数学与应用数学专业英语翻译
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3-c (P38/P33)
集合论
在讨论任何数学的分支，如分析、
代数、
几何，最好使用符号和集合理
论
的专业术语。
在
19
世纪后期被布勒和康托尔发展的这个学科，
已对
20<
/p>
世纪数学
发展有了深远的影响。
它具有统
一的许多看似已断开连接的想法，
并有助用优雅
有系统的方式减
少许多逻辑基础上的数学概念。集合论彻底处理需要漫长的讨
论，我们认为超出了这本书
的范围。幸运的是，基础的概念很少涉及数字，通过
非正式的讨论他可能已经发展成为集
合论的方法和想法的可操作的知识。实际
上，
我们将讨论不是像
一个有关精确术语的协议一样的一个新的理论，
我们将或
多或少
的应用到熟悉的想法。
在数学中，
'
集
'
一词用于表示作为单个实体的对象的聚集，集合也被称为
'
群
'
部落，
'
一伙人
'
< br>
'
，团队
'
，和‘选举团’这是所有集合的示例。集合中的
单个对象称
为元素或集合的成员，
他们都称为属于或包含于集合中。
反过来
，
集
合包含或由其元素构成。
我们应该主要对数学对象的集合感兴趣：
数集、
曲线集、
几何图形集等等。
在许多应用程序，
通过对集合中的各个对
象的性质进行没什么特别性质的假定去
处理集合是方便快捷的。
这些称为抽象集。
抽象集理论已经发展到处理任意对象
的集合，
这种集合，并从这种普遍性理论派生其权力。
9-c
（
P80/P66
）积分的基本属性
由积分的定义，它可以推导出以下属性，证明有在第
1.27
部分中。
定理
1
，
线性性质
对被积函数，
如果
f
和
g
都在
[a
、
b]
上可积，
那么对于每一对常量
c1
和
c
2
有
---
。而且有
< br>----------
（积分等式成立）
注解：利用数学归纳法，线性属性可推广，如下所示：如果
--
在【
a
，
b
】上可积那么对
于所有实数
-----
有
-----
且
------
---
（积分等式成立）
定理
2.
区间可加性，如果以下三个积分的两个存在，那么第三个也存在，
并且我们有
...
注意：
在特别是，如果
f
是在
[a
、
c]
上是单调的
和在
[c
、
b]
上也是单调的，且这两
个积分存在，则【
a
，
b
】区间上的积分也存在且与其
他两个积分的和相等
定理
3.
平移不变性，如果
f
在区间
[a
、
b]
上可积，那么对于任意实数
c
，都有
…
…
。
定理
4
.
集合的膨胀或收缩，如果
f
在区间
[a
、
b]
上可积，那么对于任意实数
k
不为零<
/p>
都有
-------
…
…
注：
在定理
3
和
4
中，
积分之一的存在意味着对方的存在，当
k =-1
，定理
4
称为映
射性质
定理
5.
比较定理，如果
f
和
g
都在区间
[a
、
b]
上可积且如果
g
《
=f
对于区间
[a
、
b]
上任意
x
成立那么我们有
… …
定理
5
的一种特殊情况是
g (x) = 0
对任意
x
成立，
在这种情况下，
定理指出，
如果
g(x) >
0
无处不在
[a
、
b]
那么
… …
，换句话说，非负的函数具
有非负的积分，它还可以表示为如果我们有严格的不平
等
g(x) < f
对于区间
[a
、
b]
所有
x
成
立，那么相同的严格不等的关系对积分也成立，但是
在该段中证明不易被给出。
在第五章，
我们将讨论在每种情况下不必用定
义去计算积分值的多种方法。
然而这些方法只
适用于相对较少的
一部分函数，
对于大部分可积函数，
只能估计它们实际的数值积
分，
这通
常通过阶梯函数或其他简单的积分可以被准确估计的函
数逼近被积函数的上方和下方得到。
则在问题中比较性质被用于获得问题中函数积分相应
的近似值。
10-c
（
P88/P73
）矩阵的应用
近年来，在数学和许多各种不同的领域中，矩阵的应用一直以
惊人的速度不断增加。在研
究量子力学时，
矩阵理论在现代物理
学上起着主要的作用。
解决应用微分方程，
特别是在空
气动力学，
应力和结构分析中的问题，
要用矩阵
方法。
心理学研究上一种最强有力的数学方
法是因子分析，这也
广泛的使用矩阵
(
方
)
法
.
近年来，在数学经济学
和商业管理问题方面的
发展已经导致广泛的使用矩阵法。生物科学，特别在遗传学方面，
用矩阵的技术很有成效。
不管学生主要兴趣是什么，
矩阵基本原
理的知识可能扩大他能读懂的文献的范围。
在本节中，
我们将给
出一些初等矩阵如何利用。
解一有
n
个未知数的
n
个联立一次（线性）方程是应用数学的一个重要问题。解析几何的
发明者和现代代数计
数法的创始人之一笛卡儿相信，
所有的问题最后都能约简为解一组联立
< br>一次方程。
虽然这种信念现在认为是站不住脚的，
但是，
我们知道，从许多不同的学科里的
一大群重要的应用问题都可以
约化为这类的方程。
许多应用要求解大量的，
往往数以百计的<
/p>
联立一次方程，计算机的发明已经使得矩阵方法在解这些难以解决的问题方面非常活跃。<
/p>
示例
1
。解决联立方程组
x 1
、
x
2
和
x
3
。
解决方案。我们可能会重写这些方程中的矩阵
… …
，并要求的矩阵
A
，未知因素
3 * 1
矩
阵系数的
x
和
3
* 1
矩阵上，正确的
k
，我们可再写方程
（
1
）
在从
Ax =
k
。如果能够找
到一个
3 * 3
矩阵，由
A-1
并称为矩阵的逆矩阵，这样
…
…
，我是恒等矩阵，然后我们会
用
A-1
乘以方程的两个成员。
(2)
方程就变成了
...
使用方程式，
我们可以变得
…
…
使用公式
(3)
，我们可以改写
Equation(4) … …
作为专门针对这种情况下，
不告诉你我们如何得到
它，
…
…
使用此公式
（
5
）
中，我们得到
…
…
因此
x 1
=-6
、
2 =
24
，
x
和
x 3 =-14
。
从上面的讨论，我们看到解有<
/p>
n
个未知数的
n
个联立一次方程问题化成求系数的矩阵的逆
矩阵的问题。
因此，
在矩阵论的书中，
用大量的篇幅来讲求逆矩阵的技巧就不奇怪了
。
当然，
我们在这有限的叙述中不会讨论这类的技巧。
矩阵方法不仅在解联立方程中有用，
而且在发
现
方程组是否相容，
即方程组是否有解的问题，
以及方程组是否是
确定的，
即是否只有一解
等方面，都是有用的。
3.2.4
（
P137
）等价关系
一
个集合
S
上的关系指的是它自身的一种对应，例如“亲戚”就是
所有人组成集合上的一
种关系（如果能够提供一组完整的家族谱的话）。假设
w
是一种关系；我们写下
xwy
< br>去表
示
x
与
y
建立了关系
w
，也就是数对（<
/p>
x
，
y
）属于<
/p>
w
。通常情况下关系都用符号
~
来表示，
因此可以用
x~y
来代替
xwy
。
一些关系有下列三种性质中的一个或者多个：
1
、对于每一个
x
属于
S
，
都有
x~x
（自反的）；
2
、
对于所有
x
，
y
属于
S
，
如果
x~y
，则
y~x
（对称的）；
3
、对于所有的
x
，
y
，
z
属于
S
，如果
x~y
且
y~z
，那么
x~z
（传递的）
例如关系
’<
/p>
x
是
y
的父亲<
/p>
’
(
在所有的人类集合中）没有这三条性
质中的任何一个。另一方面，
‘
x
和<
/p>
y
有相同的父亲’则拥有这全部三条性质，‘
x
是
y
的祖先’是可传递的，‘<
/p>
x
是
y
的哥哥’
在所有男性人类集合中是对称的而在所有人类集合中不具有这个性质。
< br>最后一个例
子说明我们必须要确定我们正在讨论的集合。
S
上的一个满足自反性、对称性和传递性的关系被称为等价关系
。这是一个重要的概念，他
在某些方面概括了等价关系，即等价关系一般都满足性质
1-3
，
,S
上的
一个等价关系对
S
内
的元素进行分类，
同时也针对一些特定要求进行分类，例如‘
x
和
y
有相同的父母’是一个
同父同母组合的等价关系，类
似于关系‘在自然数中所有的偶数和奇数组合满足
x
和
y
被
2
整除后有相同的
余数’
我们来看对于一个集合
S
上的任意等价关系一般是如何被证明的。对于任意
x
属于
S
我们
将所有等价于
x
的元素分为一个等价类或者分块
Sx
也就是
Sx={y
属于
S/x~y}
由自反性，
我
们断定
任意两个分块
Sx
和
Sy
要么是平行的要么是重合的。假设
Sx
和
Sy
不是平行的；那
么我们必须证明
Sx=Sy
且我们开始把它写作
x~y
，由于
Sx
交
Sy
不为空，则存在
z
属于
Sx
交
Sy
由定义得
< br>x~z
且
y~z
，
由对称性得
z~y
因此由传递性得
< br>x~y
。
现在设
u
属于
Sy
且
y~u
，
因此
x~u
（由传递
性）所以
u
属于
Sx
< br>；
Sy
属于
Sx
得证。同理可得
Sx
属于
Sy
因此
Sx=Sy
得证。从而在
S
的非空子集中不同的
Sx
提供
S
的一个分割，他们中的任意两个是分离集，