微分方程鸭子过河
-
鸭子过河
设河边点
O
的正对岸为点
A
，河宽
OA=h
（图），水流速度为
a
，有一鸭子从点
A
游向点
O
，设鸭子
（在静水中）的游速为
b
（
b>a
），且鸭子游动的方向始终朝着点
O
。①设
h=10m
，
a=1m/s
，
b=2m/s
，用
数值法求渡河所需时间、任意时刻鸭子的位置及游动曲线。②建立任
意时刻鸭子的位置和鸭子游动的数
学模型，并求其解析解。
1.
模型的假设
为了使问题确定和简化，实际上已经作了如下假设：
①假设河宽固定，设为
h
，且两岸为平行直线；
②鸭子游速为
b
及水流速度
a
均为常数；
③鸭子游动的方向始终指向
O
。
2.
模型的建立和求解
取
O
为坐标原点，河岸朝顺水方向为<
/p>
x
轴，
y
轴指向
对岸，如图所示。
设时刻
t
鸭子位于点
P
（
x
，
y
），设起点坐标（
x
，
y
）
=
（
0
，
h<
/p>
），终点坐标（
0
，
0
），设θ为鸭子
速度方向与
x<
/p>
轴正向间的夹角，
< br>
b
(
b
cos
,
b
sin
)
bOP
OP
b
x
y
2<
/p>
2
(
x
,
y
)
，
a
(
a
,0)
，
v
a
b
于是鸭子游动的迹线满足：
x(0)=0
，
y(0)=h
（
1
）模型的数值解
实际上，
从上述方程不能求得
x(t)
，
y(t)
的解析式，
但在参数确定的情况下，可以通过数值解得到任意时刻
鸭子的位置。设
x=(x(1)
，
x
(2))
，
x(1)=x
，
x(2)=y
，编
写如下的函数
< br>M
文件：
%
鸭子过河、渡河
function dx=duhe(t,x) %
建立名
为
duhe
的函数
M
文件
a=1;b=2;
s=sqrt(x(1)^2+x(2)^2);
dx=[a-b*x(1)/s;-b*x(2)/s];%
以向量形式表
示方程组
在编写运行程序时，须设定时间
t
的起点及终点步长，可大致估计静水中的渡河时间，并作试探。
< br>（可见，鸭子的渡河时间在
~7s
之间）
ts=0::7;
x0=[0,10];
[t,x]
%x
、
y
的初始值
%
输出
t
，
x(t)
，
y(t)
%
按照数值输出作
x(t)
，
y(t)
的图形
%<
/p>
作
y(t)
的图形
[t,x]=ode45(@duhe,ts,x0); %
调用
ode45
计算
plot(t,x),grid
T
g
text('x(t)'),gtext('y(t)'),pause
%
利用鼠标确定字符串位置
plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
gtext('x'),gtext('y')
得到的数值结果
x(t)
，
y(t)
为鸭子的位置列入表。
x(t)
，
y(t)
及
y(x)
的图形见图
(a)
和
(b)
。
表
h=
10
，
a=1
，
b=2
时的数值解
t
（
2
）模型的解析解
< br>
x(t)
图
(a)
y(t)
t
和
x(t)
图
(b)
y(t)
为了得到更精确的运动轨迹，还
必须对模型作进一步分析以得到其解析解。鸭子运动速度为：
故有：
由此得到微分方程：
a
x
2
y
< br>2
x
dx
v
x
，
x(h)=0
< br>dy
v
y
by
< br>y
求解此齐次微分方程得到鸭子游动的轨迹方程为：
<
/p>
a
a
1
1
h
y
b
y
b
x
<
/p>
，
0
≤
y
≤
h
（具体求解参
见附录（
1
））
2
h
h
<
/p>
采用下列
M
atlab
程序，我们可以画出鸭子运动的轨迹（图）。
h=10;a=1;b=2;y=h::0;x=h/2*((y./h).^(1-a/b
)-(y./h).^(1+a/b));
plot(x,y,'bO-')
legend('duck')
xlabel('X');ylabel('Y');
图
鸭子运动的轨迹
鸭子游动曲线轨迹的
弧长可以用公式
ds
1
x
'2
dy
求出，也可以用数值方法求解。
3.
对解以及问题的进一步讨论
①关于解可以作进一步分析：如果
b
＜
a
，由上述轨迹方程当
y
< br>→
0
，得到
x
< br>→∞。因此，这中情况下
鸭子是不可能到达对岸的，这与鸭子运动的力学分析结果
是一致的。
syms y;limit(10/2*(((y
/10)^(1-2))-((y/10)^(1+2))),y,0,'left')
syms y;limit(10/2*(((y/10)^(1-2))-((y/1
0)^(1+2))),y,0,'right')
结果分别
为
-Inf
和
Inf
< br>。
②很自然地，还可以探讨如下问题：如果鸭子上岸的
地点不超过和对岸下游一定位置（比如与正对
岸距离为
l
）
，
鸭子的速度大小与方向不变，
问鸭子以怎样的游动方向才能以最少的时间到达上岸地点？
鸭子能够按要求
到达对岸速度应满足什么条件？如果水流速度变化，进一步可研究
2003
年全国数学建
模竞赛
D
题：
强渡长江。
4.
建模过程总结
< br>这是一个微分方程应用题，整个解题过程已经包含了建立数学模型的基本内容，即
①根据问题背景和建模问题作出必要的简化假设——鸭子速度和水流速度均为常数；
②用字母和符号表示有关变量（如鸭子速度、水流速度、时间及位
置坐标等）；