等比数列。知识梳理
-
等比数列
【考纲要求】
1
．理解等比数列的概念，等比数列的通项公式
.
2
．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题
.
3
．了解等比数列与指数函数的关系
.
4
．灵活应用等比数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识
和理解数列与其它数学知识之间的内在
联系
.
【知识网络】
通项公式及相关性
等比数列
等比中项
等比数列与函数的关系
【考点梳理】
【高清课堂：数列的概念
388518
知识要点】
考点一：等比数列的概念
如果一个数
列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么
这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比
.
a
n
1
q
(
n
1,
n
N
*
,
q
0,
q
R
)
a
n
考点二、等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
n
1
要点诠释：
①方程观点：知二求一；
②函数观点
：函数
y
a
1
n
q
的图
象上一群孤立的点；
q
③当
q
1
时，若
a
1
0
，等比数列
{
a
n
}
是递增数列；若
a
1
0
，等比数列
{
a
n
}
是
递减数列；
当
0
q
1
时，若
a
1
0
，等比数列
{
a
n
}
是递减数列；若
a
1
0
，等比数列
{
a
n
}
是递增数列；
当
q
0
时，等比数列
{
a
n
}
是摆
动数列；
当
q
1
时，等比数列
{
a
n
}
是非零常数列。
考点三、等比数列通项公式的主要性质：
第
1
页
共
7
页
（
1
）等比中项：
a
、
G
、
b
成等
比数列，则
G
ab
；
n
m
（
2
）通项公式的推广：
a
n
a
m
q
< br>；
*
（
3
）若
m
n
p
q<
/p>
(
m
、
n
、
p
、
q
N
)
，则
a
m
a
< br>n
a
p
a
q
；
p
m
、
n
、
p
N
*
）成等差数列，则
a
m
、
a
n
、<
/p>
a
p
成等比数列
.
（
4
）等比数列
< br>
a
n
中，若
m
、
n
、（
要点诠释：
（
1
）方程思想的具体运用；
（
2
）两式相乘除化简。
【典型例题】
类型一：等比数列的概念、公式
例<
/p>
1.
若数列
{
a
n
}
为等比数列，
a
15
10
,
a
45
90
,
求
a
60
.
思路分析：
求解等比数列的项，首先要根据已知条件求出数列的
通项公式。
解析：法一：
令数列
{
a
n
}
的首项为
a
1
,
公比为
q
，则有
<
/p>
14
14
<
/p>
...(
1
)
a
15
a<
/p>
1
q
10
a
1
q
..........
即
，
4
4
44
.
..(
2
)
90
a
1
q
..........
a
45
a
1
q
30
15
(2)
÷
(1)
有
q
9
,
∴
q
3
.
45
15
3
∴
a
60
a
15
q
a
15
(
q
)
270
.
法二：
∵
{
a
n
< br>}
为等比数列，
30
15
2
15
2
∴
a
45
a
15
q
a
15
(
q
)
即
90
10(
q
)
,
∴
q
3
.
45
15
3
∴
a
60
a
15
q
a
15
(
q
)
270
.
15
法三：
∵
{
a
n
}
为等比数列，
∴
a
15
、
a
30
、
a
45
、
a
60
,
…也为等比数列，
2
∴
< br>a
30
a
15
a
45
900
,
∴
< br>a
30
30
又∵
a
45
a
30
a
60
.
2
a
45
90
2
∴
a
60
270
.
a
30
< br>30
点评：
熟悉等比数列的概念，基本公式及性质，要依
条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解
决问题，减少运算量。
< br>
举一反三：
【变式】已知等
比数列
{
a
n
}
，若
a
1
a
2
a
3
7
，
a
1
a
2
a
3
8
< br>，求
a
n
。
2
3
法一：
∵
a
1
a
3
a
2
，∴
a
1
a
2
a
3
a
2
8
，∴
a
2
2
2
a
1
a
3
5
,
解之得
a
1
1
，<
/p>
a
3
4
或
a
1
4
，
a
3
1
从而
< br>
a
a
4
1
3
当
a
1
1
时，
q
2
；当
a
1
4
时，
q
n
1
3
n
故
a
n
2
或
a
n
2
。<
/p>
1
。
2
第
2
页
共
7
页
法二<
/p>
：由等比数列的定义知
a
a
q
2
2
< br>1
q
，
a
3
a
1
代入已知得
a
2
1
a
1
q
a
1
q
7
a
2
1
< br>a
1
q
a
1
q
8
a
q
2
)
7,
a
q
q
2
1
(1
q
< br>
1
(1
)
7,
(1)
< br>
a
3
3
1
q
8
a
1
q
2
(2)
将
a
1
2
q
代入（
1
）得
2
q
2
5
q
2
0
，
解得
q
2
或
q
1
2
）得
a
a
4
1
1
或
1
由（
2
< br>
q
2
1
，以下同方法一。
q
2
类型二、等比数列的性
质
【高清课堂：数列的概念
388518
典型例题二】
例
2.
（
1
）等比数列
{
a
n
}
< br>中，
a
1
1
，
a
5
8
a
2<
/p>
，
a
5
a
2
，则
a
n
(
)
A
．
(<
/p>
2)
n
1
B
．
(
2)
n
1
C
．
(
2)
n
D
．
(
2)
n
(2)
< br>设
S
n
为等比数列
{
a
n
}
< br>的前
n
项和，已知
3
S
3
a
4
2,3
S
2
a
3
2
,
则公比
q
＝
(
)
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
答案：
A
B
解析：
（
1
）
a
a
3<
/p>
5
8
a
2
2
q
，所以
q
2
又因为
a
5
8
a
2
,
a
5
a
2
,
8
a
2
a
2
，则
a
2
0
所以
a
a
2)
n
1
1
0,
1
1
< br>，则
a
n
(
（
2
）
3
S
3
<
/p>
a
4
2,3<
/p>
S
2
a
3
2
，两式相减：
3
a
3
a
4
a
3
所以
q
4
举一反三
【变式
1
】等比数列
{
a
n
}
中，若
a
5
a
6
9
,
求
log
3
a
1
log
3
a
2
...
log
3
a
10
.
解析：
∵
{
a
n
}
是等比数列，∴
a
1
a
10
a
2
< br>
a
9
a
3
a
8
a
4
a
7
a
5
a
6
9
∴
< br>log
3
a
1
< br>
log
3
a
< br>2
log
3
a
10
log
3
(
a
1
a
2
a
3
a<
/p>
10
)
log
3
(
a
5
a
6
)
5
log
5
3
9
10
例
3. (2015
福建高考
)
若
a
，
b
是函
数
f
（
x
）<
/p>
=
x
2
﹣
px
+
q
（
p
＞
0
，
q
＞
0
）的两个不同的零点
，且
a
，
b
，
﹣
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
< br>p
+
q
的值等于（
）
第
3
页
共
7
页
2