一元二次方程的起源和应用
-
一元二次方程的起源与应用
一年七班
唐梦雷
一、定义：
（
quadratic
equation of one variable
）是指
含
有一个未知数，并
且未知数的最高次数是
2
的整式方程叫做一元二次方程。
二、
起源
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书
中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数
.
可见巴比伦人已知道一
元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所
以负根是略而不
提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前
4
、
5
世纪时，古
中国也
已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（
246-330
）却只取二次方程的一
个正根，即使遇到两个都是
正根的情况，他亦只取其中之一。
公元
628
< br>年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次
方程二次项系数
为一的一个求根公式。
在阿
拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、
二次方程，其中涉
及到六种不同的形式，令
a
、
b
、
c
为正数。把二次方程分成
不同形式作讨论，
是依照丢番图的做法。
阿尔．
花拉子米除了给出二次方程的几
种特殊解法外，
还第一次给出二次方程的一般解法，
承认方程有两个根，
并
有无
理根存在，
但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而
开始应用复数根。
韦达
（
1540-1603
）
除已知一元方程在复数范围内恒有解
外，
还给出根与系
数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用
例
1
：下列关于
x
的
方程，哪些是一元二次方程？
2
<
/p>
3
；
（
1
）
2
（
2
）
x
2
6
x
0
；
（
3
）
x
x
<
/p>
5
；
（
4
）
x
2
0
；
x
5
（
5
）
2
x
(
x
3
)
2
< br>x
2
1
；
（
6
）
3
x
27<
/p>
x
2
；
（
7
）
2
x
注意点：
①二次项系数不为“
0
”
；
②未知数指数为“
2
”
；
③是整式方程；④只含有一个
未知数．
例
1:
当
k
时，关于
x
的方程
kx
2
2
x
x
2
3
是一元二次方程。
1
（
8
）
x
2
y
2
5
<
/p>
3
；
x
例
2
：
方
程
m
2
x
m
3
mx
1
0
是
关
于
x
的
一
元
二
次
方
程，则
m
的
值
为
。
例
3
：若方程
m
1
< br>x
2
m
x
1
是
关于
x
的一元二次方程，则
m
的取值范围
是
。
例
4
：若方程
nx
m
+
x
n
-2x
2
=0
是一元二次方程，则下列不可能的是（
）
A.m=n=2
B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
（一）
、一元二次方程的一般形式：
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
，它的
特征是：等式左
边是一个关于未知数
x
的二次多项式，
等式右边是零，
其中
a
x
2
叫做二次项，
a
< br>叫
做二次项系数；
bx
叫做一次
项，
b
叫做一次项系数；
c
叫做常数项。
例
1
：方程
8
x
2
7
的一次项系数是
，常数项是
。
例
2
：
（
2012
•洪
山区模拟）若将一元二次方程
3
x<
/p>
2
2
4
x
化成一般形式
ax
2
bx
c
0
(
a
0
)
后，一次项和常数项分别是
；
例
3
：一元二次方程
a
x
1
b
x
1
c
0
化为一般式后为
3
x
2
2
x
1
0
，试
2
求
a
2
b
2
c
2
的值的算术平方根？
（二）
、方
程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（简而言之：
< br>将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）
例
1
：
（
2013<
/p>
•牡丹江）若关于
x
的一元二次方程为<
/p>
ax
2
bx<
/p>
5
0
（
a
≠
0
）的解
是
x
1
，则
2013
a
b
的值是
。
< br>例
2
：
（
2012
•鄂尔多斯）若
a
是方程<
/p>
2
x
2
x
3
0
的一个解，则
6
a
2
3
a
的值为
（
）
A
．
3
B
．
-3
C
．
9
D
．
-9
例
3
：关于
x
的一元二次方程
a
2
x
2
x
a
2
4
0
的一个根为
0
，则
a
的值
2
为
。
例
4
：已知方程
x
2
kx
10
0
的一根是
2
，则
k
为
，另一根
是
。
（三）
解
一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④
公式法
①直接开方法：
x
2
m
m
0
,
x
< br>m
对于
x
a
m
，
ax
m
bx
n
等形式均适用直接开方法
2
2
2
例
1
、解方程：
1
2
x
2
8
0
;
2
25
16
x
2
=0;
3
1
x
9
0
;
2
例
2
、若
9
x
1
16
< br>
x
2
，则
x
的值为
。
2
2
下列方程无解的是（
）
A.
x<
/p>
2
3
2
x
2
1
B.
x
2
0
C.
2
x
3
1
x
D.
x
2
9
<
/p>
0
2
b
b
2
4
ac
2
②配方法：
ax
bx
c
0
a
0
x
< br>
2
2
a
4
a
在解方程中，
多不用配方法；
但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问
< br>题。
例
1
：试用配方法说明
x
2
2
x
3
的值恒大于
0
。
例
2
：已知
x
、
y
为实数，求代数式
x
2
y
2<
/p>
2
x
4
y
7
的最小值。
例
3
：已知
x
2
y
2
4
x
6
y
13
0
< br>，x、y
为实数，求
x
y
的值。
例
4
：若
t
2
3
x
2
12
x
9
，则
t
< br>的最大值为
，最小值为
。
③公式法：
条件：
< br>a
0
,
且
b
2
4
ac
0
<
/p>
2
b
b
2
4
ac
,
a
0
,
< br>且
b
2
4
ac
0
x
2
a
3
2
x
2
3
x
1
0
；
例
1
：
< br>（
1
）
（
2
）
2
x
x
x<
/p>
2
x
25
0
（
3
）
2
1
0
；
④因式分解法：
x
x
1
x
x
2
0
x
x
1
,
或
x
x
2
十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“
0<
/p>
”
，
如
ax
m
bx
n
，
x
a
x
b
x
a
x
<
/p>
c
，
2
2
例
1
：
2
x
x
3
5
< br>
x
3
的根为（
）
A
x
5
5
2
B
x
3
C
x
1
,
x
2
3<
/p>
D
x
2
5
2
例
2
：方程
x
2
x
6
0
的解为（
）
A.
x<
/p>
1
3
，x
2
2
B.
x
1
3
，x
2
2
C.
x
1
3
，x
2
3
D.
x
1
2
，x
2
2
例
< br>3
：解方程：
x
2
2
3
< br>
1
x
2
3
4
0
例
4<
/p>
：已知
2
x
2<
/p>
3
xy
2
y
2
0
,
且
x
0
,
y
< br>
0
,
则
例
5:
选择适当方法解下列方程：
⑴
3
1
x
6
.
⑵
x
3
x
6
8
.
⑶
2
x
y
的值为
x
y
x
2
4
x
1
0
⑷
3
x
2
4
x
1
0
⑸
3
x
1
3
x
1
x
1
2
x
5
四、专项训练：
（一）整体思想：
整体思想方法是指
用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已
知和所求之间的关联，进行
有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法
.
利用
整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑
.
例
1
：若
4<
/p>
x
y
3
4
x
y
4
0
，则
4x+y=
。
2
例
2
：
a
2
b
2
a
< br>2
2
b
2
6
0
,
则
a
2
b
2
。
< br>
例
3
：若
x
y
2
x
y
3
0
，则
x+y=
4
例
4
：若
x
2
xy
y
14
，
y
2
xy
x
28
，则
x+y=
。
例
5
：已知
2
y
2
y
3
的值为
2
，则
4
y
2
2
y
1
=
x
2
x
例
6
：
（苏州市）若
x
x
2
0
，求
2
的值？
(
x
x
)
2
1
2
（二）降次的思想：
<
/p>
通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数
,
< br>从而达到降次的目的
例
1
：解方程
x
3
<
/p>
3
x
2
2
x
0
例
2
：如果
x
2
x
1
0
，那么代数式
x
3
2
x
2
< br>7
的值。
a
< br>3
2
a
2
5
a
1
例
3
：已知
a
是一元二次方程
x
< br>
3
x
1
0
的一根，求
< br>的值。
a
2
< br>
1
2
例
4
：解方程组
< br>2
x
y
6
,
2
2
x
5
xy
6
y
0
.
(
1
)
(
2
)
（三）当一元二次方程
的解为“
1
”或“
-1
”时
对于一元二次方程的一般形式
< br>ax
2
bx
< br>
c
0
（
a
0
）
，如果有一个根为
1
，则
a
b
< br>c
0
；如果有一个根为
-1
，则
a
b
c
0
；反之也成立；
巧求
方程的解：①
13
x
2
5
x
8
0
②
34
x
2<
/p>
13
x
21
0
例
1
：
已知关于
x
的一元二次方程
ax
2
bx
c
0
a
0
的系数
满足
a
c
b
，
则
此方程
必有一根为
。
例
2
：方程
a
b
x
2
b
c
x
< br>c
a
0
的一个根为（
）
A
1
B 1
C
b
c
D
a
（四）判别式“
”的应用
判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根
5