(完整版)高中数学数列基础知识与典型例题
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数学基础知识例题
数列
<
/p>
例
1.
已知数列
a
n
的前
n
项和为<
/p>
S
n
2
n
2
n
,
求
数列
a
n
< br>
的通项公式
.
1.<
/p>
数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和
S
n
与
通项
a
n
的关系：
a
S
1
(
n
1)
例
2.
已知
a
1
3
且
a
n
S
n
1
2
n
，求
a
n
及
S
n
．
n
S
n
S
n
1
(
n
≥
2)
例
3.
已知
a
1
1
，
S
2
n
n
a
n
< br>
(
n
≥
1)
求
a
n
及
S
n
．<
/p>
数
列
例
4.<
/p>
求和
1
1
1
2
1
1
2
3
< br>
1
1
2
3
n
.
2.
数列求和的常用方法：公
式法、裂项相消法、错位相
减法、倒序相加法等。
关键是找数列的通项结构。
例
5.
数列
1
1
,3
1
,5
1
,7
1
2
16
,
…
,(2
n
－
1)+
1
4
8
2
n
的前
n
项之和为
S
n
，则
S
n
等于
(
)
(A)
n
2
+1
－
1
2
n
(B)
2
n
2
－
n<
/p>
+1
－
1
2
n
(C)
n
2
+1
－
1
2
n
1
(D)
n
2
－
n
+1
－
1
2
n
< br>
例
6.
求和
:
S
1
2
x
3
x
2
4
x
3
L
< br>
nx
n
1
.
等差数列
等比数列
定义
a
n<
/p>
1
a
n
d
(
d
为常数
,
n
≥
2
)
a
n
1
< br>a
q
(
q
0,
且为常数
< br>,
n
≥
2)
n
递推
a
n
a
n
1
d
(
a
n
a
m
(
n
m
)
< br>d
)
a
n
a
n
1
q
(
a<
/p>
n
m
n
a
m
q
)
公式
通项
a
n<
/p>
a
1
(
n
1)
d
a
n
1
n
< br>a
1
q
（
a
1
,
q
0
）
公式
中项
A
<
/p>
a
n
k
a
n
k
G
a
n
k
a
n
k
(
a
n
k<
/p>
a
n
k
0)
2
（
n
,
k
N
*
,
n
k
< br>0
）
（
n
,
k
N
*
,
n
≥
k
≥
0
）
前
n
S
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
a
1
项和
n
2
S
(
q
1)
n
a
等
na
n
(
n
< br>1)
1
d
1
1
q
n
a<
/p>
a
差
2
1
q
1
n
q
1
q
(
q
1)
数
列
d
2
n
2
a
d
1
< br>
2
n
与
重要
①
等和性
:
a
m
a
n
a<
/p>
p
a
q
①
等积性
:
a
m
a
n
a
p
a
q
等
性质
< br>
(
m
,
n
,
p
,
q
N
*
,
m
n
p
q
)
(
m
,
< br>n
,
p
,
q
N
*
,
m
n
p
q
)
比
②
数
a
n
a
< br>m
(
n
m
)
d
②
a
m
n
a
m
q
n
列
③从等差数列中抽取等距离的项<
/p>
③从等比数列中抽取等距离的项
组成的数列是一个等差数列。
组成的数列是一个等比数列。
如：
a
1
,
a
4
,
a
7
,
a
10
< br>,
（下标成等差
如：
a
1
,
a
4
,
a
7
,
a
10
,
（下标成等差
数列）
数列）
证
明
证
明
一
个
数
列
为
等
差
数
列
的
方
证明一个数列为等比数列的方法：
方法
法：
1.
定义法
a
1.
定义法
a
n
1
q
(
常数
)
n
1
a
n
d
(
常数
< br>)
a
n
2.
中项法
a
2.
中项法
a
2
n
1
a
n
1
2
a
n
(
n
< br>
2)
n
1
a
n
1
（<
/p>
a
n
）
(
n
2)
设
元
三数等差：
a
d
,
a
,
a
d
四数等差：
a
3
d
,
a
d
,
< br>a
d
,
a
3
d
三数等比：
a
q
,
a
,
aq
或
a
,
aq
,
aq
2
技巧
四数等比：
a
,
aq
,
aq
2
,
aq
3
联系
真数等比，对数等差
;
指数等差，幂值等比。
重点把握通项公式和前
n
项和公式
,
对于性质主
要是理解
．．
(
也就是说自己能推
导出来
),
具体运用时就能灵活自如
.
特别是推导过程中运用的方法
,
是我们研究其
他数列的一种尝试
.
如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项
公式的“累积”法，
是我们求其他数列通项公式的一种经验
.
又比如推导等差数
列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是
数列求和的重要技巧
.