高中数列的常见解法)
-
数列解题方法
一、基础知识：
数列的定义
项
项数
通项
数列
数列的有关概念
数列的通项
数列与函数的关系
等差数列的定义
等差数列的通项
等差数列的性质
等差数列的前
n
项
等比数列
等比数列的定义
等比数列的通项
等比数列的性质
等比数列的前
n
项
等差数列
数列：
1
．
数列、项的概念
：按一定
次序
排列的一列数，叫做
数列
，其中的每一个数叫做数
列的项
．
2
．
数列的项的性质
：①
有序性
；②
确定性
；③
可重复性
．
3
．
数列的
表示
：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，
因此数列的一般形式可以写成
a
1
，
a
2
，
< br>a
3
，
„
，
a
n
，（„），简记作
{
a
n
}
．其中
a
n
是
该数列的第
n
项，列表法、
图象法、
符号法、
列举法、
解析法、
公式法（通项
公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．
4
．
数列的
一般性质
：①单调性
；②周期性
．
5
．
数列的分类
：
①按项的数量分：
有穷数列
、
无穷数列
；
②按相邻项的大小关系分：递增数列
、递减数列
、常数列、摆动数列
、其他；
③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；
④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．
6
．
数列的通项公式
：如果数列
{
a
n
}
的第
n
项
a
n
与它的序号
n
之间的函数关系可以用一个
公式
a
n
=f
（
n
）（
n
∈
N
< br>+
或其有限子集
{1
，
2
，
3
，„，
n}
）
来表示，那么这个公式叫
做这个数列的
通项公式
．数列的项是指数列中一个
确定的数，是函数值，而序号是
指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列
的图象是
散点图
，点的横
坐标是
项的序号值
，纵坐标是
各项的值
．不是所有的数列都有通项
公式，数列的
通项公式在形式上未必唯一．
7
．
数列的递推公式
：如果已知数列
{
a
n
}
的第一项（或前几项），且任一项
a
n
与它的前一
项
a<
/p>
n
-1
（或前几项
a
n-
1
，
a
n
-2
，„）间关系可以用一个公式
a
n
=
f
（
a
n
1
）（
n
=2
，
3
，„）
（或
a
n
=
f
（
a
n
1
,
a
n
2
）
(
n=
3
，
4
，
5
，„
)
，„）来表示，那么这个公式叫做这
个数列
的
递推公式
．
8
．
数列的
求和公式
：设
S
n
表示数列
{
a
n
< br>}
和前
n
项和，即
S
n
=
< br>a
=
a
+
a
+„+
a
，如果
< br>S
与
i
1
2
n
n
n
i
1
项数
n<
/p>
之间的函数关系可以用一个公式
S
n
=
f<
/p>
（
n
）（
n
=1
，
2
，
3
，„）
来表示，那么
这个公式叫做这个数列的
求和公式
．
9
．
通项公式与求和公式的关系
：
通项公式
a
n
与求和公式
S
n
的关系可表示为：
a
n
等差数列与等比数列：
文
字
定
义
符
号
定
义
等差数列
等比数列
S
1
(
n
<
/p>
1)
S
n
S
n
1
(n
2)
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项
一
般地，如果一个数列从第二项起，每一项与
与它的前一项的比是同一个常数，那么这个<
/p>
它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列
数列就叫等比数列，
这个常数叫等比数列的
就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
公比。
a
n
1
a
n
d
a
n
1
q
(
q
0)
a
n
递增数
列：
a
1
0
，
q
1
或
a
1
0
，
0
q
1
< br>递增数列：
d
0
分
类
< br>递减数列：
d
0
常数数列：
d
0
递减数列：
a
1
0
，
q
1
或
a
1
0
< br>，
0
q
1
摆动数列：
< br>q
0
常数数列：
q
1
< br>
通
项
a
n
a
1
(
n
1)
d
pn
q
a
m
(
n
m
)
d
< br>
其中
p
d
,
q
a
1
d
<
/p>
a
n
a
1
q
n
1
a
m
q
n
m
（
q
0
）
前
n
项<
/p>
和
中
项
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
< br>n
1)
d
na
1
pn
2
qn
2
2
其
中
p
d
d<
/p>
,
q
a
1
2
2
a
1
(1
q
n
< br>)
(
q
1)
S
n
1
q<
/p>
na
(
q
1)
1
a
,
b
,
c
成等差的充要条件
:
2
b
a
c
等和性：<
/p>
等差数列
a
n
若
m
n
a
,
b
,
c
成等比的必要不
充分条件：
b
2
ac
等积性：
等比数列
a
n
若
m
< br>n
p
q
则
a
m
a
n
a
p
a
q
2
p
则
a
m
< br>a
n
2
a
p
p
q
则
a
m
a
n
a
p
a
q
< br>2
p
则
a
m
a
n
(
a
p
)
2
主
要
性
质
推论：若
m
n
推论：若
m
n
a
n
k
a
n
k
< br>
2
a
n
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
< br>2
即：首尾颠倒相加，则和相等
a
n
k
a
n
k
(
a
n
< br>)
2
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
< br>
即：首尾颠倒相乘，则积相等
1
、等比数列中连续项的和，组成的新数列是
等比数列。即：
s
m
,
s
2
m
s
< br>m
,
s
3
m
s
2
m
,
等
比
，公比为
q
m
。
2
、从等比数列中抽取等距离的项组成的数
列是一个等比数列。
如：
a
1
,
a
4<
/p>
,
a
7
,
a
10
,
（下标成等差数列）
3
< br>、
a
n
,
b
n
等比，则
a
2
n
，<
/p>
a
2
n
1
，
其
它
1
、等差
数列中连续
m
项的和，组成的新数列
是
等差数列。即：
s
m
,
s
2
m
s
m
,
s
3
m
s<
/p>
2
m
,
<
/p>
等差，公差为
m
2
d
则有
s
3
m
3(
s
2
m
s
m
)
2
、从等差数
列中抽取等距离的项组成的数列
是一个等差数列。
如：
a
1
,
a
4
,
a
< br>7
,
a
10
,
（下标成等差数列）
<
/p>
3
、
a
n
,
b
n
等差，则
a
2
n
，
a
< br>2
n
1
，
ka
n
也等比。其中
< br>k
0
4
、等比数列的通项公式类似于
n
的
指数函
数，
即：
a
n
cq
，其中
c
n
ka
n
b
，
pa
n
qb
n<
/p>
也等差。
4
、等差数列
a
n
的通项公式是
n
的一次函
数，即：
a
n
dn
c
(
d
0
)
等差数列
a
n
的前
n
项和公式是一个没有常
数项的
< br>n
的二次函数，
2
即：
S
n
An
Bn
(
d
0
)
a
1
q
n
等比数
列的前
n
项和公式是一个平移加振
幅的
n
的指数函数，即：
s
n
cq
< br>c
(
q
1)
5
、等比数列中连续相同项数
的积组成的新数
列是等比数列。
5<
/p>
、项数为奇数
2
n
1
的等差数列有：
性
质
s
奇
n
s
奇
s
偶
a
n
a
< br>中
s
偶
n
1
s
2
n
1
(2
n
1)
a
n
项数为偶数
2
n
的等差
数列有：
s
奇
a
n
，
s
偶
s
奇
nd
s
偶
a
n
1
s
2
n
n
(
a
n
a
n
1
)
6<
/p>
、
a
n
m
,
a
m
n
则
a
m
n
0
s
n
s
m
则<
/p>
s
m
n
0(
n
m
)
s
n
m
,
< br>s
m
n
则
s
m
n
(
m
n
)
证
明
方
法
证明一个数列为等差数列的方法：
1
、定义法：
a
n
1
a
n
d
(
< br>常数
)
2
、中项法：
a
n
1
a
n
1
2
a
n
(
n
<
/p>
2)
证明一个数列为等比数列的方法：
1
、定义法：
a
n
1
q
(
常数
)
a<
/p>
n
2
2
、中项法
：
a
n
1<
/p>
a
n
1
（
a
n
）
(
n
2,
a
n
< br>
0)
设
元
技
巧
三数等差：
a
d
,
a
,
a
d
四数等差：
a
3
d
,
a
d
,<
/p>
a
d
,
a
3
d
1
、若数列
a
n
是等差数列，则
数列
C
a
n
三
数等比：
a
,
a
,
aq
或
a
,
aq
,
aq
2
q
四数等比：
a
,
aq
,
aq
2
,
aq
3
d
是等比数列，公比为
C
，其中
C
是常数，
d
是
联
系
a
n
的公差。
2
、若数列
a
n
是等比数列，
且
a
n
0<
/p>
，则数列
log
a
a
n
是
等差数列，公差为
log
a
q
，其中
a
是常数且
a<
/p>
0,
a
1
，
q
是
a
n
的公比。
(
n
1)
s
1
数列的项
a
n
与前
n
项和
S
n
的关系：
a
n
s
s
(
n
< br>
2)
n
n
1
数列求和的常用方法：
1
、拆项分组法：即把每一项拆成几项，
重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2
、错项相减法：适用于差比数列（如果
a
n
等差，
b
n
等比，那么
a
n
b
n
叫做差比
数列）
即把每一项都乘以
b
n
的公比
q
，向后错一项，再对应同次项相减，
转化为等比数列求和
。
3
、裂项相消法：即把每一项都拆
成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求
和。
适用于
数列
1
1
和
（其中
a
n
等差）
a
n
a
n
1
< br>
a
n
a
n
1
可裂项为：
1
1
1
1
1
1
(
)
，
(
a
n
1
a
n
)
< br>
a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1
a
n
a
n
1
d
等差数列前
n
项和的最值问题：
1
、若等差数列
a
n
< br>
的首项
a
1
< br>
0
，公差
d
< br>
0
，则前
n
< br>项和
S
n
有最大值。
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最大
a
n
0
；
a
n
1
0
< br>q
的非零自然数时
S
n
最大；
2
p
（ⅱ）若已知
S
n
<
/p>
pn
2
qn<
/p>
，则当
n
取最靠近
2
、若等差数列
a
n
的首项
a
1
0
，公差
d
0
，则前
n
项和
S
< br>n
有最小值
a
n
0
（ⅰ）若已知通项
a
n
，则
S
n
最小
；
a
0
n
< br>
1
（ⅱ）若已知
S
n
pn
2
qn
，则当
n
取最靠近
数列通项的求法：
⑴公式法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知
S
n
（即
a
1
<
/p>
a
2
q
的非零自然数时
S
n
最小；
2
p
S
,(
n
1
)
a
n
<
/p>
f
(
n
)
）求
a
n
，
用作差法
：
a
n
S
1
S
,(
n
2)
。
n
n
1
已知
a
1
a
2
f
(1),(
n
< br>
1)
f
(
n
)
。
a
n
<
/p>
f
(
n
)
求
a
n
，
用作商法：
a
n
,(
n
2)
f
(
n
1)
⑶已知条件中既有
S
n
还有
a
n
，有时先求
S
n
，再求
a
n
；有时也可直接求
a
n
。
⑷若
a
n
1
< br>a
n
f
(
n
)
求
a
n
用累加法
：
a
n
(
a<
/p>
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
<
/p>
a
1
)
a
1
(
n
2)
。
⑸已知
a
n
1
a
a
< br>
f
(
n
)
求
a
n
，
用累乘法
：
a
n
n
n<
/p>
1
a
n
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
(
n
2)
。
a
1
⑹已知递推关系求
a
n
，
用构造法
（构造等差、等比数列）。