等差数列前n项和与第n项关系
-
1
等差数列中
S<
/p>
n
与
a
n
间的重要关系及其应用
“设
S
n
、
a
n
分别是等差数列｛
a
n
｝的前
n
和与通项，则它们之间有如下的
重要关系：
S
n
=<
/p>
（
kn
）
a
n
，其中
k
是非零
实数，
n
是正整数。
”
我们知道，等差数列｛
a
n
｝的前
n
和
S
n
、通项
a
n
分别有如下的表达式：
n(n-1)
d
d
⑴
S<
/p>
n
=na
1
-
d
，其可等价变形为
S
n
=
n
2
+(a
1
-
)n
，它是关于
2
< br>2
2
n
的二次函数且不含常数项
，一般形式是：
S
n
=An
2
+Bn
，其中
A<
/p>
、
B
是非零待
定
系数；
⑵
a
n
= a
1
< br>+
（
n-1
）
< br>d
，其可等价变形为
a
n
=dn+
（
a
1<
/p>
-d
）
，它是关于
n
的一次函数，一般形式是：
a
n
=an+b
，其中
a
< br>、
b
是非零待定系数；
通过对等差数列｛
a
n
｝前
n
和
S
n
的一般形式
S
n
=An
2
+Bn
与其通项<
/p>
a
n
的
一般形
式
a
n
=an+b
< br>的观察分析，不难得出
S
n
与<
/p>
a
n
之间有这样的重要关系式：
S
n
=
（
kn
）
a
n
。
S
n
与
a
n
相互关系的应用举例：
例
1
有两个等差数列｛
a
n
｝
、
｛
b
n
｝
，其前
n
和分别为
S
n
、
T
n
，并且
a
S
n
7n+
2
a
=
,
求
:
⑴
<
/p>
5
的值；⑵
5
的
值
b
5
T<
/p>
n
n+3
b
11
分析
:
由等差数列可知
,
其前
n
项和是关于
n
的二次函数且不含常数项；
根据已知条件
,
两个等差数列前
n
项和的比的结果是关于
n
的一次因式
,
说明
它们在相比的过程中约去了一个共同的因式
kn
，于是，我们只要将其还原，
即可得到两个等差
数列的前
n
项和，
再对照等差数列前<
/p>
n
项和的二次函数形
d
< br>d
式：
S
n
=
n
2
+(a
1
-
)n
，很快便可得到其首项、公差与通项，进而由等差
2
2
数列通项公式求出数列中的任意一项。
S
n
7n+2
S
n
（
7
n
<
/p>
2
）
kn
S
n
7
kn
2
2
kn
解：
=
=
=
，于是我们便得到
2
n+3
T
n
T
n
(
n
3
)
kn
T
n
kn
3
kn
两个等差数列
{a
n
}{b
n
}
的前
n
项和分别是
S
< br>n
=7kn
2
+2kn,
T
n
=kn
2
+3kn
。设
等差数列｛
a
n
｝
、
｛
b
n
｝的公差分别是
d
1
、
d
2
。根据等差数列的前
n
项和
S
n
d
d
是关于
n
的二次函数且不含常数项，即
S
n
=
n
2
+(a
1
-
)n
，于是相互对照
2
2
比较便得：
d
d
d
①
1
=7k
且
a
1
-
1
=2k
，
解之得
a
1
=9k
，
d
1
=14k
，<
/p>
从而有
a
5
=6
5k
；
②
2
=
k
2
2
2