认识·隔项等差数列
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认识隔项等差数列
一、升降维法
引例：已知数列
a
n
满足：
n
＞
2
，
2
a
n
a
n
2
a
n
2
①，以及
n
＞
3
，
2
a
n
a
n
3
a
n
3
②
.
试问：数列
a
n
是否是等差数列？
（
注意
：
为叙述方便，本专题将
2
a
n
a
n
2
a
< br>n
2
称为隔两项等差，将
2
a
n
a
n
3
a
n
< br>3
称
为隔三项等差，
a
n
称为中心
.
）
解：不难发现，①式中右侧两项“距离”中心较近，而②式中右侧两
项“距离”中心较远，
所以应使“距离”中心较远的项不断接近中心
.
套路如下：
由①式可得
a
n
2
2
a
n
a
n
2
和
a
n
2
2
a<
/p>
n
a
n
2
，所以有
a
n
3
2
a
n
1
a
n
< br>
1
(n
＞
1)
和
a
n
3
2
a
n
1
a
n
1
(n
＞
3)
，代入②式
，有
2
a
n
a
n
1
a
n
1
(n
＞
3)
，即数列
a
n
从第三项起
成等差数列
.
下证明数列
a
n
从第一项起成等差数列
.
设
a
3
x
，
公差
d<
/p>
，
则令①式中
n=3
，
变形得
a
1
2
a
3
a
5
x<
/p>
2
d
，
同理有
a
2
x
d
，
所以
2
a
2
a
1
< br>a
3
，
2
a
3
a
2
a
4
，所以
数列
a
n
是等差数列
.
例：
设数列
{
a
< br>n
}
、
{
b
n
}
、
{
c
n
}
满足：
b
n
a
n
a
n
2
，
c
n
a
n
< br>
2
a
n
1
3
a
n
2
（
n
=1,2,3,
…）
，
证明
{
a
n
}
为等差数列的充分必要条件是
{
c
n
}
为等差
数列且
b
n
b
n
1
（<
/p>
n
=1,2,3,
…）
< br>.
证明：必要性
.
设
{
a
n
}
是公差为
d
1
的等差数列
，则
b
n
1
b
n
(
a
n
1
a
n
3
)
< br>
(
a
n
a
n
2
)
(
a
n
1
a
n
)
(
a
n
< br>3
a
n
2
)
d
1
d
1
0
所以
b
n
b
n
1
(
n
1
,
2
,
3
,
）成立
.
又
c
n
1
c
n
(
a
n
1
a
n
)
2
(
a
< br>n
2
a
n
1
)
3
(
a
n
3
a
n
2
)
d
1
2<
/p>
d
1
3
d
1
6
d
1
（常数）（
n
=1
，
2
，
3
，…），
所以数列
{
c
n
}
为等差数列
.
充分性
.
设数列
{
c
n
}
是公差
d
2
的等差数列，且
b
n
b
1
（
n
=1
，
2
< br>，
3
，…）
.
c
n
a
n
2
a
n
1
<
/p>
3
a
n
2
,
c
n
2
a
n
2
2
a
n
3
3
a<
/p>
n
4
.
①
②
①－②得
c
n
c
n<
/p>
2
(
a
n
a
n
2
)
2
(
a
n
1
a
n
3
)<
/p>
3
(
a
n
2
a
n
4
)
b
n
2
b
n
1
3
b
n
2
,
< br>，
c
n
c
n
2
(
c
n
c
n
1
)
(
c
n
< br>1
c
n
2
)
2
d
2
b
n
2
b
n
1
3
b
< br>n
2
2
d
2
，
③
从而有
b
n
1
2
b
n
2
3
b
n
3
< br>2
d
2
.
④
④－③得
(
b
n
1
b
n
< br>)
2
(
b
n
2
b
n
1
)
3
(
b
n
3
b
n
< br>2
)
0
.
⑤
b
n
1
b
n
0
,
b
n
2
b
n
1
< br>0
,
b
n
3
b
n
2
0
，
∴由⑤得
b<
/p>
n
1
b
n
0
(
n
1
,
2
,
3
,
).
由此不妨设
b
n
< br>d
3
(
n
1
,
2
,
3
,
),<
/p>
则
a
n
a
n
2
d
3
（常数）
.
由此
c
n
a
n
2
a
n
< br>1
3
a
n
2
4
a
n
2
a
n
1
3
d
3
，
从而
c
n
1
4
a
n
1
2
a
n<
/p>
2
3
d
3
4
a
n
1
2
a
n
5
d
3
，
两式相减得
a
n
1
c
n
2
(<
/p>
a
n
1
a
n
)
2
d
3
，
因此
a
< br>n
1
a
n
1
1
(
c
n
1
c
n
)
d
3
d
2
< br>d
3
(
常数
)(
n
1
,
2
,
3
,
)
，
2
2
所以数列
{<
/p>
a
n
}
是等差<
/p>
数列
.
二、
分组拼凑法（利用
a
n
的双重身份）<
/p>
2
a
n
a
n
2
a
n
2
①，
2
< br>a
n
a
n
3
a
n
3
再看引
例：
已知数列
a
n
满足：
以及
< br>
n
＞
3
，
n
＞
2
，
②
.
试问：
数列
a
n
是否是等差数列？
解：