分式的运算及题型讲解
-2020年元旦放假通知
§
17.2
分式的运算
一、分式的乘除法
1
、法则：
（
1
）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母
的积作为积的分母。
（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，
分母
与分母相乘）
。
a
用式子表示：
b
c
d
ac
bd
（
2
）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置
后，再与被除式相
乘。
用式子表示：
a
b
c
d
a
b
d<
/p>
c
ad
bc<
/p>
2
、应用法则时要注意：
（
1
）分式中的符号法则与有理数乘除法
中的符号法则
相同，
即
“同号得正，
异号得负，
多个负号出现看个数，
奇负偶正”
；
（
2
）当分子分母是多项式时，应先进行因式
分解，以便
约分；
（
3
）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方
1
< br>、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把
将分子、分母分别乘
方，然后再相除。
用
式
子
表
示
< br>：
a
a
n
b
b
n
n
（其中
n
为正整数，
a
≠
0
）
2
、注意
事项：
（
1
）乘方时，一定要把分式加
上括号；
（
2
）在一
< br>个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有
多项式时应先
因式分解，再约分；
（
3
）最后结果要
化到最简。
三、分式的加减法
（一）同分母分式的加减法
1
、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
a
c
a
c
b
b
用式子表示：
b
2
、注意事项：
（
1
）
“分子相加减”是所有的“
分子的整体”相加
减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母<
/p>
是多项式时，括号不能省略；
（
2
）分式加减运算的结果必须化成最简
分式或整式。
（二）异分母分式的加减法
1
、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，
a
再加减。用式子表示：
b
c
d
ad
bd
bc
bd
ad
bc
bd
。
2
、注意事项：
（
1
）在异分
母分式加减法中，要先通分，这是关
键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法
。
（
2
）若分式加
减运算中含有整式，应视其分母为
1
，然后进行通分。
（
3
）当分子的
次
数高于或等于分母的次数时，
应将其分离为整式与真分式之和的形
式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
1
、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，
再乘除，最后
算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。
2
、注意事项：
（
1
）分式的混
合运算关键是弄清运算顺序；
（
2
）<
/p>
有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，
要灵活运用交
换
律、结合律和分配律；
（
3
）分式运算结果必须化到最简，
能约分的要
约分
，保证运算结果是最简分式或整式。
例
计算：（
1
）
a
4
a
2
2
a<
/p>
2
1
a
2
；
（
2
）
x
2
x
2
x
< br>
2
；
（
3
）
1
2
x
x
1
x
4
2
x
2
< br>
x
2
x
【分类解析】
一、
分式运算的几种技巧
x
1
x
2
2
x
1
、先约分后通分技巧
例
计算
x
2
3
x
2
+
x
2
< br>4
分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算
x
(
x
2
)
x
1
x
1
< br>x
1
解：原式
=
(
x
1
)(
x
2
)
+
(
x
2
)(
x
<
/p>
2
)
=
x
2
+
x
2
=
x
2
x
3
x
3
2
x
5<
/p>
x
7
2
1
2
、分离整数技巧
例
计算
x
2
3
x
2
-
x
2
5
x
6
-
x
2
< br>
4
x
3
分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分
母，分离整数方法可使计算化简。
(
x
3
x
<
/p>
2
)
1
2
(
x
5
x
6
)
1
2
1
解：原式
=
1
< br>x
3
x
2
2
-
1
x
5
x
6
2
-
x
2
4
x
3
< br>1
=1+
x
2
< br>
3
x
2
-1-
x
2
5
x
6
-
x
2
4
x
3
1
1
1
=
(
x
< br>1
)(
x
2
)
-
(
x
2
)(
x
3
)
-
(
x
1
)(
x
3
)
x
x
=
(
x
1
)(
x
2
)(
x
3
)
=
(<
/p>
x
1
)(
x
2
)(
x
3
)
=-
(
x
1
)(
x
2
)(
x
< br>3
)
1
3
2
3
、裂项相消技巧
例
计算
x
(
x
1
)
+
(
x
1
)(
x
3
)
+
(
x
3
)(
x
6
)
1
1
1
1
分析：此类题可利用
n
(<
/p>
n
m
)
=
m
（
n
-
m
）裂项相消计算。
x
3
(
x
1
)
(
x
2
)
1
< br>3
1
1
1
1
2
1
解：原式
=
（
x
-
x
1
）
+<
/p>
2
（
x
1
-
x
3
）
+
3
（
x
3
-
x
6
）
6
1
1<
/p>
=
x
-
x
6
=
x
(
x
6
)
练习：
1
2
1
2
4
、分组计算技巧
例
计算
a
2
+
a
1
< br>-
a
1
-
a
2
分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为
a
-4
，第二项、第三项分母乘积为
a
-1
，
采取分组计算简捷。
1
1
2
2
解：原式
=
（
a<
/p>
2
-
a
2
）
+
（
a
1
-
a
1
）
2
2
4
4
12
=
a
2
4
+
a
2
1
=
(
a
2
4
)(
a
2
1
)
练习：
5
、分式求值问题全解
1
）字母代入法
例
1.
b=a+1,c=a+2,d
=a+3,
求
a
a
d
b
a
b
c<
/p>
c
b
c
d
d
a
d
的值
.
【解析】
仔细观察已知条件，虽然出
现的字母很多，但都可以用一个字母代替：
a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3
所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
a
a
d
a
a
a
3
a
2
a
3
b
a
b<
/p>
c
c
b
c
d
d
a
d
a
2
a
3
a
a<
/p>
3
=
a
1
a
a
1
a
2
a
2
3
a
6
<
/p>
a
1
a
2
a
3
=
a
1
3
a
3
a<
/p>
3
2
a
3
=
a
a
3
2
a
3
1
3
1
< br>3
a
1
3
(
a
1
)
a
2
3
(
a
2
)
=
1
=
5
3