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2021年2月23日发(作者：张春)

廊坊明远培训学校课件

小船过河问题

【模型解析】

两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。

两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。

例

1

一条宽 度为

L

的河，水流速度为

v

< p>
水

，已知船在静水中速度为

v

船

，那么：

（

< br>1

）怎样渡河时间最短？

（< /p>

2

）若

v

船



v

水

，怎样渡河 位移最小？

（

3

）若

v

船



v

水

，怎样渡河船漂下的距离最短？

解析：

（

1

） 小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一

是小船运动，一 是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图

1

所示。设船头斜 向上游

与河岸成任意角

θ

。这时船速在 垂直于河岸方向的速度分量为

v

1

< /p>

v

船

sin

< /p>

，渡河所需

要的时间为

t



L

L



，

可以看出：

L

、

v

船

一定时，

t

随

sin

θ

增大而减小；< /p>

当





90



v

1

v

船

sin



L

。

v

船

时，

sin





< p>
1

（最大）

。所以，船头与河岸垂直

t

min



图

1

1

廊坊明远培训学校课件

（

< p>
2

）如图

2

所示，渡河的 最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于

L

，必须使船的合< /p>

速度

v

的方向与河岸垂直，即使沿河岸方 向的速度分量等于

0

。这时船头应指向河的上

< br>游，并与河岸成一定的角度

θ

，所以有

< br>v

船

cos



< br>

v

水

，即





arccos

v

水

v

船

。

< br>

图

2

因为

0



cos

< br>



1

，所以只有在

< p>
v

船



v

水

时，船才有可能垂直河岸渡河。

< br>（

3

）若

v

船



v

水

，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距

离最短呢？

< p>

如图

3

所示，设船头< /p>

v

船

与河岸成

θ

角。合速度

v

与河岸成

α

角。可以看出：

α

角越

大，船漂下的距离

x

越短，那么，在什么条 件下

α

角最大呢？以

v

水

的矢尖为圆心，

v

船

为半径画圆，当

v

与圆相切时，

α

角最大，根据

cos

< /p>



v

船

v

水

图

3

2

廊坊明远培训学校课件

< p>
船头与河岸的夹角应为





arccos

v

船

v

水

，船沿河漂下的最短距离为：

x

m

in



(

v

水



v

船

cos



)



L

v

船

sin



Lv< /p>

L



水

cos



v

船

此时渡河的最短位移：

s



< br>

3

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