数学专业英语课文翻译第二章
-
数学专业英语
3
—
A
符号指示集
一组的概念如此广泛利用
整个现代数学的认识是所需的所有大学生。
集是通过集合中一种抽
象方式的东西的数学家谈的一种手段。
集，通常用大写字母：
A
、
B
、
C
、
进程运行
·
、
X
、
Y
、
Z
；
由小写字母指定元
素：
a
、
b
的
c
、
进程运行
·
，若
x
、
y
z.
我们用特殊符号
x
∈
S
意味着
x
是
S
的一个
元素或属于美国的
x
如果
x
不属于
S
，我们写
xS.≠
当方便时，我们应指定集的元素显示在
括号内
；例如，由符号表示的积极甚至整数小于
10
集
{2,468} {2
，
4.6
，进程运行
·
}
作为
显示的所有积极甚至整数集，而三个点等的发生。
点的和等等的意思是清楚时，才使用。上
市的大括号内的一组成员方法有
时称为名册符号。
涉及到另一组的第一次基本概念是平等的集。
DEFINITIONOFSETEQUALITY
。两组
A
和
B
，据说是平等的
（或相同的）
如果它们包含
完全相同的元素，在这种情况下，我们写
A
= B
。如果其中一套包含在另一个元素，我们说
这些集是不平
等，我们写
A =
B
。
EXAMPLE1
。根据对这一定义，由于他们都是由构成的这四个整数
2
，
4.6
和
8
两套
{2,468}
和
{2,864}
一律平等。因此，当我们用来描述一组的名册符号，元素的显示的顺序
无关。<
/p>
动作。
集
{2,468}
和
{2,2,4,4,6,8}
是平等的即使在第二组，
每个元素
2
和
4
两次列出。
这两组包含的四个要素
2,468
和无他人
；因此，定义要求我们称之为这些集平等。此示例
显示了我们也不坚持名册符
号中列出的对象是不同。
类似的例子是一组在密西西比州，
其值
等于
{M
、
我、
s
、
p}
一组单词中的字母，组成四个不同字母
M
、
我、
s
和体育
3
—
B
子集
S.
从给定的集
S
< br>，我们可能会形成新集，称为
.
的子集例如，组成的那些
正整数小于
10
整除
4
（集
合
{8
毫米
}
）
的一组一般是的所有甚至小于
10.
整数集的一个子集，我们有以下的定义。
子集的定义。
A
一组据说是
B
，
集的一个子集，
我们写
A B
每当
A
的每个元素
也属于
B.
我们还说包含
B
A
或
B
包含。
关系
称为集。
A
和
B
的声明并不排除可能性，
B
。事实上，我们可能
B
A
和
B A
，但只有当
A
和
B
都具有相同的
元素发生这种情况。换句话说，
A = B
当且
仅当
B
和
B A
。这一命题是上述定义的平等和包容的直接后果。
如果
A
和
B
，但
A
≠
B
，然后我们说的就是你的真子集我们表明
这通过编写
B.
在所有的应用程序集理论，我
< br>们有一套固定事先，
S
，我们只关心这给定组的子集。底
层的设置的不同而有所不同从一个应用程序，到另
一台；
它将转
交作为每个特定的话语的通用组。
符号
{X
∣
X
∈
S
和
X
满足
P}
，
将指定的所有元素
X
在
S
中满
足该属性集体育当通用设置为我们所指的
id
的理解，我们省略参照以
S
，我们只需写
{X
∣
X<
/p>
满足
P}
。这读
取
'
集的所有这种
x
满足
p
。
'
在此方法中指定的设置说笔下定义的属性，例如，所有正实数的一组可
以被指定
为
{X
∣
X
大
于
0}
；
通用集
S
，在这种情况下理解为所有实数集。当然，这封信<
/p>
x
是个笨蛋，并
可由任何其他方便的符号
替换。因此，我们可以写
{x
∣
x
大于
0} = {y
∣
y
大于
0} =
{t
∣
t
大于
0}
等等。
它有可能设置为不包含任何元素。
这套被称为空集或无效设置，
并将由
symbol
φ
表示。
我们会考虑
φ
to
是
每一集的一个子集。有些人
觉得很有用的一套类似于一个容器（例如，一个袋子或框）
包
含某些对象，其
元素。
空集则类似于一个空的容器。
为了避免逻辑的困难，
我们必须区分元素
x
和集
{x}
的唯一元素是
x,(A
box with a hat in it is
conceptually distinct from the hat itself.)
尤其是，空的
set
φ
is<
/p>
集合
{
φ
}
不相同。事实上，空设置
φ
contain
s
没有元素而集
{
φ
< br>}
有一个元素
φ
（一个框，其中包含一个空框
不是空的）。组成一个元素的集合，有时也称为
一个元素集。
2.4
整数、有理数与实数
4
－
A Integers and rational
numbers There exist certain
subsets of
R which are distinguished because they have
special properties not
shared by all
real numbers. In this section we shall discuss
such subsets, the
integers and the
rational numbers.
有一些
R
的子集很著名，
因为他们具有实数所
不具备的特殊性质。
在本节我们将讨论这
样的子集，整数集和有理数集。
To
introduce
the positive
integers we begin with the number 1, whose
existence is guaranteed
by Axiom 4. The
number 1+1 is denoted by 2, the number 2+1 by 3,
and so on. The
numbers
1,2,3,
„
,
obtained
in
this
way
by
repeated
addition
of
1
are
all
positive,
and they are called the positive
integers.
我们从数字
1
开始介绍正整数，公理
4
保证了
1
的存在性。
1+1
用
2
表示，
2+1
用
3
表
示，以此类推，由
1
重复累加的方
式得到的数字
1,2,3
，„都是正的，它们被叫做正整数。
Strictly speaking, this
description
of
the
positive
integers
is
not
entirely
complete
because
we
have
not
explained in detail what
we mean by the expressions
“
and so
on
”
, or
“
repeated
addition of 1
”
.
严格地说，
这种关于正整数的描述是
不完整的，因为我们没有详细解
释
“
等等”
或者
“
1
的重复累加”
的含义。
Although
the
intuitive
meaning
of
expressions
may seem clear,
in careful treatment of the real-number system it
is necessary
to give a more precise
definition of the positive integers. There are
many ways
to
do
this.
One
convenient
method
is
to
introduce
first
the
notion
of
an
inductive
set.
虽然这些说法的直观意思似乎是清楚的，
但是在认真处理实数系统时必须给出一个
更准
确的关于正整数的定义。
有很多种方
式来给出这个定义，一个简便的方法是先引进
归纳集
的概念。
DEFINITION OF AN
INDUCTIVE SET. A set of real numbers is called
an inductive
set if it has
the following two properties: (a) The number 1 is
in the set. (b)
For every x in the set,
the number x+1 is also in the set.
For
example,
R
is
an
inductive
set.
So
is
the
set
.
Now
we
shall
define
the
positive
integers to be those real numbers which
belong to every inductive set.
现在我
们来定义正整数，就是属于每一个归纳集的实数。
Let
P
denote
the
set
of
all
positive
integers. Then P is
itself an inductive set because (a) it contains 1,
and (b)
it contains x+1 whenever it
contains x. Since the members of P belong to every
inductive set, we refer to P as the
smallest inductive set.
用
P
表示所有正整
数的集合。
那么
P
本身是一个归纳集，
因为其中含
1<
/p>
，
满足
(a)
；
只
要包含
x
就包含
x+1,
满足
(b)
。
由于
P
中的元素属于每一个归纳集，
因此
P
是最小的归纳
集。
This
property
of
P
forms
the
logical
basis
for
a
type
of
reasoning
that
mathematicians
call
proof
by
induction,
a
detailed
discussion
of
which
is
given
in
Part
4
of
this
introduction.
P
的
这种性质形成了一种推理的逻辑基础，
数学家称之为，
在介绍的
第四部分将给出这
种
方法的详细论述。归纳证明
4-B
读者是无疑熟悉实数的一条直线上的点的几何表示形式。代表
0
，有权代表
1
，在图
2-4-1
所示的
0
及另一人，选择一个点。此选项确定规模。如果一个采用一
套合适的欧几里德几
何公理，
然后每个真实的数字对应于这条线
上的一个点，
相反，
在行上的每个点对应于一个
且仅一个实数。
为此线通常称为真正的直线或实轴，
而
且很习惯使用单词实际数量和互换点。
因此我们经常讲点的
x
，而不是点对应的实数。
实数的订购关系有一个简单的几何解释。如果
x < y
、
点
x
位于左侧的点的
y
，如图
2-4-1
所示。
正数躺到左侧的
0 0
，负数的权利。如果
< b
、
点
x
满足不等式
< x < b
当且仅当
x
是之间和
b
。
此设备
的几何表示实数是非常有价值的工具，有助我们去发现和更好地了解实数的某些属
性。<
/p>
然而，
读者应意识到必须将所有属性都被视为定理的实数的推断出
从不涉及任何几何公
理。
这并不意味着人不应该让几何研究的实
数属性中的使用。
相反，
几何往往表明特定的定
理证明的方法和有时几何参数是比纯粹的解析证明
（一个完全取决于公理的实数）
更加
出
色。在这本书中，几何参数用于很大程度上有助于激励或澄清特定的讨论。
不过，
所有的重
要定理的证明以解析的窗体。
7-A
序列定义
日常英语中，词“
sequence
”和“
series
”是同义词，它们
用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。
在数学上，
这两
个词有特殊专业含义，如通常
用法一样，术语“
sequence
”表示