新版高考数学题型全归纳：用构造法求数列的通项公式要点讲解(含答案)
-
1
1
用构造法求数列的通项公式
求数列的
通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列
----
等
差数列·等比数列
可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等
差数列或等比数列，
之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用
。
例
1:
（
06
年福建高考题）数列
a
n
中
,
a
1
1
,
a
n
1
2
a<
/p>
n
1
则
a
n
(
)
A
．
2
B
．
2
1
C
．
2
< br>
1
D
．
2
解法
1
：
a
n
1<
/p>
2
a
n
1
n
n
n
n
1
a
n
1
1
2
a
n<
/p>
2
2
(
a
n
1
)
又
a
1
1
2
a
n
1
<
/p>
1
2
a
n
1
a
n
1
是首项为
2
公比为
2
的等比数列
<
/p>
a
n
1
2
2
n
1
2
n
,
a
n
2
n
1
,
所以
选
C
解法
2
归纳总结：若数列
a
n
满足
a
n
1
pa
n
q
(
p
1
,
q
为常数）
，则令
a
< br>n
1
p
(
a
n
)
来
构造等比数列，并利用对应项相等求
<
/p>
的值，求通项公式。
例
2
：数列
a
n
中，
a
< br>1
1
,
a
2
3
,
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
，则
a
n
。
解：
a<
/p>
n
2
a
n
1
2
(
a
n
1
a
n
)
a
2
a<
/p>
1
2
a
n
a
n
1
为首项为
2
公比也为
2
的等比数列。
（
n>1
）
a
n
a
n
1
2
n
1
，
n>1
时
a
n
(
< br>a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
< br>a
2
a
1
)
a
1
2
n
1
2
n
2
2
< br>1
1
2
n
2
n
1
1
2
显然
n=1<
/p>
时满足上式
a
n
2
n
<
/p>
1
小结：先构造
a
n
1
a
n
等比数列，再用叠加法
,
等比数列求和求出
通项公式，
例
3
：已知数列
a
n
中
a
1
5
,
a
2
2
,
a<
/p>
n
2
a
n
1
3
a
n
2
,
(
n
3
)
求这个数列的通项公式。<
/p>
解：
a
n
2
a
n
1
3
a
n
< br>
2
a
n
a
n
1
3
(
a
n
1
a
n
2
)
< br>又
a
1
a
2
7
,
a
n
a
n
1
形成首项为
7
，公比
为
3
的等比数列，
< br>则
a
n
a
n
1
7
3
n
2
………………………①
又
a
n
3
a
n
1
(<
/p>
a
n
1
3
a
n
2
)
，
a
2
3
a
1
13
，
a
n
3
a
n
1
形成了一个首项为—
13
，公比为—
1
的等比数列
则
a
n
3
a
n
1
(
13
)
(
1
)
n
2
………………………②
①
3
②
4
a
n
7
3
n
<
/p>
1
13
(
1
)
n
1
a
n<
/p>
7
n
1
13
3
(
1
)
n
1
< br>
4
4
小结：本题是两次构造等
比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列
的通项公式。
例
4
：
设数列
a
n
的前项和为
S
n
,
若
2
a
n
2
n
< br>
S
n
成立，
< br>(1)
求证：
a
n
n
< br>2
n
1
是等比数列。
(2)
求这个数列的通项公式
证明：
(1)
当
n
1
,
b
a
1
2
(
b
1
)
a
1
,
a
1<
/p>
2
又
b
a
n
2
n
(
b
1
)
S
n
………………………①
b
a
n
1
2
n
1
(
b
1
)
S
n<
/p>
1
………………………②
②—①
b
a
n
1
b
a
n
2
n
(
b
<
/p>
1
)
a
n
1
a
n
1
b
a
n
2
n
当<
/p>
b
2
时，有<
/p>
a
n
1
2
a
n
2
n
a
n
1
(
n
1
)
2<
/p>
n
2
a
n
2
n
(
n
1
)
2
n
2
(
a
n
n<
/p>
2
n
1
)
又
a
1
2
1
1
1
a
n
n
2<
/p>
n
1
为首项为
1
，公比为
2
的等比数列，
(2)
a
n
n
< br>2
n
1
2
n
1
,
a
n
(
n
1
)
2
n
1
小结：本题构造非常特殊，
要注意恰
当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也
彰显构造思
想在高考中的地位和作用。
例
5
：数列
a
n
满足
a
1
3
,
a
n
1
2
a
n
3
2
n
1
，则
a
n
A
．
(
3
n
1
)
2
B
．
(
6
n
3
)
< br>
2
解：
a
n
1
2
a
n
<
/p>
3
2
n
1
n
n
1
C
．
3
(
2
n
1
)
2
n
1
D
．
(
3
n
2<
/p>
)
2
n
1
,
a
n
1
a
n
n
3
n
1
2
2<
/p>
a
n<
/p>
1
a
n
a
1
3
3
,
又
n
1
n
2
2
2
2
3
a<
/p>
n
构成了一个首项这
< br>，公差为
3
的等差数列，
n
2
2
<
/p>
a
n
3
3
(
n
1
)
3
3
n
n
2
2
2
3
2
a
n
2
2
n
1
(
3
n
)
< br>(
6
n
3
)
2
n
1
所以选
B
。
小结：构造等比数列，注意形
a
n
a
n
1
n
n
1
，当
时，变为
。
n
n
1
2
2
例
< br>6
：已知函数
f
(
x
)
(
< br>x
2
)
2
,
(
x
0
)
，又数列
a
n
中<
/p>
a
1
2
，其前项和为
S
n
,
(
n
N
)
，对所有大于
1
的自然数都有
S
n
< br>
f
(
S
n
1
)
，
求数列
a
n
的通项公式。
解：
f
(
x
)
(
x
2
)
2
,<
/p>
S
n
f
(
S
n
1
)
(
S
n
1
2
)
2
S
n
S
n
1
2
,
S
n
S
< br>n
1
2
S
1
a
1
2