高阶等差数列
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高阶等差数列
一、基本知识
1.
定义：
对于一个给定的数列
{
a
n
}
< br>，
把它的连结两项
a
n
+1
与
a
n
的差
a
n
+1
-
a
n
记为
b
n
，
得到一个
新数列
{
b
n
}
，把数列
b
n
你为原数列
{
a
n<
/p>
}
的一阶差数列，如果
c
n
=
b
n
+1
-
b
n
，则数列
{
c
n
}
是
{
a
n
}
的二阶差数列依此类推，可得出数列
{
a
n
}
的
p
阶差数列，其中
p
< br>Î
N
2.
如果某数列的
p
阶差数列是一非零常数列，则称此数列为
p
阶等差数列
3.
高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称
4.
高阶等差数列的性质：
(1)
如果数列
{
a<
/p>
n
}
是
p
阶等差数列，则它的一阶差数列是
p
-1
阶等差数列
(2)
数列
{
a
n
}
是
p
阶等差数列的充要条件是：数列
{
a
n
}
的通项是关于
n
的
p
次多项式
(3)
如果数列
{
a
n
}
是
p
阶等差数列，则其前
n
项和
S
n<
/p>
是关于
n
的
p<
/p>
+1
次多项式
5.
高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前
n
项和，
更深层次的问题是差分方程
的求解，
解决问题的基本方法有：
(1)
逐差
法：其出发点是
a
n
=
a
1
+
(2)
待定系数法：
在已知阶数的等差数列中，
其通项
a
n
与前
n
项和
S
n
是确定次数的多项式
(
关
于
n
的
)
，先
设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得
(3)
裂项相消法：其出发点是
a
n
能写成
a
n
=
f
(
n
+1)-
f
(
n
)
(4)
化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差
数列的问题，达
到简化的目的
二、例题精讲
例
1.
数列
{
a
n
}
的二阶差数列的各项均为
16
，且
a
63
=
a
89
=10
，求
a
51
解：
法一：
显然
{
a
n
}
的二阶差数列
{
b
n
}
< br>是公差为
16
的等差数列，
设其
首项为
a
,
则
b
n
=
a
+(
n
-1)×
16,
于是
a
n
=
a
1
+
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=
a
1
+(
n
-1)
a
+8(
n
-1)(
n
-2)
这是一个关于
n
的二次多项式，其中<
/p>
n
2
的系数为
8
，由于
a
63
=
a
89
=10,
所以
a
n
=8(
n
-63)(
n
-89)+10
，从而
a
5
1
=8(51-63)(51-89)+10=3658
解：
法二：由题意，数列
{
a
n
}
是二阶等差数列，故其通项是
n
的二次多项式，又
a
63
=<
/p>
a
89
=10
，
故可设
a
n
=
A(
n
-63)(
n
< br>-89)+10
由于
{
a
n
}
是二阶差数列的各项均为
16
，所以
(
a
3
-
a
2
)-(
a
2
-
a
1
)=16
即
a
3
-2
a
2
+
a
1
< br>=16
，所以
A(3-63)
(3-89)+10-2[A(2-63)(2-89)+10]+A(1-63)×
(
1-89)+10=16
解得：
A=8
a
n
=8(
n
-63)(
n
-89)+10
，从
而
a
51
=8(51-63)(51-
89)+10=3658
例
2.
一个
三阶等差数列
{
a
n
< br>}
的前
4
项依次为
30,72,140,240
，求其通项公式
解：由性质
(2)
，
a
n
是
n
的
三次多项式，可设
a
n
=A
n
3
+B
n
2
+C
n
+D
由
a
1
=30
、
a
2
=72
、
a
3
=140
、
a
4
=240
得
解得：
所以
a
n
=
n
3
+7
n
2
+14
n
+8
例
3.
求和：
S
n
=1×
3×
2<
/p>
2
+2×
4×
3
2
+…+
n
(
n
+2)(
n
+1)
2
解：
S
n
是是数列
{
n
(
n
+2)(
< br>n
+1)
2
}
< br>的前
n
项和，
因为
a
n
=
< br>n
(
n
+2)(
n
+1)
2
是关于
n
的四次多项式，所以
{
a
n
}
是四阶等差数列，于是
S
n
是关于
n
的五次多项式
k
(<
/p>
k
+2)(
k
+
1)
2
=
k
(
k
+1)(
k
+2)(
k
+3)-2
k
(
k
+1)(
k
+2)
，故求
S
n
可转化为求
K
n<
/p>
=
和
T
n
=
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