数学的来历
-
罗素悖论
/klsx/
2003-9-12
古今数学家
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：
“
村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，
我也只给这些人理发。
”
于是有人问他：
“
您的头发
由谁理呢
?”
理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他
就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明
他不给这类人理发，因此他不能自己
理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己
理发的人，而招牌上明明说他要给所有
不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。
由此可见，不管怎样的推论，理发师所说
的话总是自相矛盾的。
这是一个著名的悖论，称为
“
罗素悖论
”
。这是由英国哲学家罗素提出来的
，他把关于集
合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
1874
年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基
础。到
19
世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在
这时，集合论中接
连出现了一些自相矛盾的结果，
特别是
1902
年罗素提出的理发师故事反映的悖论，
它极
为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次
“
数学危机
”
。
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了
大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带
来了数学观念的革命。
向量
/klsx/ 2003-6-23
古今数学家
向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、
磁感应强度等都是向量．大约公元前
350
年前，古希腊著名学
者亚力士多德就知道了力
可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则
来得到．
“
向量
”
一词来
自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学
家牛顿．
课本上讨论的向量是一种
带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但
是在高等数学中还有更广泛
的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式
空间，这里的多项式都可看成
一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭
头表示方向是办不到的．这种空
间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数
学对象或物理对象．这样，就可以
指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去
了．因此，向量空间的概念，已成了数
学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的
理论和方法在自然科学的各领域中得到了
广泛的应用．
而向量及其线性运算也为
“
向量空
间
”
这一抽象的概念提供出了
一个具体的模型．
从数学发展史来
看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直
到
19
世纪末
20
世纪初，人们
才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一
套优良运算通性的数学体系．<
/p>
向量能够进入数学并得到发展，首先
应从复数的几何表示谈起．
18
世纪末期，挪威测量
学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数
a
＋
bi
，
并利用具有几何意义的复数运
算
来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究
几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的<
/p>
向量，向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于<
/p>
同一物体，则需要寻找所谓三维
“
复数<
/p>
”
以及相应的运算体系．
19
世纪中期，英国数学家
1
汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分）
，以代表空间的向量．他的工作为向
量代数和向量分析的建立奠定了基础
．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家
麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量
部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．
三维向量分析的开创，
以及同四元数的正式分裂，
是
英国的居伯斯和海维塞德于
19
世纪
S
O
年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任<
/p>
何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向
量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为
了一套优良的数学工具
.
梅森素数
/klsx/
2003-6-19
古今数学家
梅森素数是数论中非常重要的一类素数，它在纯数学、不可破译的编码和加密解密领域<
/p>
都有应用。
GIMPS
是一个互联网上的分布式计算系统，
专门用来寻找梅
森素数。
GIMPS
的设计者之
一乔治
。沃特曼说：
“
除了已发现的以外还存在许多这样的素数，任何
人只要拥有一台能
够上网的计算机，就可以加入
GIMPS”.
他们在共同使用一个软件来寻找梅森素数
,.
1999
年
6
月
1
日发现了第三十八个梅森素数<
/p>
,,
它等于
2
的
6972593
次方再减去
1,
这个数
有
2098960
< br>位
,
是由美国的
Nayan <
/p>
Hajratwala(
纳扬
)
用了
111
天才找到的
.
他赢得了
EFF
公
< br>司为此而设立的
5
万美元的奖金
,
此奖是为第一个发现一百万位以上的素数设立的
,
如果
谁第一个发现了一千万位以上的素数
,
将赢得
10
万美元的奖金
.
第
39
个梅森素数是：
2
的
13,466,917
次方减
1
< br>，它有
4,053,946
位十进制数字。
这个
新的梅森素数是由一位
20
岁的加拿大青年麦克尔
.
卡梅隆（
Michael
Cameron
）用一台雷
鸟
800MHz
的
PC
机花了
45
天时间发现的。他是
Great
Internet
Mersenne
Prime
Search
(Gimps)
。参加
者之一。现在已经有十三万人参加其中。
有理数
/klsx/
2003-6-19
古今数学家
古埃及人约于公元前
17
世纪已使用分数，中国《九童算术》中也载有分数的各种运
算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程
px=q
（
p≠0
）
，
如果
p
，
q
是
整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理
系。
关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在
Z×
< br>（
Z -{0}
）即整数有序对（但
第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设
p1
，
p2
Z
，
q1
，
q
2
Z
-
{0}
< br>，如果
p1q2=p2q1
。则称（
p1
，
q2
）～（
p2
，
q1
）
。
Z×
（
Z
-{0}
）关于这个等价关系的等价类，
称为有理数。
（
p
，
q
）所在的有理数，记为
。一切有理数所成
之集记为
Q
。令整数
p
对
应一于
，即（
p
，
1
）所在的等价类，
就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系
可说是由整数系扩大后的数系。
整数
/klsx/ 2003-6-19
古今数学家
2
在自然数集
N
之外，再引入新的元素
0
，
-1
，
-2
，
-3
，
…
，
-n
，
…
。称
N
中的元素为
正整数，称
0
为零，称
1
，
-2
，
-3
，
…
，
-n
，
…
。为负整数。正整数、零与负
整数构成整
数系。
零不仅表示
无
它在命数法中还个有特殊的意义：
表示空位的符号。中国古代用算
筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍
能为位值记数与四则运算创造
良好条件。印度
--
阿拉伯命数法中的零来自印度的零（
sunya
）字
，其原意也是
空
或
空
白
。
中国最早引入了负数。
《九童算术<
/p>
·
方程》中论述的
正负术
，就是整法的加减法。减
法运
算可看作求解方程
a+x=b
，如果
a
，
b
是自然
数，则方程未必有自然数解。为了使它
恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在
N×
N
（即自然数有序对的集）上定
义如下的等价关系：
对于自然有序对
（
a1
，
b1
）
，
（
a2
，
b2
）
，
如果
a1+b2= a2+b1<
/p>
，
就说
（
a1<
/p>
，
b1
）～（
a
2
，
b2
）
，
N×
N
，关于上述等价关系的等价类，
称为整数。一切整数的集记为
Z
。
自然数
/klsx/
2003-6-19
古今数学家
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基
数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜
群的头数或部
落的人数。现在使用的英语
calculate
（计算）一词是
从希腊文
calculus
（石
卵）演
变来的。中国古代《易
·
系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人
易之以书契，这都
是匹配计算法的反映。
集合的
基数具有元素
个数
的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。
由此可通过集合的并、交运
算定义自然数的加法与乘法（见算术）
为了计数，必须有某种数制，即建
立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集
合计数。就是将该集合中每个元素顺次与
标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就
标志着给定集合元素的个数。这种想法导致
G.
皮亚诺
1889
< br>年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里
集合
、
含有
、
自然数
、
后粥
等
是不加定义的。
①
是自然数。
②
不是任何其它自然数的后继。
③
每个自然数都有一个后继（
a
的后记为）
④
a/=b/
蕴含
a=b
⑤
设
S
是自然数的一个集合。如果
S
含有
1
，且
S
含有
a /
蕴含
S
含有
，则
S
含
有任
何自然数。
公理⑤
就是熟知的数学归纳法公理。
一切自然数集记为
{1, 2 , 3
,…
，
n …}
，
简记为
N
。
从上述公理出发，可以定义加法和
乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满
足分配律。
对数
/klsx/ 2003-6-18
古今数学家
3
对数
是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创
“
对数
”
这种高级运算的呢？在数
学史上，一般认为
对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家
——
纳
皮尔
（
Napier
，
1550-1617
年）男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的<
/p>
“
太阳中心说
”
刚刚开始流行，这导致天文学成为当
时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天
文学家们不得不花费很大的精力去
计算那些繁杂的
“
天文数字
”
，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时
间。纳皮尔也是当时
的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技
术，终于独立发明
了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理
论并不完全一样。在
纳皮尔那个时代，
“
指数
”
这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课
本中那
样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所
发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数
之间的乘积，还是十分复杂
的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘
积的方法。让我们来看看下面
这个例子：
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、
11
、
12
、
13
、
14
、
……
1<
/p>
、
2
、
4
、
8
、
16
、
32
、
64
、
128
、
256
、
512
、
102
4
、
2048
、
4096
、
8192
、
16384
、
……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示
2
< br>的指数，第二行表示
2
的对应幂。
如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算
64×
256
的值，就可以先查询第一行的对应数字：
64
对应
6
，
256
对应
8
；
然后再把第一行中的对应数字加和起来：
6
＋
8
＝
14
；
第一行中的
14
，对应第二行中的
16
384
，所以有：
64×
256
＝
16384
。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已
经完全是现代数学中
“
对数运算
”
的思想了。回忆
一下，我们在中学学习
“<
/p>
运用对数简化计算
”
的时候，采用的不正
是这种思路吗：计算两
个复杂数的乘积，先查《常用对数表》
，
找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用
对数值相加，再通过《常用对数的反对数
表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个
复杂数的乘积了。这种
“
化乘除为加减
”
，从而达到简化
计算的思路，不正是对数运算的
明显特征吗？
经过多年的探索，
纳皮尔男爵于
1614
年出版了他的名著
《奇妙的对数定律说明书》
，
向世人公布了他的这项
发明，并且解释了这项发明的特点。
所以，纳皮尔是当之无愧的
“
对数缔造者
”
，理应在数学史上享有这份殊荣
。伟大的
导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数
、牛顿
和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文
学家
拉普拉斯（
Pierre Simon Laplace<
/p>
，
1749-1827
）曾说：对数，可
以缩短计算时间，
“
在实效
上等于把天
文学家的寿命延长了许多倍
”
。
概率论
/klsx/ 2003-6-12
古今数学家
概率论产生于十七世纪，
本来是又保险事业的发展而产生的，
但是来自于赌博者的请求，
却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
早在
1654
年，有一个赌徒梅
累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：
“
两
个赌徒相约赌若干局，谁先赢
m
局就
算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢
了
<
br>了世界上第一台机械加法计算机。
a (a
局的时候，
赌博中止。
问：
赌本应该如何分法才合理？
”
后者曾在
1642
年发明
4
三年后，
也就是
1657
年，
荷兰著名的天文、
物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，
结果写成了《论机
会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。
近几十年来
，随着科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科
领域。许多兴
起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作
为基础的。
概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学
科。但是应该指出，
概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。
费马大定理
/klsx/
2003-6-7
古今数学家
300
多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个
定理：
“
设
n
是大于
2
的正
整数，则不定方程
xn+yn=z
没有非零整数解
”
。
费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上
空白太小，他写不下
他的证明。
300
多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证
明它，但不是无功
而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著名的定理
—
费马大定理
。
费马
(1601
年～
1665
年
)
是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律
并以当律师
谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究
。虽然年
近
30
才认真注意数学，
但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。
他与笛卡儿几乎同
时创立了解析几何，同时又是
17
世纪兴起
的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，
提出了许多定理，但费马只对其中一个定理
给出了证明要点，其他定理除一个被证明是
错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的
数学家所证实。这唯一未被证明的定理就
是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被
证明对或错的定理，所以又称为费马最
后定理。
费马大定理虽然至今仍没有完全被
证明，
但已经有了很大进展，
特别是最近几十年，
进展更快。
1976
年瓦格斯塔夫证明了对小于
105
的素数费马大定理都成立。
1983
年一位
年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程
xn+yn=z
只能有有限多组解，他的突出贡献
使
他在
1986
年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。
1993
年英国数学家威尔斯宣布证
明了费马大
定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。
虽然威尔
斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明
的思路是正
确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
四色问题
/klsx/
2003-6-7
古今数学家
英国人格思里于
< br>1852
年提出四色问题
(four colour p
roblem
，亦称四色猜想）
，即在为
一平面或一球面的地图着色时，假定每一个国家在地图上是一个连通域，并且有相邻边
界线的两个国家必须用不同的颜色，问是否只要四种颜色就可完成着色。
1878
年英国数学家凯莱重新提出这问题，引起人们关注。次年，
英国数学家肯普提
出用可约构形证明四色问题，虽然他的证明过程有漏洞，但为该问题的
解决指出方向。
1890
年英国人希伍德沿着这方向证明了任何
地图只用五种颜色着色便够了，取得初步进
展。
1913
年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。
1968
年挪威数学家奥雷等人
证明了用四种颜色一定可以
把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。
5
70
年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集，因为用它
可以通过数学归纳法证明
四色问题。
1976
< br>年美国数学家哈肯和阿佩尔花了
1200
多小时的电子计
算器工作时间，
找到一个由
1936
个
可约构形所组成的不可免完备集，
因而在美国数学会通报上宣称证明
了四色猜想。后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至
1834
个。
四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和
计算器编码程序设计等理
论的发展起了推动作用。
复数
/klsx/ 2003-6-4
古今数学家
我们知道，
在实数范围内，
解方程是无能为力的，
只有把实数集扩充到复数集才能解决．
对
于复数<
/p>
a
＋
bi
（
a
、
b
都是实数）
来说，当
b=0
时，就是实数；当
b≠
0
时叫虚数，当
a=0
，
b≠0
时，叫做纯虚数．可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不
是件容易的
事，那么，历史上是如何引进虚数的呢？
16
世纪意大利米兰学者卡当（
1501
—
1576
）
在
1545
年发表的
《重要的艺术》
一书中，
公布了三次方程的一般解法，
被后人称
之为
“
卡
当公式
”
．他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把
10
分成两部分，使它们的乘积等于
40
时，他把答案写成
=40
，尽管他认为和这两
个表示式
是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把
10
分成了两部分，并使它们的乘积等
于
4
0
．
给出
“
虚
数
”
这一名称的是法国数学家笛卡尔
（
1596
—
1650
< br>）
，
他在
《几何学》
（
1637
年发表）中使
“
虚的数
‟„
与
“
实的数
”
相对应，从此，虚数才流
传开来．
数系中发现一颗新星
——
虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认<
/p>
虚数．德国数学家菜不尼茨（
1664
—
1716
）在
1702
年说：
“
虚数是神灵遁迹的精微而奇
< br>异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物
”
．瑞
士数学大师欧拉（
1707
—
1783
）
说；
“
一切
形如，习的数学武子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的
平方根．对
于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些
什么，更不比
什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．
”
然而，真理性的东西一
定可以经得
住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地．法国数学家达兰贝尔（．<
/p>
1717
—
1783
）
在
1747
< br>年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是
的形
式（
a
、
b
都
是实数）
（说明：现行教科书中没有使用记号＝－
i
，而使用
=
一
1
）
．法
国数学家棣莫佛（
1667
—
1754
）在
1730
年发现公式了，这就是著名的探莫佛定理．欧拉
< br>在
1748
年发现了有名的关
系式，并且是他在《微分公式》
（
1777
年）一文中第一次用
i
来表示一
1
的平方根，首创了用符号
i
作为虚数的
单位．
“
虚数
”
实际上不是想象出来的，
而它是确实存在的．挪威的测量学家成塞尔（
1745
—
1818
）在
1779
年试图给于这种虚数
以直观的几何
解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视．
<
/p>
德国数学家高斯（
1777
—
1855
）在
1806
年
公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一
条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上
的点来表示．在直角坐标系中，横轴上取对
应实数
a
的点
A
，纵轴上取对应实数
b
的点
B
，并过这两点引平行于坐标
轴的直线，它
们的交点
C
就表示复数<
/p>
a
＋
bi
．象这
样，由各点都对应复数的平面叫做
“
复平面
”
，后来又
称
“
< br>高斯平面
”
．高斯在
1831<
/p>
年，用实数组（
a
，
b
）代表复数
a
＋
bi
，并建立了复数的某
些运算，
使得复数的某些运算也象实数一样地
“
代数化
”
．
他又在
1832
年第一次提出了
“
复
数
”
这个名词，
还将表示平面上同一点
的两种不同方法
——
直角坐标法和极坐标法加以综
合．统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数
—
一对
应，扩展为平面上的点与复数
—
一对应．高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作
是一种
向量，
并利用复数与向量之间
—
一对应
的关系，
阐述了复数的几何加法与乘法．
至
6