等差数列基础习题精选附详细答案
-
等差数列基础习题精选
一．选择题（共
26
小题）
1
．已知等差数列
{a
n
}
中，
a
3
=9
，
a
9
=3
，则公差
d
的值为（
）
A
．
B
．
1
C
．
D
．
﹣
1
2
．已
知数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
=2n+5
，则此数列是（
）
A
．
以
7
为首项，公差为
2
的等差数列
B
．
以
7
为首项，公差为
5
的等差数列
C
．
以
5
为首项，公差为
2
的等差数列
D
．
不
是等差数列
3
．在等
差数列
{a
n
}
中，
a
1
=13
，
a
3
=12
，若
a
n
=2
，则
n
等于（
）
A
．
2
3
B
．
2
4
C
．
2
5
D
．
2
6
4
．等
差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
S
3
=6
，
a
4
=8
，则公差
d=
（
）
A
．
一
1
B
．
2
C
．
3
D
．
一
2
<
/p>
5
．两个数
1
与
5
的等差中项是（
）
A
．
1
B
．
3
C
．
2
D
．
6
．
一个首
项为
23
，
公差为整数的等差数列，<
/p>
如果前六项均为正数，
第七项起为负数，
则它的公差是
（
）
A
．
﹣
2
B
．
﹣
3
C
．
﹣
4
D
．
﹣
5
7
．
（
2012
•
福建）等差数列
{a
n
}
中，
a
1
+a
5
< br>=10
，
a
4
< br>=7
，则数列
{a
n
}
的公差为（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
8
．数列
则
的首项
为
3
，
为等差数列且
< br>，若
，
，
=
（
）
A
．
0
B
．
8
C
．
3
D
．
1
1
<
/p>
9
．已知两个等差数列
5
，
8
，
11
< br>，
…
和
3
，
7
，
11
，
…
都有
100
项，则它们的公共项的个数为（
）
A
．
2
5
B
．
2
4
C
．
2
0
D
．
1
9
<
/p>
10
．设
S
n<
/p>
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若满足
a
n
=a
n
﹣
1
+2
（
< br>n
≥
2
）
，且
S
3
=9
，则
a
1
=
（
）
A
．
5
B
．
3
C
．
﹣
1
D
．
1
11
．
（
2005
•
黑龙江）如果数列
{a
n
}
是等差数列，则（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
a
1
+a
8
＞
a
4
+a
5
a
1
+a
8
＜
a
4
+a
5
a
< br>1
+a
8
=a
< br>4
+a
5
a
1
a
8
=a
4
a
5
12
．<
/p>
（
2004
•
福
建）设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
A
．
1
B
．
﹣
1
C
．
2
=
（
）
D
．
13
．<
/p>
（
2009
•
安
徽）已知
{a
n
}
为等差数列，
a
1
+a
3
+a
5
=105
，
a
2
+a
4
+a
6
=99
，则
a
20
等于（<
/p>
）
A
．
﹣
1
B
．
1
C
．
3
D
．
7
14
．在等差数列
{a
n
}
中，
a
2
=4
，
a
6
=12
，
，那么数列
{
A
．
B
．
}
的前
n<
/p>
项和等于（
）
C
．
D
．
15
．已
知
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项的和，
a
2
< br>+a
5
=4
，
< br>S
7
=21
，则
a
7
的值为（
）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
16
．已知数列
{a
n
}
为等差数列，
a
1
+a
3
+a
5
=15
，
a
4
=7
，则
s
6
的值为（
）
A
．
3
0
B
．
3
5
C
．
3
6
<
/p>
17
．
（
201
2
•
营口）等差数列
{a
n
}
的公差
d
＜
0
，且
数
n
是（
）
A
．
5
D
．
2
4
，则数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
取得最大值时的项
B
．
6
C
．
5
或
6
D
．
6
或
7
18
．
（
2012
•
辽宁）在等差数列
{a
n
}
中，已知
a
4
+a
8
=16
，则该数
列前
11
项和
S
11
=
（
）
A
．
5
8
B
．
8
8
C
．
1
43
D
．
1
76
19
．已知数列
{a
< br>n
}
等差数列，且
a
1
+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=10
，
a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
=20
，则
a
4
=
（
）
A
．
﹣
1
B
．
0
C
．
1
D
．
2
20
．
（理）已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=n
2
﹣
8n
，第
k
项满足
4
＜
a
k
＜
7
，则
k=
（
）
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
21
．数列
a
n<
/p>
的前
n
项和为
S
n
，若
S
n<
/p>
=2n
2
﹣
17
n
，则当
S
n
取得最小值时
n
的值为（
）
A
．
4
或
5
B
．
5
或
6
C
．
4
D
．
5
22
．等差数列
{a
n
}
中，
a
n
=2n
﹣
4
，则
S
4
等于（
）
A
．
1
2
B
．
1
0
C
．
8
D
．
4
23
．若
{a
n<
/p>
}
为等差数列，
a
3
=4
，
a
8
=19
，则数列
{a
n
}
的前
10
项和为（
）
A
．
2
30
B
．
1
40
C
．
1
15
D
．
9
5
<
/p>
24
．等差数列
{a
n
}
中，
a
3
+a
8
=5
，则前
10
项和
S
< br>10
=
（
）
A
．
5
B
．
2
5
C
．
5
0
D
．
1
00
2
/
17
25
．设
S
n
是公差不为
0
的等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列，则
A
．
1
B
．
2
C
．
3
等于（
）
D
．
4
26
．设
a
n
=
﹣
2n+21
，则数列
{a
< br>n
}
从首项到第几项的和最大（
）
A
．
第
10
项
B
．
第
11
项
C
．
第
10
项或
11
项<
/p>
二．填空
题（共
4
小题）
27
．如果数列
{a
n
}
满足：
D
．
第
12
项
=
_________
．
28
．如果
f
（<
/p>
n+1
）
=f
（
n
）
+1
（<
/p>
n=1
，
2
，<
/p>
3
…
）
，且
f
（
1
）
=2
，则
f
（
100
）
=
_________
．
29
．等差数列
{a
n
}
的前
n
项的和
30
．已知
{a
n
}
是一个公差大于
0
的等差数列，且满足
a
3
a
6
=55
，
a
2
+a
7
=16
．
（
Ⅰ
）求数列
{a
n
}
的通项公式：
（
Ⅱ
）
若数列
{a
n
}
和数列
{b
n
}
满足等式：
a
n=
=
S
n
．
（
n
为正整数）
，求数列
{b
< br>n
}
的前
n
项和
，则数列
{|a
n
|}
的前
10
项之和为<
/p>
_________
．
3
/
17
参考答案与试题解析
一．选择题（共
< br>26
小题）
1
．已知等差数列
{a
n
}
中，
a
3
=9
，
a
9
=3
，则公差
d
的值为（
）
A
．
B
．
1
C
．
考点
：
等差数列．
专题
：
计算题．
分析：
本题可由题意，构造方程组
解答：
<
/p>
解：等差数列
{a
n
}
中，
a
3
=9
，
a
9
=3
，
由等差数列的通项公式，可得
D
．
﹣
1
，解出该方程组即可得到答案．
解得
，即等差数列的公差
d=
﹣
1
．
故选
D
点评：
本题为等差数列的基本运算，
只需构造方程组即可解决，数基础题．
2
．已知数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
=2n+5
，则此数列
是（
）
A
．
以
7
为首项
，公差为
2
的等差数列
B
．
以
7
为首项，公差为
5
的等差数列
C
．
以
5
为首项，公差为
2
的等差数列
D
．
不
是等差数列
考点
：
等差数列．
专题
：
计算题．
分析：
直接根据数列
{a
n
}
的通项公式是
a
n
=2n+5
求出
首项，再把相邻两项作差求出公差即可得出结论．
解答：
解：因为
a
n
=2n+5
，
所以
< br>a
1
=2
×
1+5=7
；
a
n+1
﹣
a
n
=2
（
n+1
）
+5
﹣（
2n+5
）
=2
．
故此数列是
以
7
为首项，公差为
2
的等差数列．
故选
A
．
点评：
本题主要考查等差数列的通项
公式的应用．如果已知数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．
3
．在等
差数列
{a
n
}
中，
a
1
=13
，
a
3
=12
，若
a
n
=2
，则
n
等于（
）
A
．
2
3
B
．
2
4
C
．
2
5
D
．
2
6
考点
：
等差数列．
专题
：
综合题．
分析：
根据
a
1
=13
，
a
3
=12
，利用等差数列的通项公式
求得
d
的值，然后根据首项和公差写出数列的通项公式，让
其等于
2
得到关于
n
的方程，求出方程的解即可得到
n
的
值．
4
/
17
解答：
解：由题意得
a
3
=a
1
+2d=12
，把
a
1
=13
代入求得
d=
﹣
，
则
a
n
=13
﹣
（
n
﹣
1
）
=
﹣
n+
=2
，解得
n=23
故选
A
点评：
此题考查学生灵活运用等差数
列的通项公式化简求值，是一道基础题．
4
．等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
S
3
=6
，
a
4
=8
，则公差
d=
（
）
A
．
一
1
B
．
2
C
．
3
D
．
一
2
考点
：
等差数列．
专题
：
计算题．
分析：
根据等差数列的前三项之和是
6
，得到这个数列的第二项是
2
，这样已知等差数列的；两项，根据等差数列
的通项公式，得到数列的
公差．
解答：
解：
∵
等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
3
=6
< br>，
∴
a
2
=2
∵
a
4
=8<
/p>
，
∴
8=2+2d
∴
d=3
，
故选
C
．
点评：
本题考查等差数列的通项，这
是一个基础题，解题时注意应用数列的性质，即前三项的和等于第二项的三
倍，这样可以
简化题目的运算．
5
．两个数
1
与
5
的等差中项是（
）
A
．
1
B
．
3
C
．
2
D
．
考点
：
等差数列．
专题
：
计算题．
分析：
由于
a
，
b
的等差中项为
< br>，由此可求出
1
与
5
的等差中项．
解答：
解：
1
与
5<
/p>
的等差中项为：
故选
B
< br>．
点评：
< br>本题考查两个数的等差中项，牢记公式
a
，
b
的等差中项为：
是解题的关键，属基础题．
=3
，
6
．
一个首项为
23
，
公差为整数的等差数列，
如果前六项均为正数，
第七项起为负数
，
则它的公差是
（
）
A
．
﹣
2
B
．
﹣
3
C
．
﹣
4
D
．
﹣
5
考点
：
等差数列．
专题
：
计算题．
分析：
设等差数列
< br>{a
n
}
的公差为
d
，因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，所以
，结合公
5
/
17
差为整数进而求出数列的公差．
解答：
解：设等差数列
{a
n
}
的公差为
d
，
所以
a
6
=23+5d
，
a
7
=23+6d
，
又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，
所以
，
因为数列是公差为整数的等差数列，
所以
d=
﹣
4
．
故选
C
．
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌
握等差数列的通项公式，并且结合正确的运算．
7
．
（
2012
•
福建）等差数列
{a
n
}
中，
a
1
+a
5
< br>=10
，
a
4
< br>=7
，则数列
{a
n
}
的公差为（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
考点
：
等差数列的通项公式．
专题
：
计算题．
分析：
设数列
{a
n
}
的公差为
< br>d
，则由题意可得
2a
1
+4d=10
，
a
1
+3d=7
，由此解得
d
的值．
解答：
解：设数列
< br>{a
n
}
的公差为
d
，则由
a
1
+a
5
=10
，
a
4
=7
，可得
2a
1
+4d=10
，
a
1
+3d
=7
，解得
d=2
，
故选
B
．
点评：
本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
8
．数列
则
的首项为
3
，
为等差数列且
，若
，
，
=
（
）
C
．
3
D
．
1
1
A
．
0
B
．
8
考点
：
等差数列的通项公式．
专题
：
计算题．
分析：
先确定等差数列
的通项，再利用
解答：
解
：
∵
为等差数列，
，
< br>，
，我们可以求得
的值．
∴
∴
b
n
=b
3
+
（
n
﹣
3
）
×
2=2n
﹣
8
∵
∴
b
8
=a
8
﹣
a
1
∵
< br>数列
的首项为
3
∴
2
×
8
﹣
8=a
8
﹣
3
，
∴
a
8
=11
．
6
/
17
故选
D
点评：
本题考查等差数列的通项公式
的应用，由等差数列的任意两项，我们可以求出数列的通项，是基础题．
9
．已知
两个等差数列
5
，
8
< br>，
11
，
…
和
3
，
7
，
11
，
…
都
有
100
项，则它们的公共项的个数为（
）
A
．
2
5
B
．
2
4
C
．
2
0
D
．
1
9
考点
：
等差数列的通项公式．
专题
：
计算题．
分析：
（法一）
：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最
< p>小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数
列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．
解答：
解法一：设两个数列相同的项
按原来的前后次序组成的新数列为
{a
n
}
，则
a
1
=11
∵
数列
5
，
8
，
11
，
…
与
3
，
7
，
11
，<
/p>
…
公差分别为
3
与
4
，
∴<
/p>
{a
n
}
的公差
d=3
×
4=12
，
∴
a
n
=11+12
（
n
< br>﹣
1
）
=12n
﹣
1
．
又
∵
5
，
8
，
11
，
…
与
3
，
7
，
11
，
…
的第
100
项分别是
302
与
399
，
∴
a
n
=12n
﹣
1
≤
302
，即
n
≤
25.5
．
又
< br>∵
n
∈
N*
，
∴
两个数列有
25
个相同的项．
故选
A
解法二：设
< br>5
，
8
，
11
，与
3
，
7
，
11
，分别为
< br>{a
n
}
与
{b
n
}
，则
a
n
=3n+2
，
b
n
=4n
﹣
1
．
设
{a
n
}
中的第
< br>n
项与
{b
n
< br>}
中的第
m
项相同，
即
3n+2=4m
﹣<
/p>
1
，
∴
n=
m
﹣
1
．
又
m
、
n
∈
N*
，可设
m=3r
（
r
∈
N*
）
，得
n=4r
﹣
1
．
根据题意得
1<
/p>
≤
3r
≤
100
1
≤
4r
﹣
1
≤
100
解得
≤
r
≤
∵
r
∈
N*
从而有
25
个相同的项
故选
A
点评：
解法一利用了等差数列的性质
，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的
要求较高．<
/p>
10
．设
S
n
为等差数
列
{a
n
}
的
前
n
项和，若满足
a
< br>n
=a
n
﹣
1
+2
（
n
≥
2
）
，且
S
3
=9
，则
a
1
=
（
）
A
．
5
B
．
3
C
．
﹣
1
D
．
1
考点
：
等差数列的通项公式．
专题
：
计算题．
分析：
根据递推公式求出公差为
2
，再由
S
3
=9
以及前
n
项和
公式求出
a
1
的值．
< br>
解答：
解：
∵
a
n
=a
< br>n
﹣
1
+2
（
n
≥
2
）
，
∴
a
n<
/p>
﹣
a
n
﹣
1
=2
（
n
≥
2
）
，
∴
等差数列
{a
n
}
的公差是
2
，
由
S
3
=3a
1
+
故选
D
．
=9
解得，
a
1
=1
．
7
/
17
点评：
本题考查了等差数列的定义，
以及前
n
项和公式的应用，即根据代入公式进行求解．
11
．
（
2005
•
黑龙江）如果数列
{a
n
}
是等差数列，则（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
a
1
+a
8
＞
a
4
+a
5
a
1
+a
8
＜
a
4
+a
5
a
< br>1
+a
8
=a
< br>4
+a
5
a
1
a
8
=a
4
a
5
考点
：
等差数列的性质．
分析：
用通项公式来寻求
a
1
+a
8
与
a
4
+a
5
的关系．
解答：
解：
∵
a
1
+a
8
﹣（
a
4
+a
5
）
=2a
1
+7d
﹣（
2a
1
+7d
）
=0
< br>∴
a
1
+a
8
=a
4
+a
5
∴
故选
B
点评：
本题主要考查等差数列通项公式，来证明等差数列的性质．
12
．<
/p>
（
2004
•
福
建）设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，若
A
．
1
B
．
﹣
1
C
．
2
=
（
）
D
．
考点
：
等差数列的性质．
专题
：
计算题．
分析：
充分利用等差数列前
n
项和与某些特殊项之间的关系解题．
解答：
解：设等差数列
{a
n
}
的首项为
a
1
，由等差数列的性质可得
< br>
a
1
+a
9
=2a
5
，
a
1
+a
5
=2a
3
，
∴
=
=
=
=
1
，
故选
A
．
点评：
本题主要考查等差数列的性质
、等差数列的前
n
项和公式以及等差中项的综合应用，
已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，则有如下关系
S
2n
﹣
1
< br>=
（
2n
﹣
1
）
a
n
．
13
．
（
2009
•
安徽）已知
{a
n
< br>}
为等差数列，
a
1
+a
3
+a
5
=105
，
a
2
+a
4
+a
6
=99
，则
a
20
等于（
）
A
．
﹣
1
B
．
1
C
．
3
D
．
7
考点
：
等差数列的性质．
专题
：
计算题．
分析：
根据已知条件和等差中项的性
质可分别求得
a
3
和
< br>a
4
的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通
项
公式求得答案．
解答：
解：由已知得
a
1
+a
3
< br>+a
5
=3a
3
=105
，
a
2
+a
4
+a
6
=3a
4
=99
，
∴
a
3
=35
，
a
4
=33
，
∴
d=a
4
﹣
a
3
=
﹣
2
< br>．
∴
a
20
=a
3
+17d=35+
（﹣
2
）
×
17=1
．
故选
B
8
/
17