高中物理相遇和追及问题(完整版)
-
--
相遇追及问题
一、考点、热点回顾
一、追及问题
1.
速度小者追速度大者
类型
匀加速追匀速
图象
说明
①
t
＝
t
０
以前，后面物体
与前面物体间距离增大<
/p>
②
t=
ｔ
0
时，两物体相距
最远为
< br>x
0
+
Δ
x
匀速追匀减速
③
t=t
０
以后
,
后面物体与
前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一
次
匀加速追匀减速
2.
速度大者追速度小者
度大者追速度小者
匀减速追匀速
开始追及时，
后面物体与
前面物体间的距离在减小
,
当
两物体速度相等时
,
即ｔ
=t0
时刻：
①若Δ
x=x0
，则恰能追
及
,
两物体只能相遇一
次
,
这
--
--
匀速追匀加速
也是避免相撞的临界条件
②若Δ
x
０
,
则不能
追
及，此时两物体最小距离为
x0
－Δ
x
③若Δ
x
＞
x0,
则相遇两次，
设
t1
时刻Δ
x
１
=
ｘ
0,
两物体第
一次相遇
，
则ｔ<
/p>
2
时刻两物体
第二次相遇
匀减速追匀加速
①表中的Δ
x
是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；
< br>
②
x
0
是开始追及以前两物体之间的距离
;
③
t
2
-t
0
=t
０
-t
1
;
④
v
1
是前面物
体的速度
,v
2
是后面物体的速度
.
二、相遇问题
这一类
:
同向运动的两物体的相遇问题，即追及问题
.
第二类：
相向运动的物体，
当各自移动的位
移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇
.
解此类问题首先
应注意先画示意图
,
标明数值及物理量
;
然后注意当被追赶的物体做匀
减速运动时，还要注意该物体是
否停止运动了．
求解追及问题的分析思路
(
１
)
根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质
,
列出两个物体的位移方程
,
并注意两
物体运动时间之间的关系．
（
2)
通过
对运动过程的分析
,
画出简单的图示
,
找出两物体的运动位移间的关系式．
追
及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．
(
３
)
寻找
问题中隐含的临界条件
.
例如速度小者加速追赶速度大者
,
在两物体速度相等
时有最大距离
;
速度大者减速追赶速度小者，
在两物体速度相等
时有最小距离，
等等
.
利用这
些临界条件常能简化解题
过程
.
（
4
）
求解此类问题的方法，
除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程
外，还有利
用二次
函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．
相遇问题
相遇问题的分析思路
:
--
--
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形
,
其主要条件是两物体在相遇处的位置
坐标相同
．
（
1)
列
出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系．
(
２
)
利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系
．
（
3
）寻找问题中隐含的临界条件．
(4)
与追及中的解题方法相同
.
二、典型例题
【
例
1
】
物体
A
、
B
同
时从同一地点，沿同一方向运动，Ａ以
1
０
m/
ｓ的速度匀速前进，
B
以
2
ｍ
/s
的加速度
从静止开始做匀加速直线运动
,
求
A<
/p>
、
B
再次相遇前两物体间的最大距离
.
【
解析一
】
物理分析法
Ａ做
υ
A
=10
m
／
s
的匀速直线运动
,B
做初速度为零、加速度
a
=
２
ｍ
/<
/p>
ｓ
的匀加速直线
运动
.
根据题意，开始一小段时间内
,
Ａ的速度大于
B
的速度，它们间的距离逐渐变大，当
B
的速度加速到大于
A
的
速度后
,
它们间的距离又逐渐变小；
A
、
B
间距离有最大值的临界条件
是
υ
A
＝
υ
Ｂ
.
①
设两物体经历时间
t
相距最远
,
则
υ
A
=
a
ｔ
②
把已知数据代入①②两式联立得<
/p>
t
＝
5
s <
/p>
在时间
t
内
,<
/p>
Ａ、
B
两物体前进的距离分别为
s
A
=
υ
A
t
=
１0×５
ｍ＝
50
ｍ
1
2
2
s
Ｂ
=
at<
/p>
＝＼ｆ
(1,2)
×2×5
ｍ
=25 m
2
A
、
B
再次相遇前两
物体间的最大距离为
Δ
ｓ
m
＝
s
A
-
ｓ
B
＝
5
０
ｍ－２
5 m=25
m
【
解析二
】
相对运动法
因为本题求解的是Ａ、
B
间的最大距离
,
所以可利用相对运动求解
.
选<
/p>
B
为参考系
,
则
Ａ相
对Ｂ的初速度、
末速度、
加速度分
别是
υ
０
=
１
0
m
／
s<
/p>
、
υ
ｔ
＝
υ
A
－
υ
B
=0
、
ａ
＝
-2
ｍ／
s
．
根据<
/p>
υ
ｔ
－
υ
0
=2
ａｓ
．有
0-10
=
２×
(
-2
）×
s
A
Ｂ
解得
A
、
B
间的最
大距离为
s
AB
＝
2
５
ｍ．
【
解析三
】
极值法
1
2
1
2
5
物体Ａ
、Ｂ的位移随时间变化规律分别是
ｓ
Ａ
＝
10
t
，
s
B
=
at
＝<
/p>
×2×
t
=
ｔ
．
2<
/p>
2
则Ａ、Ｂ间的距离Δ
s
=10
t
－
ｔ
,
可见,Δ
s
有最大值，且最
大值为
错误
!
【
解析四
】
图象法
根据题意作出
A
、
B
两物体的
υ
－
t
图象
,
如图
1-5-1
所示．由图
可知
,A
、
Ｂ再次相遇前它们之间距离
有最大值的临界条件是
υ
Ａ
＝
υ
Ｂ
，得
t
１
＝
5
s
．
A
、<
/p>
B
间
距
离
的
最
大
值
数
值
上
等
于
Δ
Ｏ
υ
A
P
的
面
积
，
即
Δ
ｓ<
/p>
m
=
＼
f(1,
２）×5×10 ｍ＝
25 m.
【
答案
】
25
m
【
点拨
】相遇问题的常用方法
（
1)
物理分析法
:
抓好“两物体能否同时到达空间
某位置”这一关键
,
按
(
解法一
)
中的思路
分析．<
/p>
(2
）相对运动法：巧妙地选取参考系
,
然
后找两物体的运动关系
.
2
2
2
2
2
２
--
--
（
3
）极值法：设相遇时间为
t
，根据条件列方程
，得到关于
t
的一元二次方程，用判
别
式进行讨论，若△>0,即有两个解，说明可以相遇两次
;
若△
＝０
,
说明刚好追上或相碰
;
若△＜
0,
说明追不上或不能相碰
.
(4
）图象法：将两者的速度时间图象在同一个
坐标系中画出，然后利用图象求解．
拓展
<
/p>
如图
1-
５
-<
/p>
２所示是甲、
乙两物体从同一地点
,
沿同一方向做直线运动的
υ
-
t
图象，由图象可以看出
（
〕
A
．这两个物体两次相遇的时刻分别是１ｓ末和
4
ｓ末
B.
这两个物体两次相遇的时刻分别是
2s
末和
6s
末
C.
两物体相距最远的时刻是２
s
末
D.4
ｓ末以后甲在乙的前面
【
解析
】从图象可知两图线相交点
1s
末和
4s
末是两物速度相等时刻
,
从
0→２ｓ，乙追赶
甲到
2s
末追上
,
从
2s
开始是甲去追乙，在４
s
末两物相距最远
,
到
6s
末追上乙
.
故选
< br>B.
【
答案
】
B
【实战演练
1
】
(201
１·新课标全国卷）
甲乙两辆汽车都从静止出发做加
速直线运动，加速
度方向一直不变。
在第一段时间间隔内
,
两辆汽车的加速度大小不变
,
汽车乙的加速度大小是
甲的两倍
;
< br>在接下来的相同时间间隔内
,
汽车甲的加速度大小增加为
原来的两倍，
汽车乙的加
速度大小减小为原来的一半。求甲乙两
车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。
【思路点拨】
解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程
,
再根据两车加
速度的关系，求出两车路程之比。
【精讲精析】
设汽车甲在第一段时间间隔末（时刻<
/p>
t
0
）的速度为
v
，第一段时间间隔内行驶
的路程为
s
1
,
加速度为ａ，在第二段时间间隔内
行驶的路程为
s
2
,
< br>由运动学公式有
,
ｖ
=a
t
0
①
< br>s
1
＝＼
F(
< br>１
,2)
a
t
0
②
ｓ
2
=v t
0
＋
错误
!
2
a t
0
③
设汽车乙在时刻ｔ
０
的速度为
v
′
,
在第一、
二段时间间隔内行驶的路程分别为ｓ
1
′、
ｓ
2
′，
同理有
,
ｖ′=
2a
ｔ
0
④
ｓ
１
′=
错误
!
2a
t
０
⑤
s
２
′=ｖ′ ｔ
０
+
错误
!
ａ
t
0
⑥
设甲、乙两车行驶的总路程分别为
ｓ、
s
′
,
则
有
ｓ
=
s
１
＋
s
2
⑦
s′=
s
1
′+ｓ
2
′
⑧
联立以上各式解得
,
甲、乙两车各自行驶路程之比为
< br>2
2
2
2
--
--
错误
!
＝
错误
!
< br>答案
:
5
7
【实战演练２】
(20
１
1
·
安徽省级示范
高中名校联考）
甲、
乙两辆汽车
,
同时在一条平直的公
路上自西向东运动
,<
/p>
开始时刻两车平齐
,
相对于地面的
v
－
ｔ
图象如图所示
,
关于它们的运
动，下列说法正确的是
(
)
A
．甲车中的乘客说，乙车先以速度
v
0
向西做匀减速运动
,
后向东做匀加速运动
B
．乙
车中的乘客说，甲车先以速度
v
0
向西
做匀减速运动
,
后做匀加速运动
C
．根据
v
-
t
图象可知
,
开始
乙车在前，甲车在后，
两车距离先减小后增大，
当乙车速度
增大到
ｖ
0
时，两
车恰好平齐
Ｄ．
根据
v
－
t
图象可知，
开始甲车在前
,
乙车在后
,
两车距离先增大后减小
,
当乙车速度
增大到
v
0
时
，两车恰好平齐
【答案】
A
【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系
,
相当
于甲车静止不动，
乙车以初速度
v
０<
/p>
向西做
减速运动，速度减为零之后
,
再向东做加速运动，所以Ａ正确；乙车中的乘客以乙车为参考
系，相
当于乙车静止不动，甲车以初速度
v
０
向东做减速运动，速度减为零之后
,
再向西做加
速运动，所以
B
错误
;
以地面为参考系
,
当两车速度相等时，距离最
远
,
所以
C
、
Ｄ错误
.
考点
2
相遇问题
相遇问题的分析思路
:
相遇问题分为
追及相遇和相向运动相遇两种情形
,
其主要条件是两物体在相遇
处的位置
坐标相同
.
(1)
列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系
.
（<
/p>
2)
利用两物体相遇时必处在同一位置
,
寻找两物体位移间的关系．
(3)
寻找问题中隐含的临界条件．
(4)
与追及中的解题方法相同
.
【
例２
】
甲、乙两物体相距
s
，同时同向沿同一直线运动
,
甲在前面做初速度为零、加速度
为
a
1
的匀加速直线运动，
乙在后做初速度为
υ
0
，
加速度为
< br>ａ
２
的匀加速直线运动，
则
(
）
Ａ
.
若
a
1
＝
a
2
,
则两物体可能相遇一次
B
．若
ａ
1
＞
a
2
,
则两物
体可能相遇二次
C.
若
a
1
<
a
< br>2
,
则两物体可能相遇二次
<
/p>
Ｄ．若
ａ
１
＞<
/p>
a
2
,
则两物体
也可相遇一次或不相遇
1
2
2
【
解析
】
设乙追上甲的时间为
t
,
追上时它们的位移有
υ
0
ｔ
＋
a
2
t
-
＼ｆ
(1,
２
)
a
2
< br>t
=
ｓ
２
--
--
上式化简得
:(
ａ
１
-
ａ
２
)
ｔ
－
2
υ
0
t
+2
s
＝
０
解得
:
错
误
!
(1)
当
a
1
＞
ａ<
/p>
2
时
,
差别式“
△”的值由
υ
0
、
a
1
、
a
2
、
s
共同决定，且
< br>△＜
2
υ
0
,
而△的值
可能小于零、等于零、大于零，则两物体可能不
相遇，相遇一次，相遇两次
,
所以选项
B
、
D
正确．
(2)
当
a
1
<
a
2
时，<
/p>
t
的表达式可表示为
错误
!
显然,△一定大于零
.<
/p>
且＼
r(
△
)<
/p>
＞
2
υ
0
,
所以
t
有两解
.
但
t
不能为负值
,
只有一解有物理意
义，只能相遇一次
,
故
C
选项错
误
.
(
３）当
a
1
＝
a
2
时
,
解一元一次方程得
t
=
s
/
υ
0
，一定相遇一次，故
A
选项正确
.
【
答
案
】Ａ、
B
、
D
【
点拨
】注意灵活运用数学方法，
如二元一次方程△判别式．本题还可以用
v
—
< br>t
图像分析
求解。
拓展
<
/p>
A
、
B
两棒均长
1
ｍ，
A
棒悬
挂于天花板上，
B
棒与
A
棒在一条竖直线上，直立在地面
,A
棒的
下端与
B
棒的上端之间相距
20m
，如图
1-5-3
所示，某时
刻烧断悬挂Ａ棒
的绳子
,
同时将
B
棒以
v
0
=
２
0m/s
的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计
2
,
且
g
＝<
/p>
10m/s
,
试求：
（１
)A
、
B
两棒出发后何时相遇
?
(2)
A
、
B
两棒相遇后，交错而过需用多少
时间
?
【解析】
本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。
由于Ａ
、
B
两棒均只受重力作用
,
则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们之间只有
初速度导致的相对
运动，故选
A
棒为参考系，则Ｂ棒相对
A
棒作速度为
v
0
的匀速运动。
则
A
、
B
两棒从启动至相遇需时间
t
1
L
20
s
<
/p>
1
s
v
0
20
2
当Ａ、
B
两棒相遇后
,
交
错而过需时间
t
2
2
< br>l
2
s
0
.
1
s
v
0
20
A
l
=1
【
答案
】
(
１
)
1
s
(2)
０．
1
s
L=20
B
l
=1
图
1-5-3
【例３】
(
易错题
)
经检测汽车
A
的制动性能：以标准速度
2
０ｍ
/s
在平直公路
上行驶时
,
制动后
40s
停下来。
现
A
在平直公路上以２０
m/s
的速度行驶发现前方
180m
处有
一货车
B
以６
m/s
的速度同向匀速行驶，司机立即制动
,
能否
发生撞车事故
?
【错解】
设汽车
A
制动后
40s
的
位移为
x
1
,
货车Ｂ在这段时间内的位移为
ｘ
2
。<
/p>
据
a
v
v
0
得车的加速度
a
=
－
0
．
5
ｍ
/s
t
又
x
1
v
0
t
1
at
2
得
2
x
1
20
40
1
(
0
.
5
)
40
2
400
m
2
x
2
v
2
t
6
40
240
< br>m
--
--
ｘ
2
=
v
< br>2
t
=
６×4０
=
２
40
（
< br>m
）
两车位移差为４
00
－
240=
１
6
０
(
ｍ）
因为两车刚开始相距１
80
ｍ
>160m
所以两车不相撞。
【错因】
这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车Ａ与货车Ｂ同速时，两车
位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。
当两车同速时，<
/p>
两车位移差大
于初始时刻的距离时
,
两车相撞；
小于、
等于时
< br>,
则不相撞。
而错解中的判据条件错误导致错
解。
【正解】
如图１<
/p>
-5
汽车
A
以<
/p>
v
0
=
２
0m
／
s
的初速做匀
减速直线运动经
40s
停下来。据加速度
２
公式可求出
a
=-0.5m/s<
/p>
当
A
车减为与
B
车同速时是Ａ车逼近Ｂ车距离最多的时刻，这时若
能超过
B
车则相撞
,
反之则
不能相撞。
据
v
2
v
0
2
2<
/p>
ax
可求出Ａ车减为与Ｂ车同速时的位移
x
1
v
2
v
2
0
2
a
400
36
m
364
m
2
0
.
5
图
1-5-4
此时间
t
内
B
车的位移速
ｓ
２
,
则
t
x
2
v
2
t
6
28
m
168
m
v
2
v
0
a
△
x
=364-168
＝
196>
１８
0(m
）
所以两车相撞。
【点悟】
分析
追击问题应把两物体的位置关系图画好。
如图
1-5-4,<
/p>
通过此
图理解物理情景。本题也可以借图像帮助理解，如图
1-5
－
5
所示，阴
影区是Ａ车比
B
车多
通过的最多距离<
/p>
,
这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞。小于、等
于则不相
撞。从图中也可以看出Ａ车速度成为零时，不是Ａ车比Ｂ车多走距离最多的时刻
,
因此不能
作为临界条件分析。
【实战演练
1
】（
2
０
11
·长
沙模拟
)
在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在
t
＝
0
时同时经过
某一个路标
,
它们的位移随时间变化的规律为：汽车
x
＝
10t-t
2
，自行车
x=
５
ｔ<
/p>
,(
ｘ的单位为ｍ
,t
< br>的单位为
s
）
,
则下列说法
正确的是
(
)
A.
汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动
Ｂ．经过路标后的较短时间内自行车在前
,
汽车在后
C.
在
t=2.5
< br>ｓ时
,
自行车和汽车相距最远
D
．当两者再次同时经过同一位置时
,
它们距路标
1
２
.
５
ｍ
【答案】选Ｃ
.
【详解】
由汽车和自行车位移随时间变化的规律知
,
汽车做
匀减速运动
,v
０
=10
m/
ｓ，
a=-2
< br>m
／
s
2
，自行车做匀速直线运动，
v=5 m/s
，故
A
、
B
错误
.
当汽车速度和自行车速度相等时，
--
--
相距最远
.
根据
v=
ｖ
０
+
ａ
t
，
t=2
．
5
ｓ，
C
正确
.
当两车位移相等时再次经
过同一位置
,
故１
0t
′
-
ｔ′
2
< br>=5t
′，解得
t
′
=5
ｓ
,
x
＝
25 m,
故
D
错误．
【实战演练２】
(
２
01
１·东北三校联考）
从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体
Ⅰ、Ⅱ的速度—时间图象如图所示．在
0
～<
/p>
t
2
时间内
,<
/p>
下列说法中正确的是
(
）
A.<
/p>
Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小
<
/p>
B.
在第一次相遇之前
,
ｔ
１
时刻两物体相距最远
<
/p>
C
．
t
2
时刻两物体相遇
D.
Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是＼
f(
v
１
+
ｖ
２
,
２
)
【答案】
B
【详解】速度
—
时间图象中Ⅰ物体的斜率逐渐减小
,
即Ⅰ物体的加速度逐渐减小
,
所以Ⅰ
物体所受合外力不断减小
,A
错误
< br>;
在
0~
t
１
时间内，
Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度，
所
以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时
,
两物体相距最远，
B
正确；在速度
—
时间图
象中图线与坐标轴所围面积表
示位移
,
故到
t
2
时刻，Ⅰ物体速度图线所围面积大于Ⅱ物体速
度图线所围面
积
,
两物体平均速度不可能相同
,C<
/p>
、
D
错误
.
◇限时基础训练（
20
分钟）
1
．
如图
1
－
2
－６所示
,
某同学沿一直线行走，
现用频闪照相记录了他行走中９个位置的
图片
,
观察图片
,
能大致反映该同学运动情况的速度
-
时间图
象是图
1
－
2
－７中的（
）
图
1-2-6
--