等差数列性质及练习习题.docx
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等差数列
1.
定
：
a
n
1
a
n
2.
等差数列的通
：
d (
d
为常数
）
或
a
n
1
a
n
a
n
a
n
a
1
( n
1)d
或
a
n
a
m
a
n 1
( n
2)
( n
m) d
。
3.
等差中
：
若
a,
A,b
成等差数列，
A
叫做
a
与
b
的等差中
，且
A
a b
2
4.
等差数列的前
n
和：
S
n
n(a
1
a
)
2
n
，
S
n
na
1
5.
等差数列的性
：
（
1
）当公差
d
率
公差
d
；
n(n 1)
d
2
0
，等差数列的通
公式
a
n
a
1
(n 1)d dn a
1
d
是关于
n
的一次函数，且斜
S
n
na
1
n(n
1)
d
2
d
n
2
(a
1
2
d
)n
是关于
n
的二次函数且常数
0.
2
（
2
）若公差
d
若公差
d
0
，
增等差数列，
0
，
减等差数列，
若公差
d
0
，
常数列。
p q 2w
,
有
a
m
a
n
a
p
a
q
2a
w
（
3
）当
m n
（
4
）若
{ a
n
}
、
{
b
n
}
是等差数列，
{ ka
n
}
、
{ ka
n
pb
n
}
(
k
、
p
是非零常数
)
、
{ a
p
nq
}( p, q
N
*
)
、
S
n
,
S
2 n
S
n
,
S
3n
S
2n
，⋯也成等差数列
.
（
5
）在等差数列
{ a
n
}
中，当
数
偶数
2n
，
S
偶
－
S
奇
2n
1
，
nd
，
S
偶
：
S
奇
a
n
；
S
：
S
奇
偶
a
n 1
: a
n
；
(n 1) : n
。
数
奇数
S
奇
S
偶
（
6
）若等差数列
{ a
n
}
、
{ b
n
}
的前
n
和分
A
n
、
B
n
，且
A
n
B
n
f
(n)
，
a
n
(2
n
1)a
n
b
n
(2
n
1)b
n
A
B
2n
1
f (2 n 1)
.
2n
1
(7)
“首正”
的
减等差数列中，
前
n
和的最大
是所有非
之和；
“首
”
的
增等差数列中，
前
n
和的最小
是所有非正
之和。
法一：由不等式
a
n
0
0
或
a
n
0
确定出前多少
非
（或非正）
；
0
a
n 1
a
n 1
法二：因等差数列前
n
是关于
n
的二次函数，故可
化
求二次函数的最
，但要注意数列的特殊性
n
N
*
。
专题
1
等差数列的定义
1
、已知数列
a
n
中，
a
n
a
n 1
2(n
N
, n
2)
，若
a
1
3,
则此数列的第
10
项是
*