函数的起源与发展
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函数的起源与发展
今天的数学大厦已有数千年
历史，这是世界数代数学家不断建设完善的结
果，伴随着数学思想的发展，函数概念由模
糊逐渐严密，对于数学和科学来说，
函数是一个最重要，最有意义的数学概念，是人类心
智发展的重要标志。
——引言
众所周知，函数概念是在集合论的基础上产生的。
设
A
，
B
是
非空
的集合，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于
集合
A
中
的任意一个元素
x
，在集合
B
中都有唯一确定的元素
和它对应，那么就
称
为从集合
A
到集合
B
的一个函数，记作
。
或
这个概念的产生也是有一段故事的，而故事的背后是时间的推动，
是艰辛
的岁月。
十六、十七世纪，欧
洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要
发展航海和军火工业。
为了发展航海事业，
就需要确定船只在大海中的位置，
在
地球上的经纬度。
要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题，
这就促使了人们对
各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研
究，这就为函数概念的产
生提供了客观实际需要的基础。
十七世纪中叶，笛卡儿（
Descartes
）引入变数（变量）的概念，制定了解
析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理
解；后来，牛顿（
Newton
）、
莱布尼兹（
Leibniz
）分别独立
的建立了微分学说。
这期间，
随着数学内容的丰富，
各种具体的函数已大量出现，
但函数还未
被
给出一个一般的定义。牛顿于
1665
年开始研究微积分之后，一直用“流量”
（
fluent
）一词来表示变量间的关系。
1673<
/p>
年，莱布尼兹在一篇手稿里第一
次用“函数”
（
fluent
）这一名词，他
用函数表示任何一个随着曲线上的点的
变动而变动的量。（定义
1
）这可以说是函数的第一个“定义”。
例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，
即表示<
/p>
x
,
x2,
x3,
„。显然，
“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和
不准确的。
人们是不会满足于这样不准确的概念，
数学家们纷纷对函数进行进一
步讨论。
以“变量”为基础的函数概念在
17
18
年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生
约翰·贝奴里（
Bernoulli,Johann
）给出了函数的明确定义：变量的函
数是由这
些变量与常量所组成的一个解析表达式。并在此给出了函数的记号
φ
x
。这一定
义使得函数第
一次有了解析意义。
十八世纪中叶，
著名的数学家达朗贝尔
（
D
’
Ale
mbert
）
和欧拉
（
Euler
）
在研究弦振动
时，
感到有必要给出函数的一般定义。
达朗贝尔认为函数是指任
意
的解析式，在
1748
年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。在此之前
的
1734
年，欧拉也给出了一种函数的符号
f(x),
这个符号我们一直沿用至今。
实际上
，这两种定义就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。
后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解
析式来
定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的
,
如
狄利克雷
函数。
1775
年，欧拉在《
微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如
果某些变量，
以这样一种方式依赖与另一些变量，
即当后面这些变量变化时，
前
面这些变量也随之而变化，
则将前面的变量称为后面变量的
函数。
这个定义朴素
地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变
”到“因变”的生动过程
,
但未提<
/p>
到两个变量之间的对应关系，
因此它并未反映出真正意义上的科学
函数概念的特
征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。
函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只
是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角
等都
可以是看成时间的函数。
很明显，
只从运动中变量
“变化”
观点来理解函数，
对函数概念的了解就有一
定的局限性。如对常值函数
,
不好解释。
十九世纪初，
拉克若斯
（
Lacroix
）
正式提出只要有一个变量依赖
另一个
变量，前者就是后者的函数。
1834
年
,
俄国数学家罗巴契夫斯基（
Л
о
б
а
ч
е
в
с
к
и
й
）进一步提出函数的定义：
x
的函数是这样的一个数，它对于
每一个
< br>
x
都有确定的值，并且随着
x
一起变化，函数值可以由解析式给出，
这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，
函数的这种依赖关系可以存在，
但
仍然是未知的。（定义
5
）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其
中一
栏是
x
值，另一栏是与它相对应的
y
值。这个定义指出了对应关系（条
件）的必
要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念
的本质与核心。<
/p>
十九世纪法国数学家柯西（
Cauchy
）更明确的给出定义：有两个互相联
系的变量，
一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，
这样
的变量叫做自变量，
另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，
这个变量称为因变量，
并且称因变
量为自变量的函数。
直到
1930
年，
现代的函数概念才“出炉”
，
若对集
合
M
的任意元素
x
，总
有集合
N
确定的元素
y
与之对应，则称在集合
M
上定义一个函数。
函数的应用领域是非常广泛的，几乎每个领域都有它的身影。下面来看一
道千古谜题。
题目要求相当简单：只用圆规和没有刻度的直尺
，作出一个正十七边形。
（尺规作图）
要作正十七边形，还只能用尺规，谈何容易。然而一个数学天才只用一个
晚上就解决了
，他的名字就是高斯。
作图方法：
步骤一：
给一圆
O
，作两垂直的半径
OA<
/p>
、
OB
，
作
C
点使
OC
＝
1/4OB
，
作
D
点
使∠
OCD
＝
1/4
∠
OCA
，
作
AO
延长
线上
E
点使得∠
DCE
＝
45
度。
步骤二：
作
AE
中点
M
，并以
M
为
圆心作一圆过
A
点，此圆交
OB
于
F
点，再以
D
为圆心，作一圆过
F
点，此圆交直线
OA
于
G4
和
G6
两点。
步骤三：
< br>过
G4
作
OA
< br>垂直线交圆
O
于
P4
，
过
G6
作
OA
垂直线交圆
O
于
P6
，
则以圆
O
为基准圆，
A
为正十七边形之第一顶点
P4
为第四顶点，
P6
为第
六顶点。