数量关系中等差数列的终极解题技巧
-
数量关系中等差数列的终极解题技巧
一般如果一个数列从第二项起，
每一项与前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就
叫等差数列，常数
d<
/p>
为公差。等差数列通项公式写为
a
n
a
1
(
n
1
)
d
。
同时我们还可以得出等差数列的下列性质：
< br>（
1
）
a
n
a
m
n
m
d
；
（
2
）
m
、
n
、
p
< br>、
q
是正整数，且
m+n=p+
q
，则有
a
m
a
n
a<
/p>
p
a
q
；
（
3
）
a
1
a
n
a
2
a
n
1
；<
/p>
（
4
）若
m
n
2
p
，则
a
m
a
n
2
a
p
。
求和公式：和
=
首项
末项
项数
平均数
项数
中位数
项数
；
2
末项
首项
1
。根据这些性质和公式，我们看其在公务员考试中
公差
项数公式：
项数
的应用。
【例
1
】
{
a
n
}
< br>是一个等差数列，
a
3
+a
7
-a
10
=8<
/p>
，
a
11
-a
4
=4
，则数列前
13
项的和是（
）
。
A.32 B.36 C.156 D.182
解析：根据求和公式和已知项数
13
，我们只需求出中
位数
a
7
，就可以计算出数列前
13
项的和。将题目中两式相加
a
3
+a
7
-a
10
+(a
11
-a
4)
=8+4=12
，
a
7
12
，故数列前
13
项的和
=13×
12=156
，答案为
C
< br>。
解析：假设小华从
1
数到
n
，重复数的
数字为
x
，
1
x
n
，则
前
n
项和
=
n
(
n
1
)
，
2
n
(
n
1
)
x
n
< br>(
n
1
)
2
x
，
将
这
些
数
求
平
均
=
则
他
所
数
的
全
部
数
< br>=
7
.
4
，
则
全
部
数
2
n
1
n
(
n
1
)
x
7
.
< br>4
n
1
，肯定是一个整数，则
n
1
是
5
的倍数。若
n
1
5
，则
=
2
n
4
,
x
27
，显
然不符合
条件。同样的
n
1
10<
/p>
，
n
9
,
x
29
也不符
合题意
。
n
1
15
，
n
14
,
x
6
，故他重复的那个数是
6
，答案为
< br>B
。
1
解析
：已知
A
班
15
人，根据等差数列的定义和性质及求和公式，我们知
K
班
25
人，
则
A
—
K
班一共
数公式
知
下面介绍一大类倒数成等差数列的题型，
< br>即调和平均数问题：
a
15
25
11
220<
/p>
人，
L
班
23<
/p>
人，
故第
244
名学生是
M
班
1
号，
根据项
2
256
244
1
13
，所以第
256
名学生的学号是
M13
。
1
2
1
1
a
1
a<
/p>
2
2
a
1
a
2
。
a
1
a
2
利用调和平均数我们可以解决五类题：
（
1
）
等
距离平均速度问题：
解析：上山、下山一样的路程，则小王的平均速度我们直接代入公式：
v
2
v
1
v
2
2
4
6
4
< br>.
8
，答案为
B
。
v
1
v
2
4
6
（
2
）<
/p>
等
价钱平均价格问题：
【例
2
】
小华在练习自然数
数数求和，
从
1
开始，
数着数着他发现自己重复数了一个数，
在这种情况下他将所数的全部数求平均，
结果为
7.4
，请问他重复数的那个数是（
）
。
A.2 B.6 C.8
D.10
【例
3
】某校按字母从
A
到
Z
的顺序给班
级编号，
按班级编号加
01
、
02
、
03
…给每位学
生按顺序定学号，若
A
—
K
班级人数从
15
人起每班
递增一名，之后每班按编号顺序递减
2
名，则第
256
名学生的学号是多少？（
）
。
A. M12 B. N11 C. N10 D.
M13
【例
4
】小王登山，上山的速度是每小时
4
千米，到达山顶后原路
返回，速度为每小时
6
千米。设山路长为
9
千米，小王的平均速度为（
）千米
/
时。
A.5
B.4.8
C.4.6
D.4.4
【例
< br>5
】小张下个月结婚，他想去商店购买两种糖混合制成喜糖发给同事。商店里巧克
力糖、奶糖、酥糖、椰糖、玉米糖每千克的价钱分别为
30
元、
18
元、
15
元、
12
元和
10
元，
小张拿出预算的一半全部购买了巧克力糖。如果他希望
他的喜糖包平均重量为
2
两
/
包，平
2