，在距
B
地
2
千
米处第二次相遇，求第
2000
次相遇地点与第
2001
次相遇地点之间的距离<
/p>
.
【解析】
4
千米
【巩固】
（难度等级
※※）甲、乙二人以均匀
的速度分别从
A
、
B
< br>两地同时出发，相向而行，他们第一
次相遇地点离
A
地
18
千米，相遇后二人继续前进，走到对
方出发点后立即返回，在距
B
地
13<
/p>
千米处第二次相遇，求
AB
两地之间的距
离
.
【解析】
4
1
千米
【例
4
】
（难度等级
※※※）
如图，
甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反
的方向绕此圆形路线运动，当乙走了
100
米
以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前
60
米处又
第二次相遇
.
求此圆形场地的周长．
【解析】
注
意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完
共走完
1+<
/p>
1
圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙
2
1
3
＝
圈
的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为
1
：
3
，因而第二次相
2
2
遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的
3
倍，即
100×
3=300
米．有甲、乙第二次相
遇时，共行走
(1
圈－
60)+300
，为
【巩固】
（难度等级
※※※）如图，
A
、
B
是圆的直径的两
端，小张在
A
点，小王在
B
点同时出发反向
行走，他们在
C
< br>点第一次相遇，
C
离
A
点
80
米；在
D
点第二次相遇，
D
点离
B
点
6O
米
.
求这
个圆的周长
.
【解析】
3
60
3
圈
，所以此圆形场地的周长为
480
米．
2
4
【巩固】
A
、
B
是圆的
直径的两端，甲在
A
点，乙在
B
点同时出发反向而行，两人在
C
点第一次相遇
，
在
D
点第二次相遇．已知
C
离
A
有
75
米，
D
离
B
有
55
米，求这个圆的周长
是多少米？
【解析】
3
40
三、多次相遇与全程的关系
1.
两地相向出发：第
1
次相遇，共走
1
个全程；
第
2
次相遇，共走
3
个全程；
< br>
第
3
次相遇，共走
5
个全程；
…………
，
………………
；
第
N
次相遇，共走
2N-1
个全程；
注意：除了第
1
次，剩
下的次与次之间都是
2
个全程。即甲第
1
次如果走了
N
米，以后每次都走
2N
米。
2.
同地同向出发：第
1
次相遇，共走
2
个全程；
第
2
次相遇
，共走
4
个全程；
第
3
次相遇，共走
6
个全程；
…………
，
………………
；
第
N
次相遇，共走
2N
个全程；
3
、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键
几个全程
多人相遇追及的解题关键
路程差
5
【例
5
】
小明和
小红两人在长
100
米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小
明的速度为
6
米
/
秒，小红
的速度为
4
米
/
秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了
12<
/p>
分钟．在这段时间内，他们迎面相
遇了多少次？
< br>
【解析】
第
一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：
100
（
6
4
）
10
(
秒
)
．此后，两人每相遇
一次，就要合跑
2
倍的跑道长，也就是每
20
秒相遇一次，除去第一次的
10
秒，两人共跑了
12
60
10
71
0
(
秒
)
．求
出
710
秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总
次数．列
式计算为：
100
（
6
4
）
10
(
秒
)
，
（
12
60
10
）
（
10
2
）
35
10
，共相遇
< br>35
1
36
(
次
)
。注：
解
决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇
两人合跑的路程长．
【例
6
】
A
、
B
两地间有条公路，甲从
A
地出发，步行到
B
地，乙骑
摩托车从
B
地出发，不停地往返于
A<
/p>
、
B
两地之间，他们同时出发，
80
分钟后两人第一次相遇，
100
分钟后乙第一次追上甲，问：
当甲到达
B
地时，乙追上甲几次？
【解析】
甲
A
F
E
B<
/p>
乙
第一次相遇
第一次追上
由上图容易看出：
在第一次相遇与第一次追上之间，
乙在
100
80
20
(
分钟
)
内所走的路程恰等于
线段
FA
的长度再加上线段
AE
< br>的长度，即等于甲在
(
80
<
/p>
100
)
分钟内所走的路程，因此，乙的
速
度是甲的
9
倍
(
180
20
)
，
则
BF
的长为
AF
的
9
倍，
所以，
甲从
A
到
B
，
共需走
80
(1
9)
800
(
分
钟
)
< br>乙第一次追上甲时，所用的时间为
100
分钟，且与甲的
路程差为一个
AB
全程．从第一次追上
甲时开始，
乙每次追上甲的路程差就是两个
AB
全程，
因此，
追及时间也变为
200
分钟
(
100
2
)
，
所以，在甲从
A
到
B
的
800
分钟内，乙共有<
/p>
4
次追上甲，即在第
100
分钟，
300
分钟，
500
分钟
和
700
分钟．
【例
7
】
（难度等级
※※※）甲、乙两人分别
从
A
、
B
两地
同时出发相向而行，乙的速度是甲的
2
，二
3
人相遇后继续行进，甲到
B
地、
乙到
A
地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相<
/p>
遇的地点是
100
千米，那么，
A
、
B
两地相距
千米．
6
【解析】
由
于甲、乙的速度比是
2
:
3
，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是
2
:
3
．第一次相遇
时，两人共走了一
个
AB
的长，所以可以把
AB
的长看作
5
份，甲、乙分别走了
2
份和
3
份；第
二次相遇时，
甲、
乙共走了三个
AB
，
乙走了
2
< br>
3
6
份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个
AB
，
乙走了
2
5
10
份．
乙第二次和第三次相距
10
－
6=4
（份）
所以一份距离为：
100
÷
4=25
（千米）
，
那么
A
、
B
< br>两地距离为：
5×
25
＝
125
（千米）
【巩固】
（难度等级
※※※）小王、小李二人
往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，
相向而行，
两人第一次在距甲地
3
千米处相遇，
第二次在距甲地
6
千米处相遇
(
追上也算作相遇
)
，
则甲、乙两地的距离为
千米．
【解析】
由
于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以
两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．
①
如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在
A
处相遇，第二次在
B
处相遇．由于
第一次相遇时两人合走
1
个全程，小王走了
3
千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走
2
个
全程，所以这期间小王走了
3
2
6
千米，由于
A
、
B
之间的距离也是
3
千米，所以
B
与乙地的
距离为
(6
3)
2<
/p>
1.5
千米，甲、乙两地的距离为
6
1.5
7.5
千米；
王
甲
A
B
李
乙
王
甲
A
B
李
乙
②
如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在
A
处相遇，相遇后小王继续向前走，小李
走到甲地后返回，<
/p>
在
B
处追上小王．
在这个过程中，
小王走了
6
3
3
千米，
小李走了
6
3
9
千
米，两人的
速度比为
3:9
1:3
．所以第一次相遇时小李也走了
9
千米，甲、乙两地
的距离为
9
3
12
千米．
所以甲、乙两地的距离为
7.5
千米或
12
千米．
7