必修五数列知识点总结
-
子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。
必修五
数列
★知识梳理
1.
数列的前
n
项和与通项的公式<
/p>
S
1
(
n
1
)
①
S
n
a
1
a
2
a
n
；
②
a
n
.
S
S
(
n
2
)
n
1
n
例
1.
①
已知下列数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，分别求它们的通项公式
a
n
.
⑴
S
n
2
n
2
3
n
；
⑵
S
n
3
n
1
.
n
②设数列
a
n
满足
a
1
3
a
2
3
2
a
3
...
3
n
1
a
n
< br>
,
n
N
*
.
，则
a
n
3
2
③
数列<
/p>
a
n
中，
a
1
a
2
a
3
a
n
< br>
n
(
n
N
)
，
求
a
3
a<
/p>
5
的值
.
④已知数列
a
n
的
首项
a
1
⑤设
S
n<
/p>
、
T
n
分别是等
差数列
a
n
、
b
n<
/p>
的前
n
项和，
1
1
，其前
n
项和
S
n
n
2
a
n
n
1
．求数列
a
n
的通项公式．
2
S
n
7
n
2
a
，则
5
.
T
n
n
3
b
5
子曰：知之
者，不如好之者；好之者，不如乐之者。
2.
数列的单调性
①递增数列
:
对于任何
n
N
,
均有
a
n
1
a
n
.
< br>②递减数列
:
对于任何
n
N
,
均有
a
n
1
a
n
< br>.
2010-2011
海淀区高三年级期中
已知数列
{
a
n
}
满足：
a
1
a
2
a
3
< br>L
a
n
n
a
n
,
(
n
1,
2,3,
L
)
（
I
）求
a
1
,
a
2
,
a
3
的值；
（Ⅱ）求证：数列
{
a
n
1
}
是等比数列；
1
（Ⅲ）令
b
n
(2
n
)(
a
n<
/p>
1)
（
n
1,2,3...
）
，如果对任意
n
N
*
，都有
b
n
t
t
< br>2
，求实数
t
的
4
取值范围
.
2.
等差数列知识点
通项公式与前
n
项和公式
<
/p>
⑴通项公式
a
n
a
1
(<
/p>
n
1
)
d
，
a
1
为首项，
d
为公差
. <
/p>
⑵前
n
项和公式
S
n
n
(<
/p>
a
1
a
n
)
1
或
S
n
na
1
n
(
< br>n
1
)
d
.
2
2
2
子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。
等差中项
:
如果
a
,
A
,
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项
< br>.
即：
A
是
a
与
b
的等差中项
2
A
a
b
a
，
A
，<
/p>
b
成等差数列
.
等差数列的判定方法
⑴定义法：
a
n
1
a
n
d
（
n
< br>N
，
d
是常数）
a
n
是等差数列；
⑵中项法：
2
a
n
1
a
n
a
n
< br>
2
(
n
N
)
a
n
是等差数列
.
⑶
a
n
an
b
(
一次
)<
/p>
)
a
n
是等差数列
<
/p>
⑷
S
n
An
2
Bn
(
常
数项为
0的二次
)
a
n
是等差数列
等差数列的常用性质
⑴数列
a
n
是等差数列，则数列
a
n
p
、
pa
n
（
p
是常数）都是等差数列；
⑵等差数列
a
n
中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，
即
a
n
,
a<
/p>
n
k
,
a
n
2
k
,
a
n
3
k
,
为
等差数列，公差为
kd
.
⑶
a
n
a
m
(
n
m
< br>)
d
；
⑷若
m
n
p
q
(<
/p>
m
,
n
,
p
,
q
N
)
，则
a
m
a
< br>n
a
p
a
q
；
S
⑸若等
差数列
a
n
的前
n
项和
S
n
，则
n
是等差数列；
n
例
2.
已知
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，
< br>b
n
等差数列的前
n
项和
S
n
的最值问题
S
n
< br>(
n
N
)
.
求证：数列
< br>
b
n
是等差数列
.
n
< br>
a
n
0
⑴若
a
1
0
,
d<
/p>
0
,
S
n
有最大值，可由不等式组
来确定
n
；
a
0
n
1
a
n
0
<
/p>
⑵若
a
1
0
,
d
0
,
S
n
有最小值，可由不等式组
来确定
< br>n
.
a
n
1
0
3
子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。
例
2.
已知
S
n
为数列
a
n
的前
n
项和，
a
1
3
，
S
n
S
n
1
2
a
n
(
n
2
)<
/p>
.
⑴求数列
a
n
的通项公式；
< br>
⑵数列
a
< br>n
中是否存在正整数
k
，使得不等式
a
k
a
k
1
对任意不小于
k
的正整数都成立？若
存在，求最小的正整数
k
，若不存在，说明理
由
.
3.
等比数列知识点
通项公式与前
n
项和公式
⑴通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
，
a
1
为首项，
q
为公比
.
⑵前
n
项和公式：
<
/p>
①当
q
1
时，
S
n
na
1
a
1
(
1
q
n
)
a
< br>1
a
n
q
②当
q
1
时，
S
n
.
1
<
/p>
q
1
q
等比中项
如果
a<
/p>
,
G
,
b
成等比数列，
那么
G
叫做
a
与
b
的
等比中项
.
即：
G
是
a
与
b
的等，
，
，
，
中项
a
，
G
，
b
成等差数列
G
2
a
b
.
等比数列的判定方法
⑴定义法：
a
n
1
q
（
n
N
，
< br>q
0
是常数）
a
n
是等比数列；
a
n
2
⑵中项法：
a
n
1
a
n
a
< br>n
2
(
n
N
)
且
a
n
0
a
n
是等比数列
.
等比数列的常用性质
⑴数列
a
n
是等比数列，则数列
pa
n
、
pa
n
（
q
0
是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列
a
n
中，
等距离取出
若干项也构成一个等比数列，
即
a
n<
/p>
,
a
n
k
,
a
n
2
k
,
a
n
3
k
,
为等比数列，公比为
q
k
.
4
子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。
⑶
a
n
a
m
q
< br>n
m
(
n
,
m
N
)
⑷若<
/p>
m
n
p
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
)
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
⑸若等比数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
，则
S
k
、
S
2
k
S
k
、
S
3
k
< br>
S
2
k
、
S
4
k
S
3
k
是等比
数列
.
例
3.
已知
S
n
为等比数列
a
n
前
n
项和，
S
n
54
，
S
2
n
6
0
，则
S
3
n
.
4.
数列的通项的求法
⑴利用
观察法
求数列的通项
.
（
S
1
n
1
)
⑵利用
公式法
求
数列的通项：①
a
n
；
S
n
S
n
1
(
n<
/p>
2
)
⑶应用<
/p>
迭加（迭乘、迭代）法
求数列的通项：①
a
n
1
<
/p>
a
n
f
(
n
)
；②
a
n
1
a
n
f
< br>(
n
).
⑷
构造
等差、等比数列求通项：
①
a
n
1
pa
n
q
；
②
a
n
1
pa
n
q
n
；
③
a
n
a
n
1
ka
n
1<
/p>
b
例
4.
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，已知<
/p>
a
1
a
,
a
n
1
S
n
3
n
(
n
N
)
，设
b
n
S
n
3
n
，
求数列
b
n
的通项公式．
5
子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。
（宣武二模理
18
）
设
a
n
是正数组成的数列，其前
n
项和为
S
n
，且对于所有的正整数
n
,
有
2
S
n
a
n
1
．
(I)
求
a
1
，
a
2
的值
；
(II)
求数列
< br>a
n
的通项公式；
（
III
）令
b
1
1
，
b
< br>2
k
a
2
k
1
(
1
)
k
，
b
2
k
1
a
2
k
< br>3
k
（
k
1
,
2
,
3
,
）
，
求数列
b
n
的前
2
n
1
项和
T
2
n
< br>1
．
例
5.
⑴已
知数列
a
n
中，
a
1
2
,
a
n
a
n
1
2
n
1
(
n
< br>
2
)
，求数列
a
n
的通项公式；
2
2
⑵设
a
n
是首项为
1
的正项
数列，且
(
n
1
)
a
n
1
na
n<
/p>
a
n
1
a
n
0
(
n
N
)
，
则数列
a
n
的通项
a
n
.
6