高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳
-
等差数列
一．等差数列知识点：
知识点
1
、等差数列的定义
:
①如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列
就叫做等差数
列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示
知识点
2
、等差
数列的判定方法
:
②定义法：对于数
列
a
n
<
/p>
，若
a
n
1
a
n
d
(
常数
)
，则数列
a
n
是等差数列
③等差中项：对于数列
a
n
，若
2
a
n
< br>1
a
n
a
n
2
，则数列
a
n
是等差数列
知识点
3
、等差数列的通项公式
:
④如果等差数列
< br>a
n
的首项是
a
1
，公差是
d
，则等差数列的通项为
a
n
a
1
(
n
1
)
d
该公式整理后是关于
n
的一次函数
知识点
4
、等差
数列的前
n
项和
:
⑤
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
< br>
1
)
d
⑥
S
n
na
1
2
2
对于公式
2
整理后是关于
n
的没有
常数项的二次函数
知识点
5
、等差中项
:
⑥如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项即：
A
a
b
2
或
< br>2
A
a
b
在一个等差数列中，从第
2
项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项
与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项
知识点
6
、等差数列的
性质
:
⑦等差数列任意两项间的关系
：如果
a
n
是等差数列的第
n
项，
a
m
是等差数列的第
m
项，
且<
/p>
m
n
，公差为
d
，则有
a
n
a
m
(
n
m
)
d
⑧
对于等差数列
a
n
，若
n
m
p
q
，则<
/p>
a
n
a
m
a
p
a
q
也就是：
a
1
a
n
a
2
a<
/p>
n
1
a
3
a
n
2
⑨若数列
a
n
< br>是等差数列，
S
n
是其前
n
项的和，
k
N
*
，
那么
S
k
，
S
2
k
S
k
，
S
3
k
S
2
k
成
等差数列如下图所示：
< br>
S
3
k
a
1
a
2
< br>
a
3
a
k
a
k
1
a
2
k
a
2
k
1
< br>
a
3
k
< br>
S
k
S
2
k
S
k
S
3
k
S
2
k
10
、
等
差
数
列
的
前
n
项
和
的
性
质
：
①
若
项
数
为
2
n
n
<
/p>
*
，
则
S
2
n
n
a
n
a
n
1
，
且
S
偶
S<
/p>
奇
nd
，
S
奇
a
n
S
偶
a
n
1
．②若项数为
2
n
1
n
*
，则
S
2
n
1
2
n
1
a
n
，且
S
奇
S
偶
a
n
，
S
奇
n
（其中
S
奇
na
n
，
S
偶
n
1
a
n
）
．
<
/p>
S
偶
n
1
二、题型选析：
题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）
1
、
.
等差数列
{a
n
}
的前三项依次为
a-6
，
2a
-5
，
-3a
+2
，则
a
等于（
)
A . -1 B . 1 C .-2 D.
2
2
．在数列
{a
n
}
中，
a
1
=2
，
2a
n+1
=2a
n
< br>+1
，则
a
101
的值为
（
）
A
．
49
B
．
50
C
．
51
D
．
52
3
．等差数列
1
，－
1
，－
3
，…，－
89
的项数是（
）
A
．
92
B
．
47
C
．
46
D
．
45
4
、已知等差数列
{
a
< br>n
}
中，
a
7
a
9
16
,
a
4
1
,
则
a
12
的值是
(
)
( )
A 15 B
30
C 31 D 64
5.
首项为－
24
< br>的等差数列，从第
10
项起开始为正数，则公差的取值范
围是
（
）
8
8
8
＞
＜
3 C.
≤
d
＜
3
D.
＜
d
≤
3
3
3
3
6
、
.
在数列
{
a
n
}
中，
< br>a
1
3
，
且对任意大于
1
的正整数
n
，
点
(
a
n
,
a
< br>n
1
)
在直
x
y
3
0
<
/p>
上，
则
a
n
=_____________.
7
、在等差数列
{a
n
}
中，
a
5
＝
3
，
a
6<
/p>
＝－
2
，则
a<
/p>
4
＋
a
5
＋…＋
a
10
＝
．
8
、等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
a
2
1
,
a
3
3
,
则
S
4
＝
（
）
（
A
）
12
（
B
）
10
（
C
）
8
（
D
）
6
9
、设数列<
/p>
a
n
的首项
a
1
7
,
且满足
a
n
1
a
n
2
(
n
< br>
N
)
，则
a
1
a
2
a<
/p>
17
______.
< br>
10
、已知
{a
n
}
为等差数列，
a
3
+
a
8
=
22
，
a
6
=
7
，则
a
5
= __________
11
、已
知数列的通项
a
n
= -5
n
+2,
则其前
n
项和为
S
n
=
.
12
、设
S
n
为等差数列
< br>
a
n
的前
n
项和，
S
4
＝
14
，
S
10
S
7
30
，则
S
9
＝
.
题型二、等差数列性质
1
、已知｛
a
n
｝为等差数
列，
a
2
+a
8
=12,
则
a
5
等于（
）
(A)4
(B)5
(C)
6
(D)7
2
、
设
S
n
是等
差数列
a
n
的前
n
项和，若
S
7
35
，则
a
4
（
）
3
、
若等差
数列
a
n
中，
a
3
<
/p>
a
7
a
10
8,
a
11
a
4
4,
则
a
7
__________.
4
、记等差数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
< br>4
，
S
4
20
，则该数列的公差
d=
（
）
A
．
7 B. 6
C.
3 D. 2
5
、等差数列
{
a<
/p>
n
}
中，已知
a
1
A
．
8
B
．
7
C
．
6
D
．
5
<
/p>
1
，
a
2
a
5
4
，
a
n
33
，则
n
为（
）
3
（
A
）
< br>48
（
B
）
49
（
C
）
50
（
D
）
51<
/p>
6.
、
等差数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
=1,
a
3
+
a
5
=14
，其前
n
项和
S
n
=1
00,
则
n
=
（
）
(A)9
(B)
10
(C)11 (D)12
7
、设
S
n
是等差数列
a
n
的前
n
项和，若
A
．
1
B
．－
1
C
．
2 D
．
< br>a
5
5
S
,
则
9
（
）
a
3
9
S
5
1
2
8
、已知等差数列
{a
n
}
满足
α
1
＋α
2
＋α
3
＋…＋α
101
＝
0
则有
( )
A
．α
1
＋α
101
＞
0
B
．α
2
＋α
100
＜
0
C
．
α
3
＋α
99
＝
0
D
．α<
/p>
51
＝
51
9
、如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d
0
，则<
/p>
( )
（
A
）
a
1
a<
/p>
8
a
4
a
5
（
B
）
a
8
a
1
a
4
a
5
（
C
）
a
1<
/p>
+
a
8
a
4
+
a
5
（
D
）
a
1
a
8
=
a
4
a
5
10
、
若一个等差数列前
3
项的和为
34
，最后
3
项的和为
146
，且所有项的和
为
390
，则这个数列有（
）
（
A
）
13
项
（
B
）
12
项
（
C
）
11
项
（
D
）
10
项
题型三、等差数列前
n
项和
1
、等差数列
a
n
中，已知
a
1
a
2
a
3
L
S
< br>n
．
a
10
p
，
a
n
9
a
n
8
L
a
n
q
，则其前
n
项和
2
、等差数列
2
,
1
,
4
,
的前
n
项和为
< br>
（
）
A.
1
2
n
3
n
4
B.
1
2
n
3
n
<
/p>
7
C.
1
2
n
3
n
4
<
/p>
D.
1
2
n
3
n
7
3<
/p>
、已知等差数列
a
n
满足
a
1
a
2
a
3
a
99
0
，则
（
）
A.
a
1
a
99<
/p>
0
B.
< br>a
1
a
99
0
C.
a
1
a
99
0
D.
a
50
50
4
、在等差数列
a
n
中，
a
1
a
2
a
3
15
,
a
n
a
n
1
a
n
2
78
，
S
n
155
，
则
n
。
5
、等差
数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，若
S
2
2,
S
4<
/p>
10,
则
S<
/p>
6
等于
（
）
A
．
12
B
．
18
C
．
24
D
．
42
6
、若等差数列共有
2
n
1
项
n
N
*
，且奇数项的和为
44
，偶数项的和
为
33
，
则项数为
（
）
A. 5 B. 7
C. 9 D. 11
7
、
设等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9
，
S
6
36
，则
a
7
a
8
a
9
8
、
若两个
等差数列
a
b
S
7
n
a
5
n
和
n
的前
n
项和分别是
S
n
，<
/p>
T
n
，
已知
n
T
，
则
等于
（
n
n
3
b
5
Ａ．
7
Ｂ．
2
3
Ｃ．
27
2
1
8
Ｄ．
4
题型四、等差数列综合题精选
1
、等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
记为
S
n
.
已
知
a
10
3
0
,
a
20
50
.
（Ⅰ
）求通项
a
n
；
（Ⅱ）若
S
n
=242
，求
n.
2
、已知数列
{
a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
1
，
< br>a
5
5
。
（
1
）求
{
a
n<
/p>
}
的通项
a
n<
/p>
；
（
2
）求
{
a
n
}
前
n
项和
S
n
的最大值。
3
、设<
/p>
a
n
为等差数列，
S
n
为
数列
a
n
的前
n
项和，已知
S
7
7
，
S
S<
/p>
n
15
75
，
T
n
为数列
n
的前
n
项和，求
T
n
。
4
、已知
a
n
是等差
数列，
a
1
2
，
a
3
<
/p>
18
；
b
n
也是等差数列，
a
2
b
2
4
，
b
1
b
2
b
3
b
4
a
< br>1
a
2
a
3
。
（
1
）求数列
b
n
的通
项公式及前
n
项和
S
< br>n
的公式；
（
2
）数列
a
n
与
b
n
是否有相同的项
若有，在
100
以内有
几个相同项若没有，请说明理由。
5
、
设等差数列
{
a
n
}
的首项
a
1
及公差
d
都为整数，前
n
项和为
S
n
.
(
Ⅰ
)
若
a
11
=0,
S
14
=98,
求数列｛
a
n
｝的通
项公式；
(
Ⅱ
)
若
a
1
≥
6
，
a
11<
/p>
＞
0
，
S
14
≤
77
，求所有
可能的数列｛
a
n
｝的通项公式
.
）