第一章 数学起源与早期发展
-
为什么选《数学史》？有几种原因：
(1)
听故事
(2)
找思想
(3)
解疑问
(4)
补遗憾
(5)
猎奇
(6)
无奈（为学分）
本课程或多或少能满足以上需求．
对
多数人而言，数学恐怕是花力气最多而收效甚少的一门学科。原因固然是多方面的，
但僵
化呆板的教科书和多年来因急功近利而形成的应试教育无疑是罪魁祸首。
将定义、
定理、
推论一古脑地堆砌在一起是国内数学教科书一成不变的模式，<
/p>
似乎只有这样才能体现数学的
严谨。
数学
家的智慧之光不见了，
我们看到的只是些既不知出自谁手，
又不
知有何用途的空
洞理论。
同学们对数学的那种与生俱来的好奇心
也不见了，
我们看到的只是些在那无边的题
海中苦苦挣扎的身影
。
不少同学视数学为畏途已是不争的事实，
这为我们的教育工作
者敲响
了警钟。
如何使同学们对数学有兴趣呢？捷径只有一条，
那就是要让同学们了解数学的历史。
俗话说：内行看门道，外行看热闹。
你可能因抽象的符号或概念而一时感到困惑，
但这
不能成为你拒绝这门课的理由，
因为这对
我们来说或许不是最重要的，
重要的是历代数学家
的工作和生活
能给我们以什么样的启示。
你或许为数学家们为克服困难而表现出的睿智而惊
讶，
或许为他们身处逆境但仍对事业孜孜以求的精神而感动，
或许为他们因触犯传统势力而
受到不公正的待遇而愤怒，
或许为他们正值事业顶峰时英年早逝而唏嘘。
不管你出于什么目
的来到了这个课堂，
相信在听完这门课之后都会重新认识数学、感悟数学。
到那时，你可能
会对没有选这门课的同学说：你该去听听《数学史》
，那课听起来还有点儿意思。
1
第一章
数学起源与早期发展
1.1
数与形概念的形成
数的概念和计数远在有文字记载以前就发展起来了，因而对其发展方式大都只能揣测，
< br>想象它大概会是怎么发生的并不困难。
我们有相当的理由说，
人类在最原始的时代就有了数
的意识，
至少在为数不多的一
些东西中增加或取出几个时，
能够辨认其多寡。
因为研究表明，
有些动物也具有这种意识。
随着社会的逐步进化，
简单的计算成为必不可少的了。
一个部落
必须知道它
有多少成员、
有多少敌人；
一个人也感到需要知道他羊群里的羊
是否少了。
或许
最早的计数方法是使用简单的算筹以一一对应的
原则来进行的。
例如，
当数羊的只数时，
每
有一只羊就扳一个手指头。数的概念的形成大概与火的使用一样古老，大约是在
30
万年以
前，它对于人类文明的意义绝不
亚于火的使用。
当对数的认识越来越明确时，
人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，
于是
就导致了记数，
而记数是伴随着计数的发展而发展的。
最早可
能是手指计数，
以至手上的五
个手指头可以被现成地用来表示五
个以内事物的集合。
两只手上的指头和在一起，
可以用来
表示不超过
10
个元素的集合。正如亚里士多
得早就指出的那样，今天十进制的广泛采用，
只不过是我们绝大多数人生来具有
10
个手指这样一个解剖学事实的结果。
当指头不够用时，
就出现了石子记数等，
以
便表示同更多的集合元素的对应。
但记数的
石子堆很难长久保存
信息，于是又有结绳记数和刻痕记数。中国古代文献《周易•系辞下》
有“上古结绳而治
，后世圣人，易之以书契”之说。
“结绳而治”
，即结绳记事或
结绳记数，
“书契”就是刻划符号。
结绳方法不仅在中国而且在世界其他许多地方都曾使用过，
有些结绳
实物甚至保存下来。
如美国自然史博物馆就藏有古代南美印加部落用来记
事的绳结，当事人称之为基普（
quipu
）
：在一根较粗的绳上拴系有颜色的
细绳，再在细绳上打各种各样的结
，不同的颜色和结的位置、形状表示不
同的事物或数目。
右图是
一个基普的实物照。
这种记事方法在秘鲁高原一
直盛行到
19
世纪，而世界上有些地方如日本的琉球岛居民至今还保持着结绳记
事的传统。
迄今发现的人类刻痕记数的最早证据，
是
1937
年在捷克的摩拉维亚
< br>(Moravia)
出土的一
块幼狼胫骨，如图，
其上有
55
道刻痕。这块狼骨的年代，据考大约在
3
万
年前。又经历了数万年的发展，直到
距今大约五千多年前，
终于
出现了书写记数以及相应的记数系统。
以下按时代顺序列举世界
2
上几种古老文明的早期记数系统：
其
中除了巴比伦契形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数系。
记数系的出现使数与数之间的书写运算成为可能，
在此基础上初等算术便在几个古老的文
明
地区发展起来。
与算术的产生相仿
，
最初的几何知识则从人们对形的直觉中萌发出来。
史前人大概
首先
是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以再现。
下图
显示了早期人类的几何兴趣，
不只是对圆、三角形、
正方形等一系列几何形式的认识，而且
还
有对全等、
相似、
对称等几何性质的运用。
经验的几何知识随着人们的实践活动而不断扩
展，不过在不同的地区，
几何学的这种实践来源方向不尽相同。据考证，古埃及几何学产生
于尼罗河泛
滥后土地的重新丈量。
“几何学”
一词的希腊文
γ
ε
ω
μ
ε
τ
ρ
ι
α
意为
“测地”
。
3
古代印度几何学则起源于宗教实践，公元前
8
世纪至
5
世纪形成的
所谓“绳法经”
，就是关
于祭坛与寺庙建造中的几何问题及求解
法则的记载。
在古代中国，
几何学起源更多的与天文
观测相联系。中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年（公元前
1100
左右）天文测量中所用数学方法（
“测日法”
）的著作。
1.2
河谷文明与早期数学
历史学家往往把起源于埃及、
美索不
达米亚、
中国和印度等地域的古代文明称为
“河谷
文明”
。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江，
印度河与恒河
等河谷地带首先发展起来的。
从可以考证的史料看
，
古埃及与美索不达米亚的数学在年代上
更为久远，
只是在公元前均告衰微，
崛起稍晚的中国与印度数学则延续到纪元之后并在
中世
纪臻于高潮。因此为叙述连贯起见，我们在本章中主要介绍古埃及与美索不达米亚的
数学，
而将古代中国与印度数学放到中世纪的章节中一并讲述。
1.2.1
埃及数学
肥沃的尼罗河谷，素称“世界最大沙漠中的最大绿洲”
，那里的人民依靠广阔的
地理屏
障在不受外来侵扰的环境下独立地创造了灿烂的文明，
这
种文明以古老的象形文字和巨大的
金字塔为象征，从公元前
31
00
年左右美尼斯
(Menes)
统一
上、下埃及及建立第一王朝起，到
公元前
332
年亚历山大大帝
(Alexander the Great)
灭最后一个埃及（波斯）王朝（第三十一王
朝）止，前后绵延约三千年。
埃及象形文字（
hieroglyphic
,
意为“圣刻”—神圣的雕刻）产生于公元前
3500
年左右，
约公元前
2500
年被简化为一种更易书写的
“僧侣文
(hieratic)
”
，
后又发展为所谓
< br>“通俗文
(domotic)
”
。长期以来，这些神秘的文字始终是不解之谜。直到
1799
年
，拿破仑远征军的
士兵在距离亚历山大城不远的古港口罗赛塔发现一块石碑，碑上刻有用
三种文字—希腊文、
埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文
（这块
石碑后来就叫
“罗赛塔石碑”
）
，
才使精通希腊文
的
学
者
找
到
了
解
读
埃
及
古
文
字
的
钥
匙
。
19
世
纪
初
，
法
国
文
字
学
家
商
博
良
(llion,1790-1832)
和英国物理学家杨
(Th
omas Young,1773-1829)
在这方面取得
了
突破，
为人们通过阅读象形文或僧侣文文献认识、
理解包括数学
在内的埃及古代文明打开
了大门。
古
埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写，
这些纸草书有些幸存至今。
我们关于古
埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书—莱茵德纸草书和莫斯
科纸草书。
莱茵德纸草书最初发现于埃及底比斯古都废墟，<
/p>
1858
年为苏格兰收藏家莱茵德
()<
/p>
购得，因名。该纸草书现存伦敦大英博物馆
,
见图
4
有时人们也称这部纸草书为阿姆
士纸草书，以纪念一位叫阿姆士的人，他在公元前
1650
年<
/p>
左右用僧侣文抄录了这部纸草书，
而根据阿姆士所加的前言可知，
他抄录的是一部已经流传
了两个多世纪的更古老的著作，
其中涉及的数学知识一部分可能得传于英霍特普
(Imhotep)<
/p>
，
此人是法老卓塞尔的御医，同时也是一位传奇式的建筑师，曾督
造过这位法老的金字塔。
莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书
，
1893
年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现
藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。
据研究，
这部纸
草数是出自第十二王朝一位佚名作者的手
笔（约公元前
1890
年）
，也是用僧侣文写成。
这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书的主体部分由
48
个问
题组成，莫斯科纸草书则包含了
< br>25
个问题。这些问题大部分来自于现实生活，但纸草书作
者将它们作为示范性例子编集在一起。这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。
除此之外还发现了一些零星的资料，它们也提供了关于埃及数学的一些补充信息。
如前所述，
埃及人很早就发明了象形数字记号，
这是一种以十进制为基础的系统，
但却
没有位值概念。
这种记数制以不同的特殊记号分别表示
10
的前六次幂：简单的
一道竖线表
示
1
，倒置的窗或骨（∩）
表示
10
，一根套索表示
100
，一多莲花表示
1000
，弯曲的手指表
示
10
000
，一条江鳕鱼表示
100
000
，而跪着的人像（可能指永恒之神）则表示
< br>1
000
000.
其他数目
是通过这些数目的简单累积来表示的，如数
12
345
则被记作
100 1 000 10 000
100 000 1000 000 12345
在两部纸草书中，象形文字被简化为僧侣文数字
:
冗长的重复记号被抛弃了，引进了
一些表示数字与
10
的乘幂的倍数的特殊记号，如
4
不再记成
4
竖线，
而代之于一条横线；
7
也不再记成
7
条竖线，
二是用一镰刀形符号来表示。
28
在象形文字中被表示为
，而在僧侣文中却被
简单地写成
，值得注意的是这里
把代表较小数字的
8
（记二个
4
）的符号（<
/p>
=
）置于左边而不是右边。
5
石器时代的人还用不到分数，<
/p>
但随着更先进的青铜文化的崛起，
分数概念与分数记号也
应运而生。
埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数
（即分子为一的分数）
在整数上
1
< br>1
记作
，
则写成
8
20
1
1
< br>草书中采用的僧侣文，则用一点来代替长椭圆号，例如
记作
，
则写成
8
20
方简单地画一个长椭圆，就表示该整数的倒数。这样
，
而在
纸
。在多位
数的情形，则点号置于最右边的数码之上。
单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。
埃及人将所有的真分数都表
示成一些单位分数的和。
为了使这种分解过程做起来更为容易，
莱茵德纸草书在阿姆士的前
2
（
k
为从
5
到
101
的奇数）的分数分解为单
位分数之和的表。利
k
7
用这张表，可
以把例如
这样的分数表成单位分数之和：
29
7
1
1
1
1
1
.
29
6
24
58
87
232
言
之后给出了一张形如
埃及人为什么对单位分数情有独钟，
原因尚
不清楚。但无论如何，
利用单位分数，
分数
的四则运算就可以进行，尽管做起来十分麻烦。
埃及人最
基本的算术运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现的。如
69
乘
以
19
是这样来进行的：
将
69
加倍到
138
< br>，又将这个结果加倍到
276
，再加倍到
552
，再加
倍到
1104<
/p>
，
此即
69
的<
/p>
16
倍。
因为
1
9=16+2+1
，
所以
69
乘以
19
的答数应为
1
104+138+69=1311
。
在除法运算中，加倍程序被
倒过来执行，除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍。
纸
草书中有些问题可以被归之为我们今天所说的代数学范畴，它们相当于求解形如
x
ax
b
或
x
ax
bx
c
的一次方程。埃及人称未知数为“堆”
(aha,
读
作“何”
)
。如
莱茵德纸草书第
24
题：
已知“堆
”与七分之一“堆”相加为
19
，求“堆”的值。
纸草书作者所用的解法实质是一种算术方法，即现在所谓的“假位法”
：
先假设一个特殊的数作为“堆”值（多
半是假值）
，将其代入等号左边去运算，然后比
较得数与应得结
果，
再通过比例方法算出正确答数。
在上例中，
数
7
作为未知数
x
的试验值，
1
19
1
1
x
8
，而应得结果是
19
，这两个结果之比为
等于
2
，将
7
乘以
7
8
4
8
1
1
1
1
（
< br>2
）即得正确的“堆”值为
16
。这
种假位法是莱茵德纸草书中普遍使用
4
8
2
8
于是
x
的方法。
埃及几何学是尼罗河的赠
礼。古希腊历史学家希罗多德在公元
5
世纪曾访问考察过埃
及，并在其著作《历史》一书中写道：
“西索斯特里斯„„在埃及居
民中进行了一次土地划
分。
„„假如河水冲毁了一个人所得的任
何一部分土地，
国王就会派人去调查，
并通过测量
来确定损失地段的确切面积。„„我认为，正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，
后来又把它传给了希腊人。
”莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许
多几何性质的问
题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。现存的纸草书中可以找
到正方形、矩形、
6