等差数列典型例题
-
等差数列典型例题
类型一：直接利用等差数列的定义、公式求解
例
1
.
（
1
）求等差数列
3
，
7
，
11
，„„的第
11
项
.
（
2
）
100
是不是
等差数列
2
，
9
，
16
，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，
说明理由
.
思路点拨
:
（
1
）根据所给数列的前
2
项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而
求出所求项；
（
2
）
题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，
关键是要看是否存在一正
整数
n
值，使得
a<
/p>
n
等于这一数
.
总结升华：
1.
根据所给数列的前
2
项求得首项
a
1
和公差
d
，
写出通项公式
a
n
.
2.
要注意解题步骤的规范性与准确性
.
举一反三：
【变式
< br>1
】求等差数列
8
，
5
，
2
„的第
21
项
【变式
2
】－
20
是不是等差
数列
0
，
是
，说明理由
.
【变式
3
】
求集合
M
{
m
|
m
< br>
7
n
,
n
N
,
m
100}
的元素的个数，
并求这些元素的和
类型二：根据公式列方程（组）求解
例
2
．
已知等差数列
< br>{
a
n
}
中，
a
15
33
，
a
45
153
，
试问
217
是否为此数列的项？若是，
说明是第几项？若不是，
说明理由。
思路点拨
:
由于在条件中已知两项的值（两个等式）
，所以在求解方法上，可以考虑运用
方程思想求解基本量首项
a
1
和公差
d
，也可以利用性质求
< br>d
，再就是考虑运用等差数列的
几何意义。
总结升华：
1.
等差数列的关键是首项
a
1
与公差
d
；五个基本量
a
1
、
n
、
d
、
a
n
、
S
n
中，已知三
个基本量便可求出其余两个量；
2.
列方程（组）求等差数列的首项
a
1
和公差
d
，再求出
a
n
、
S
n
，是数列中的基本方法
.
举一反三：
【变式
< br>1
】等差数列
-10
，
-6
，
-2
，
2
，„前多少项的和是
54
？
【变式
2
】等差数列
{
a
n
}
中
,
d
4
, <
/p>
a
n
18
,
S
n
48
,
求
a
1
的值
.
【变式
3
】已知等差数列
{
a
n
}
，
a
3
类型三：等差数列的判断与证明<
/p>
例
3.
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
4
n
3
n
，求证：数
列
{
a
n
}<
/p>
为等差数列
.
2
7
，－
7
，„„的项？如果是，是第
几项？如果不
2
*
5
< br>3
，
a
7
，则
a
15
=
。
4
4
思路点拨
:
由等差数列的定义，要判定
{
a
n
}
是不是等差数列，只要看
a
n
a
n
< br>
1
（
n
2
）
是不是一个与
n
无关的常数。
总结升华：
1.
定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法
.
2.
一般地，如果一个数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
pn
qn
r
，其中
p
、
q
、
r
为常
数，且
p
0
，那么当常数项
r
<
/p>
0
时，这个数列一定是等差数列；当常数项
r
0
时，这个
数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列
.
举一反三：
【变式
< br>1
】已知数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
pn
q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列
是否一定是等差数列？若
是，首项与公差分别是什么？
【变式
2
】已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
列。
类型四：利用等差数列的性质
例
4.
已知等差数列
{
a
n
}
中，若
a
3
a
8
a
13
12
,
a
3
a
8
a<
/p>
13
28
,<
/p>
求
{
a
n
}
的通项公式。
思
路点拨
:
可以直接列方程组求解
a
1
和
d
；
同时留意到脚标
3
1
3
8
2<
/p>
，
可以用性质：
当
m
n
2
p
时
a
m
a
n
2
a
p
解题
.
总结升华：
利用等差数列的性质解题，往往比
较简捷
.
举一反三：
【变式
1
】在等差数列
{<
/p>
a
n
}
中，
a
2
a
8
18
，则
a
5
=
【变式
2
】在等差数列
{
a
n
}
中，
a
2
a
5
a
8
a
11
20
，则
a
6
+
a
7
=
【变式
3
】在等差数列
{
a
n
}
中，
若
a
1
a<
/p>
6
9
,
a
4
7
,
则
a
3
=
,
a
9
=
例
5
．
等差数列
{
a
n
}
前
m
项和为
30
，前
2m
项和为
10
0
，求它的前
3m
项和
.
思路点拨
:
利用等差数列
的前
n
项和公式
S
n
na
1
2
2
a
n
1
*
（
n
N
）
，求证：<
/p>
{
}
是等差数
a
n
2
a
n
n
(
n
1
)
“等
d
求解；或利用性质：
2
差数列的连续
10
项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解
；或利用相关的函数
（
S
n
An
Bn
）等知识求解。
解析：
方法一：
利用等差数列的前
n
项和公式
S
n
na
1
2
n
(
n
1
)
d
求解。
2